Fonctions et relations, folium de Descartes

[Bleyblue]

Bonjour,

Si j'ai une relation entre deux variables x et y, est il correcte de dire que cette relation définit toujours une où plusieurs fonctions y = f(x) ?

Par exemple la relation x + y = 1 définit une et une seule fonction y = 1 - x

Par contre la relation x² + y² = 1 définit deux fonctions

y = et y =

La folium de Descartes lui en définit trois dont l'expression est très complexe (et que je suis bien incapable de trouver mais elles sont dans le Stewart)

Est il possible de trouver une équation paramétrique du folium de Descartes sans pour autant partir d'une des trois fonction y = f(x) ?

merci
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[invitea77054e9]

Je crois que ça à un rapport avec les fonctions implicites, mais je ne connais pas encore le sujet. Essaie de faire une petite recherches ur le sujet, je vais en faire autant de mon côté.

[invitea77054e9]

En général, il n'est pas possible d'exprimer y en fonction de x. Mais sous certaines hypothèses, on peut s'en sortir. Voici un cas particulier du théorème des fonctions implicites:

" Soit U un ouvert de lR², A=(a,b) dans U, et f:U->lR.
On suppose de plus que:
-f(A)=0
-f est de classe C1 sur U
-la dérivée partielle de f par rapport à la seconde variable au point A est non nulle.

Alors, il existe deux intervalles ouverts J et K centrés respectivement en a et b tels que JxK soit inclus dans U et satisfaisant à la condition suivante:
Il existe g:J->K da classe C1, unique, telle que:
pour tout (x,y) dans JxK, ( f(x,y)=0 <=> y=g(x) ) . "

[Bleyblue]

En général, il n'est pas possible d'exprimer y en fonction de x.

D'accord mais moi je voulais dire déterminer une équation paramétrique de la fonction implicite. Ca implique forcément de pouvoir expliciter y ?

merci

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteaf1870ed]

Si tu poses t = y/x tu vas résoudre ton problème facilement

[Bleyblue]

Eh bien je tombe sur :

x = y/t
y = x²(1 + t³)/6

Et moi je voulais avoir x = f(t) et y = f(t)

merci

[inviteaf1870ed]

tu y es presque.
Tu supposes x différent de 0. Tu peux tout diviser par x^3. Cela te donne

1+t^3 = 6y/x^2

De là tu tires x en fonction de t, et ensuite y en fonction de t.

[Bleyblue]

Tient oui, moi je trouve :

x =

y = mais ça ne semble pas être ça

me serais je trompé ?

merci

[Bleyblue]

J'ai pourtant vérifier et c'est juste, mais ma calculatrice m'affiche une courbe qui n'a rien à voir avec le folium de Descartes.
Je ne comprend pas ...

[Bleyblue]

Ah non je me suis trompé en subsitituant. Je recommence ...

[Bleyblue]

Ah oui en fait :

x =

y =

merci