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démonstration sur des fonctions vérifiant les relations etc



  1. #1
    CromoX

    démonstration sur des fonctions vérifiant les relations etc


    ------

    Bonjour

    Je bloque sur l'exercice suivant, en deux parties:

    1) déterminer toutes les fonctions continues f qui vérifient
    f(x+y)=f(x)+f(y)
    Je pense que c'est l'ensemble des fonction du type f(x)=ax, a réel, mais je ne voie pas comment démontrer que ce sont les seules.

    2) montrer que si f(2x)=f(x), alors f est constante.
    J'ai essayé dans tous les sens, mais rien ne marche...

    Merci par avance de votre aide!

    -----

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  4. #2
    tize

    Re : démonstration sur des fonctions vérifiant les relations etc

    Salut,
    1) on montre facilement que pour tout entier n, f(n)=n.f(1)
    2) on montre que f(1/q)=(1/q).f(1) et donc f(p/q)=(p/q).f(1) et donc par continuité...
    En espérant ne pas avoir dit trop de bêtises...Cordialement José

  5. #3
    CromoX

    Re : démonstration sur des fonctions vérifiant les relations etc

    D'abord, merci beaucoup.
    Mais je ne voie pas du tout quoi faire "par continuité"
    Merci par avance.

  6. #4
    Ksilver

    Re : démonstration sur des fonctions vérifiant les relations etc

    Salut !

    tu a montré que pour tous x rationelle f(x)=a*x

    Q etant dense dans R, pour tous x, on peut trouver une suite de rationelle rn, telle que rn tendent vers x, f(rn)=a*rn tend vers f(x) par continuité d'ou f(x)=a*x.

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  8. #5
    Jeanpaul

    Re : démonstration sur des fonctions vérifiant les relations etc

    Essaie de tricher un peu et de supposer que la fonction est aussi dérivable.

  9. #6
    CromoX

    Re : démonstration sur des fonctions vérifiant les relations etc

    glup, glup, je patauge, et lentement!

    donc, avec f(p/q)=(p/q)f(1), je montre que pour tout x rationnel, f(x)=f(1)*x, mais comment généraliser à a, constante quelconque?

    Quant à dériver, je n'arrive pas à en tirer grand chose, même rien du tout...

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  11. #7
    Ksilver

    Re : démonstration sur des fonctions vérifiant les relations etc

    ah non on a pas le droit de dérivé, sinon on trouve l'ensemble des fonction derivable qui verifie la relation !

    regarde mon poste precedent, je t'explique comment généralisé avec la continuité !

  12. #8
    CromoX

    Re : démonstration sur des fonctions vérifiant les relations etc

    Citation Envoyé par Ksilver Voir le message
    Salut !

    tu a montré que pour tous x rationelle f(x)=a*x
    Justement, j'ai montré pour tout x rationnel, f(x)=f(1)x. La suite, je comprends mais elle ne marche que si j'ai déjà montré f(x)=a*x, pour pouvoir faire f(rn)=a*rn.
    sinon, avec f(x)=f(1)x, j'ai f(rn)=f(1)*rn, et par continuité, f(x)=f(1)*x, x réel.
    Ou alors j'ai rien compris (c'est possible). Merci

  13. #9
    homotopie

    Re : démonstration sur des fonctions vérifiant les relations etc

    Bonjour CromoX et aux autres,
    tu y es, poses tout simplement a=f(1)
    Pour la 2), f est continue (sinon le résultat est faux)
    L'idée de Jean-Paul permet de s'en convaincre on aboutit à 2f'(x)=f'(x) d'où f'(x)=0 d'où f constante (mais ce n'est pas une démo )
    L'idée est presque la même.
    Prenons x réel quelconque non nul.
    Pour quelle famille de nombres x' a-t-on f(x')=f(x) d'après la relation.
    Maintenant si cette famille X admet un point d'accumulation x0 (on peut construire une suite (x'n) d'éléments de X convergeant vers x0) alors f(x0)=limite f(x'n)=f(x).
    Et si "par chance" x0 est toujours le même il serait alors démontré que f(x)=f(x0) quelque soit x.

  14. #10
    Jeanpaul

    Re : démonstration sur des fonctions vérifiant les relations etc

    Juste une remarque : il est certain que supposer la fonction dérivable ajoute une hypothèse forte et que ça dénature un peu la question.
    Mais dans un examen de maths, il vaut mieux rajouter une hypothèse et résoudre le problème que rester sec ; ça donne toujours quelques points.

  15. #11
    invite986312212
    Invité

    Re : démonstration sur des fonctions vérifiant les relations etc

    Citation Envoyé par Jeanpaul Voir le message
    Juste une remarque : il est certain que supposer la fonction dérivable ajoute une hypothèse forte et que ça dénature un peu la question.
    Mais dans un examen de maths, il vaut mieux rajouter une hypothèse et résoudre le problème que rester sec ; ça donne toujours quelques points.
    j'ajouterai: c'est comme ça qu'avance la recherche. On voudrait bien montrer tel résultat pour une classe de fonctions la plus large possible, mais ça coince, alors on se dit que si elles étaient uniformément continues ça irait mieux, mais ça coince encore, alors... etc. Il ne faut pas renoncer à toute ambition et se contenter de résultats triviaux, mais il faut avancer...

  16. #12
    ericcc

    Re : démonstration sur des fonctions vérifiant les relations etc

    Citation Envoyé par homotopie Voir le message
    Pour la 2), f est continue (sinon le résultat est faux)
    L'idée de Jean-Paul permet de s'en convaincre on aboutit à 2f'(x)=f'(x) d'où f'(x)=0 d'où f constante (mais ce n'est pas une démo )
    .
    Hmm : je trouve en dérivant que 2f'(2x)=f'(x), ce qui ne me permet pas de conclure aussi rapidement, ou me trompe-je ?

    Citation Envoyé par homotopie Voir le message
    L'idée est presque la même.
    Prenons x réel quelconque non nul.
    Pour quelle famille de nombres x' a-t-on f(x')=f(x) d'après la relation.
    Maintenant si cette famille X admet un point d'accumulation x0 (on peut construire une suite (x'n) d'éléments de X convergeant vers x0) alors f(x0)=limite f(x'n)=f(x).
    Et si "par chance" x0 est toujours le même il serait alors démontré que f(x)=f(x0) quelque soit x.
    Je propose la démonstration suivante :
    posons x=a/2n, en appliquant la formule, on trouve que
    f(2x)=f(a/2n-1)=f(x)=f(a/2n)

    En réitérant on va trouver f(2.a/2)=f(a)=f(a/2n) pour tout n.
    Comme f est continue, je peux faire tendre n vers l'infini, et je trouve f(a)=f(0), qui est vraie pour tout a. Donc f est constante.

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