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convergence d'une série: exo de MP*



  1. #1
    Nor

    Question convergence d'une série: exo de MP*


    ------

    Je cherche la nature de la série de terme général:

    Quelqu'un pourrait-il m'aider??

    Je trouve cet exercice un peu bizarre. D'abord, on peut faire un changement de variable pour sortir le n du cosinus et le "mettre" aux bornes de l'intégrale. On voit alors que comme l'intégrale du cosinus est nulle sur un intervalle de longueur , ce qui nous intéresse c'est où le n tombe par rapport à un multiple de ...
    Et dans ce cas, on n'a pas d'approximation simple en passant en ... en particulier je ne sais pas montrer si l'intégrale tend ou non vers 0 en ...

    Merci d'avance!

    -----
    "Heureux soient les fêlés car ils laisseront passer la lumière"

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  3. #2
    zinia

    Re : convergence d'une série: exo de MP*

    Bonsoir,

    Je pense qu'on doit pouvoir montrer que ta série est bornée.
    Tu peux calculer
    en passant par la somme géométrique d'exponentielles (x=t²)
    puis en déduire ta somme alternée Sa à partir de la relation Sa=2S(2n)-S(n).
    On arrive alors à quelques chose du genre :

    La dernière fraction peut être majorée par 1+(t^4)/4

  4. #3
    Ksilver

    Re : convergence d'une série: exo de MP*

    j'y ai pensé aussi, mais la seri en question n'est pas de signe fixe ! (enfin si, mais sa na rien d'evident)



    et il me semble que la serie sans le (-1)^n est divergente ...

  5. #4
    armor92

    Re : convergence d'une série: exo de MP*

    Bonjour nor,

    Doit on trouver la nature de la suite :
    Un =
    ou de la somme des Un, c. a. d. :


    Cordialement

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Nor

    Re : convergence d'une série: exo de MP*

    Je dois avouer que je n'ai pas tout suivi à ta réponse zinia, mais quand bien même on arriverai là. Tu as dit:

    [/QUOTE]
    La dernière fraction peut être majorée par 1+(t^4)/4[/QUOTE]

    Cela ne nous montre rien... puisqu'on majore par quelque chose qui diverge...

    armor92, il est bien question de la nature de la somme des Un...
    Mais si la suite des Un tend vers 0 en décroissant on peut appliquer le principe des séries alternées et le série devient convergente. Disons que cela nous donnerait de l'information que de savoir la nature de la suite des Un... que je ne sais pas non trouver non plus!

    merci à tous
    "Heureux soient les fêlés car ils laisseront passer la lumière"

  8. #6
    Ksilver

    Re : convergence d'une série: exo de MP*

    J'avoue que je n'ai plus trop d'idée la,

    la suite Un n'est pas decroissante, sa ne sert a rien d'essayer de le prouver.


    a part essayer d'explicité la somme (tu peut calculer la somme des (-1)^n*cos(n*t²) et de voir si on peut pas dire des choses sur l'integrales du resultat... mais sa fait beaucoup de gros calcule !

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  10. #7
    zinia

    Re : convergence d'une série: exo de MP*

    Ce que j'ai voulu dire c'est que

    En ayant fait le calcul suggéré par Ksilver
    Sans que cela garantisse la convergence.

  11. #8
    armor92

    Re : convergence d'une série: exo de MP*

    Pour trouver la nature de la suite :
    Un =
    on peut faire le chagement de variable :
    u = nt²
    du = 2nt dt
    dt = du / (2 * Rac( n * u))

    L'expression de Un devient :
    Un =

    On peut poser :
    In = ,

    on a donc :
    Un =

    Pour calculer In, on peut faire une intégration par partie :
    In =

    On a :
    =

    Pour démontrer que In converge vers une valeur finie, il faut montrer que l'intégrale converge vers une valeur finie quand n tend vers l'infini.

    Si on arrive à le démontrer, on montre que :
    Un =
    tend vers 0 quand n tend vers l'infini.

  12. #9
    Nor

    Re : convergence d'une série: exo de MP*

    Merci beaucoup!
    La meme intégrale entre 1 (par exemple) et n admet une limite bornée car est intégrable... j'ai carrément majorer sinu par 1!
    Mais le problème se pose en 0... si on effectue la même majoration brutale on a un infini qui apparait... plutôt gênant!
    "Heureux soient les fêlés car ils laisseront passer la lumière"

  13. #10
    Nor

    Re : convergence d'une série: exo de MP*

    En fait, lorsqu'on est proche de 0, on peut approximer sinu par u et on obtient alors l'intégrale des qui elle admet une limite finie en 0...
    Yipeee!!!
    "Heureux soient les fêlés car ils laisseront passer la lumière"

  14. #11
    Nor

    Re : convergence d'une série: exo de MP*

    excusez-moi de faire la discussion toute seule... j'ai essayé de conclure, après avoir montré que la suite Un tendait vers 0 mais je n'y parvient pas. Dommage...
    J'aurais surement la correction du problème demain, je vous dirai la réponse.
    Merci encore!
    "Heureux soient les fêlés car ils laisseront passer la lumière"

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