C'est la Nature ondulatoire qui dicte laTrajectoire !

[Christian Arnaud]

Amis de la quantique, Bonjour

Au hasard de recherches, je tombe sur
theory.physics.unige.ch/~albert/documents/moindre_action.ppt
diapo 24, on peut lire :

Comment une particule trouve-t-elle le chemin d'Action Stationnaire ?
C'est la Nature Ondulatoire qui dicte la Trajectoire

j'ai eu le sentiment de retrouver l'onde pilote de De Broglie/D.Bohm
Mais mettre une majuscule à nature et parler de trajectoire à cette échelle
Sans parler du verbe "dicte"! et pourtant ce site me semble sérieux (université Genève)!

Qu'en pensez-vous ?
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[invitef17c7c8d]

Que pensez-vous de cette métaphore?
L'onde est à la particule ce que la canne blanche est à l'aveugle.
Plus la canne sera longue (plus l'action sera grande devant la constante de Planck), plus facile sera la détermination du meilleur chemin entre deux points.

[Christian Arnaud]

Que pensez-vous de cette métaphore?
L'onde est à la particule ce que la canne blanche est à l'aveugle.
Plus la canne sera longue (plus l'action sera grande devant la constante de Planck), plus facile sera la détermination du meilleur chemin entre deux points.

Bonjour lionelod

très sincèrement, je pense que c'est une métaphore trompeuse C'est le genre d'image qui m'est venue à mes débuts dans la discipline, et dont j'ai eu du mal à me débarrasser Quant à la notion de meilleur chemin , là, j'ai un gros doute

[invitef17c7c8d]

C'est la Nature Ondulatoire qui dicte la Trajectoire

On pourrait peut-être le comprendre non pas par l'approche de Feynman, mais par celle de Schrodinger.
Le passage du quantique au classique se fait par la sommation d'un très grand nombre d'états (ou onde stationnaire) quantique. L'aspect ondulatoire disparait au niveau macroscopique par application du théorème central limite. Tous ces états donnent un état quasi-cohérent qui a la forme d'un paquet gaussien. La valeur moyenne de ce paquet correspondant à la position classique.

Donc, on peut bien affimer que c'est la nature ondulatoire qui dicte la trajectoire...

[A voir en vidéo sur Futura]

[Christian Arnaud]

bonjour Lionelod

difficile de vous suivre sur Schrödinger car la diapo fait partie d'une info sur le principe de moindre action et la page précédant ma citation porte sur l'intégrale de chemins (issue en fait du propagateur quantique).
Si on reste au niveau de la fonction d'onde, on va parler de probabilité de position, mais pas de trajectoire.
En fait, je pense que l'auteur a voulu :
1) faire apparaître le rôle essentiel de l'amplitude de probabilité, donc de l'aspect ondulatoire
2) couper court à toutes les questions du type :"Mais comment une particule peut-elle choisir un chemin par rapport à un point d'arrivée qu'elle ne connaît pas encore" (vaste débat sur la finalité qui date de Maupertuis ou Fermat) en posant lui-même la question ,assortie de la réponse qui lui convient.

@+

[invite473b98a4]

Jer ne suis pas sûr mais je crois que c'est parce que la formulation de feynman par intégral de chemin utilise des variables classiques dans le lagrangien.

[invitef17c7c8d]

difficile de vous suivre sur Schrödinger car la diapo fait partie d'une info sur le principe de moindre action et la page précédant ma citation porte sur l'intégrale de chemins (issue en fait du propagateur quantique).
Si on reste au niveau de la fonction d'onde, on va parler de probabilité de position, mais pas de trajectoire.

Lorsque l'on emploie les mots "Nature ondulatoire", quelles sont les deux images qui viennent naturellement à l'esprit: D'une part les ondes progressives et d'autre part les ondes stationnaires.
L'approche de Feynman fait appel à cette première image (ondes progressives) car dans l'expression du propagateur apparait un avec S une action et h la constante de Planck.
L'approche de Schrodinger fait-elle appel à l'image des ondes stationnaires (les états quantiques).

Dans les deux cas, le passage du quantique au classique (c'est à dire du microscopique au macroscopique) se fait en sommant dans le premier cas toutes les actions, dans le second cas tous les états quantiques.A chaque fois, on retrouve cette notion de déterminisme à travers d'une part LE chemin de moindre action, et d'autre part LA trajectoire de la particule. Dans les deux cas, l'aspect ondulatoire disparait soi à cause d'interférences (1er cas) soit à cause d'une répartition gaussiène de la fonction d'onde d'écart type très très faible.

En fait, je pense que l'auteur a voulu :
1) faire apparaître le rôle essentiel de l'amplitude de probabilité, donc de l'aspect ondulatoire

Là c'est moi qui ait du mal à vous suivre... L'amplitude de probabilité de la fonction d'onde au carré?

2) couper court à toutes les questions du type :"Mais comment une particule peut-elle choisir un chemin par rapport à un point d'arrivée qu'elle ne connaît pas encore" (vaste débat sur la finalité qui date de Maupertuis ou Fermat) en posant lui-même la question ,assortie de la réponse qui lui convient.

Tout à fait d'accord avec vous sur ce point

[Christian Arnaud]

Jer ne suis pas sûr mais je crois que c'est parce que la formulation de feynman par intégral de chemin utilise des variables classiques dans le lagrangien.

bonjour kalish et content de te retrouver ici
et bien , je dirais plutôt que c'est parceque l'action classique apparaît toute seule dans la propagateur quantique qu'on a eu droit aux intégrales de chemin

[invite473b98a4]

Bonjour, mais comment faites vous pour distinguer une action classique d'une action quantique qu'est ce que ça voudrait dire? Feynman est partie d'une information donnée par Dirac, qui établie une "analogie" entre une matrice de transition d'un état entre deux instants différents et un opérateur de transition "classique" (qui ne sort de je ne sais pas où), faisant apparaitre le lagrangien. A la limite quand l'intervalle entre deux instants devient très petit les deux expressions sont égales, ce qui peut toujours se faire non? En TQC, on part d'un lagrangien faisant intervenir des variables tout ce qu'il y a de classique, la quantifiction apparait grâce aux relations de commutations qui font intervenir h selon moi, et aussi parce que p est un opérateur différentiel, ce qui est bizarre et vient d'un seul postulat. On dit souvent qu'on ne peut pas définir de vitesse en MQ mais ça n'est pas vrai 1) voir le théorème d'Ehrenfest 2) on le définit simplement comme P/m. Ce qui est d'ailleurs étrange finalement puisque elle fait classiquement intervenir deux positions, et une durée, la position étant un opérateur...ça sous entend un peu qu'on suit bien une particule quand on étudie une fonction d'onde...pour un électron, donc ça peut se faire dans certaines conditions, que la fonction d'onde ne décrive qu'une particule (sic). Je ne sais pas en TQC ce qu'il en est, vu que je n'ai pas l'impression qu'on puisse encore parler de fonction d'onde.

[Christian Arnaud]

mais comment faites vous pour distinguer une action classique d'une action quantique qu'est ce que ça voudrait dire?

Bonjour Kalish
Je n'ai rien distingué du tout je dis seulement que lorsqu'on établit le propagateur de la particule libre l'action classique apparaît dans la formule (sous la forme indiquée par Lionelod) sans qu'on parle de Lagrangien

@+

[invite473b98a4]

Mais une action sans lagrangien ça n'existe pas, c'est la définition de l'action.

[Christian Arnaud]

Mais une action sans lagrangien ça n'existe pas, c'est la définition de l'action.

bonjour kalish,
oui, bien évidemment, mais pour la particule libre, on montre assez facilement que S= 1/2m(q_f-q_i)²/(t_f_t_i) (désolé, en réponse rapide pas de Latex )) et c'est cette quantité qui apparaît dans le propagateur
@+

[obi76]

Effectivement, pas de latex en réponse rapide... je mets ça dans les choses à corriger.

[chaverondier]

Amis de la quantique, Bonjour

Au hasard de recherches, je tombe sur
theory.physics.unige.ch/~albert/documents/moindre_action.ppt
diapo 24, on peut lire :

Comment une particule trouve-t-elle le chemin d'Action Stationnaire ?
C'est la Nature Ondulatoire qui dicte la Trajectoire

Qu'en pensez-vous ?

C'est une façon d'insister sur le fait que le théorème de la phase stationnaire (théorème dont émerge la position et la vitesse de groupe d'un "paquet d'onde" ainsi qu'un principe de moindre action) permet de faire apparaître des grandeurs classiques de position, de vitesse et de trajectoire émergeant à l'échelle macroscopique à partir d'une modélisation quantique de la physique "profondément ondulatoire" (au sens de considérations d'interférence destructive et de modélisation hamiltonienne de la dynamique d'évolution des systèmes et non au sens bien trop réducteur de vibrations d'un milieu)

Ca n'élimine cependant pas le mystère entourant la notion de vecteur d'état :

• l'impossibilité d'accéder à une connaissance complète de l'état quantique d'un système physique autrement qu'en procédant à un ensemble de mesures (avec un ensemble d'observables et à condition de ne pas se limiter à un ensemble complet d'observables qui commutent) sur un ensemble statistique de systèmes préparés dans un même état quantique suggère d'interpéter le vecteur d'état comme modélisant un ensemble statistique de systèmes quantiques et non comme modélisant un système quantique individuel.
  a
• les propriétés de superposition des états quantiques et les propriétés d'interférence des états quantiques suggèrent au contraire d'interpréter le vecteur d'état d'un système quantique et sa dynamique d'évolution comme un modèle de l'évolution d'un système quantique individuel. En effet, des probabilités (des vraies, pas des quasi-probabilités) ça n'interfère pas parce que ça n'est jamais négatif et encore moins complexe (1).

(1) D'ailleurs, les probabilités ne sont pas les composantes complexes des vecteurs d'états (dans une base hilbertienne de l'espace des états du système considéré) mais leurs carrés scalaires. Le passage des composantes à leurs carrés (carrés récupérables en faisant des statistiques sur les résultats de mesure quantique relatifs à une base hilbertienne) fait disparaître les phases de ces composantes, reflétant ainsi la suppression irréversible de l'accès de l'observateur macroscopique à une partie de l'information sur l'état du système observé au cours du processus de mesure quantique.

Des états quantiques finals identiques peuvent provenir d'états quantiques initiaux différents. La mesure quantique a effacé la trace de ces différents états initiaux pour les conduire vers un même état final par dissipation, dans l'environnement, d'informations sous forme de corrélations EPR avec cet environnement. Ces corrélations sont (c'est ce qu'on pense à ce jour du moins) inaccessibles à l'observateur.

C'est comme dans le cas d'une bille finissant ses oscillations au fond d'un bol quel que soit l'état modéré de déséquilibre de départ considéré. Le rayonnement thermique irréversiblement dégagé par frottement et contenant l'information manquante sur l'état initial de la bille est allé se cacher dans le rayonnement électromagnétique ambiant (hors de portée de l'observateur macroscopique le mieux équipé).

[invitef17c7c8d]

Superbe réponse de chaverondier...

Une idée à propos de la théorie des probabilités.
Ne pourrait-on pas inverser la manière d'aborder les probabilités "classique"? Je m'explique...
En MQ, la probabilité est donnée par l'amplitude complexe de le fonction d'onde au carré, OK.
En théorie des probabilités, ne pourrait-on pas introduire des nombres complexes qui élevés au carré redonnerait la probabilité.
Cela permettrait de rendre "dynamique" les fonctions densité de probabilité. Au lieu d'avoir une fonction figé, on verrait apparaitre également des notions comme des courants de probabilités...
C'était juste une idée en l'air, ne tenir comptee que de la première phrase

[Christian Arnaud]

bonjour chaverondier et merci pour cette réponse qui pourrait figurer dans de nombreux posts sur la quantique

(1) D'ailleurs, les probabilités ne sont pas les composantes complexes des vecteurs d'états (dans une base hilbertienne de l'espace des états du système considéré) mais leurs carrés scalaires. Le passage des composantes à leurs carrés (carrés récupérables en faisant des statistiques sur les résultats de mesure quantique relatifs à une base hilbertienne) fait disparaître les phases de ces composantes,
.

je suis tenté d'ajouter que la connaissance expérimentale des probabilités, donc des carrés, ne permet pas de remonter aux composantes complexes ( on prend souvent les racines carrées réelles par commodité, mais on pourait choisir parmi une infinité de nombre complexes ayant pour module la proba trouvée, non ?

@lionelod : il me semble que les courants de probabilité existent déjà


@+

[invitef17c7c8d]

C'est une façon d'insister sur le fait que le théorème de la phase stationnaire (théorème dont émerge la position et la vitesse de groupe d'un "paquet d'onde" ainsi qu'un principe de moindre action) permet de faire apparaître des grandeurs classiques de position, de vitesse et de trajectoire émergeant à l'échelle macroscopique à partir d'une modélisation quantique de la physique "profondément ondulatoire" (au sens de considérations d'interférence destructive et de modélisation hamiltonienne de la dynamique d'évolution des systèmes et non au sens bien trop réducteur de vibrations d'un milieu)

Je ne sais pas trop à quoi vous faites allusion, mais une différence entre les états stationnaires du quantique et les modes propres en vibration est qu'en quantique, on a en plus une notion de courant de probabilité. Cette notion, je ne sais pas si elle est bien perçue par les étudiants de la MQ, me semble être très importante. On peut imaginer un état stationnaire en MQ comme une onde stationnaire en vibration mais possédant un courant permanent. C'est quand même assez curieux à se représenter! La fonction d'onde est stationnaire et en même temps elle s'écoule.

[albanxiii]

La fonction d'onde est stationnaire et en même temps elle s'écoule.

Ceci est faux.

[invitef17c7c8d]

Ceci est faux.

Qu'est ce qui vous fait dire que c'est faux?
Pourtant on établit bien un courant de probabilité à partir de l'équation de Schrodinger!

J'espère que contrairement à vos habitudes, vous argumenterez un peu vos propos par autre chose que: "n'importe quoi", "anti-scientifique, ou je ne sais plus quoi d'autre...

[invitef17c7c8d]

La mécanique quantique doit pouvoir représenter à la fois les aspects ondulatoire et corpusculaire de la matière atomique.
Vous devez bien comprendre que si vous "enlevez" le courant de probabilité" et ne conservez que la fonction d'onde "statique", vous perdez l'aspect corpusculaire...

[Christian Arnaud]

C'est une façon d'insister sur le fait que le théorème de la phase stationnaire (théorème dont émerge la position et la vitesse de groupe d'un "paquet d'onde" ainsi qu'un principe de moindre action)

re-bonjour chaverondier
Ce théorème de la phase stationnaire m'a trotté dans la tête toute la journée, et je vous expose pourquoi :
globalement, on fait le raisonnement suivant :
Si l'action possède une et une seule zone stationnaire autour d'un chemin donné, dans le segment S>>h, alors la trajectoire réelle est celle de ce chemin (seule contribution significative à l'intégrale)
que l'on transforme en une affirmation inconditionnelle :
l'action possède une et une seule zone stationnaire autour d'un chemin donné, dans le segment S>>h, alors la trajectoire réelle est celle de ce chemin (seule contribution significative à l'intégrale).
En effet, il me semble que l'on ne démontre pas l'hypothèse : " Si l'action possède une et une seule zone stationnaire autour d'un chemin donné, dans le segment S>>h,"

[invitef17c7c8d]

re-bonjour chaverondier
Ce théorème de la phase stationnaire m'a trotté dans la tête toute la journée, et je vous expose pourquoi :
globalement, on fait le raisonnement suivant :
Si l'action possède une et une seule zone stationnaire autour d'un chemin donné, dans le segment S>>h, alors la trajectoire réelle est celle de ce chemin (seule contribution significative à l'intégrale)
que l'on transforme en une affirmation inconditionnelle :
l'action possède une et une seule zone stationnaire autour d'un chemin donné, dans le segment S>>h, alors la trajectoire réelle est celle de ce chemin (seule contribution significative à l'intégrale).
En effet, il me semble que l'on ne démontre pas l'hypothèse : " Si l'action possède une et une seule zone stationnaire autour d'un chemin donné, dans le segment S>>h,"

Parfois faire une petite application numérique peut aider à la compréhension...

Supposons que l'on soit dans une zone ou l'action varie très très peu, disons que (S est l'action sur chemin donné)
sera une valeur très grande car la fonction sinus ne varie pas trop et les sinus s'additionnent.

Supposons que l'on soit dans une zone ou l'action varie énormément, disons que (S est l'action sur chemin donné)
sera une valeur très petite car la fonction sinus varie énormément et les sinus s'annulent.

[Christian Arnaud]

Parfois faire une petite application numérique peut aider à la compréhension...

bonjour aussi lionelod ,et merci d'avoir pris le temps de zoomer sur la phase stationnaire )
Cependant ce n'est pas là que je bloque ; c'est illustré graphiquement dans le diaporama et c'est pas très compliqué ; c'est plutôt l'enchaînement global des propos, comme je l'indique dans mon message précédent : c'est un peu comme si l'on disait :
1) supposons que le principe de moindre action existe
2) alors l'action est stationnaire autour du chemin réel
3) donc l'intégrale du propagateur est majoritairement l'action de ce chemin
4) alors le principe de moindre action est vrai.

Ceci dit, et pour revenir à mon étonnement initial dans ce fil ( l'utilisation du verbe "dicte" notamment !),
on peut trouver dans le tome 1 du Cohen :
c'est l'onde associée à la particule qui, "en tâtant" les divers chemins possibles, sélectionne celui pour lequel l'action sera la plus faible
Etonnant, non ?

n fait, ce qui me gène dans toutes ces images ("dicte"/"en tâtant"+sélectionne/onde-pilote/canne blanche/) c'est la personnalisation de l'onde de De Broglie/Schrödinger qui effectue un tri et crée une action(jeu de mots, maître" Capello en retour sur la particuleje pensais que ces approches du type variables cachées avaient été abandonnées depuis longtemps

@+

[invitef17c7c8d]

Oui....
C'est pour cela qu'il me semble que décrit de cette manière, le principe de moindre action n'est pas causal...

L'action est homogène à une énergie sur un temps. Si l'on veut minimiser cette quantité (l'action) il faut trouver le chemin qui minimise l'énergie et en même temps maximise le temps.
Si h (la constante de Planck) représente une incertitude sur la mesure de l'action d'une particule. Il existe certainement de nombreux chemins pour lequel la valeur est comprise entre la valeur de moindre action et la valeur de moindre action + la constante de Planck.

Mais pourquoi tous ces chemins ont un comportement ondulatoire, alors là mystère...

[invite64686f3d]

Bonjour,

Non, l'action est homogène à des J.s, pas des J/s

[invitef17c7c8d]

C'est vrai qu'avec des J.s, mon raisonnement tient mieux la route qu'avec des J/s...
Minimiser à la fois l'énergie et le temps...

[invitef17c7c8d]

C'est vrai que tout à coup, je viens de me souvenir de la relation d'incertitude :
Mais je ne vois toujours pas le rapport avec les ondes...

[invitef17c7c8d]

Je considère pour simplifier le cas d'un système quantique dans un état stationnaire...

L'énergie en MQ est donnée par la valeur propre de l'Hamiltonien (je dis la valeur et pas les valeurs car je suppose que j'applique le principe de réduction du paquet d'onde)

Or d'autre part, un état quantique reste inchangé par un changement de la phase globale. Or c'est ce terme en fait ( la phase globale ) qui fait apparaitre la notion d'onde. Un truc de la forme

Mais c'est quand même dingue, car du même coup, il faut abandonner la notion de trajectoire...

Je crois d'ailleurs que ceci est une symétrie : invariance de l'état quantique par changement de la phase...

[Christian Arnaud]

Je considère pour simplifier le cas d'un système quantique dans un état stationnaire...

bonjour lionelod
Excusez moi, mais j'ai l'impression que vous partez dans tous les sens l'état d'un système quantique est un état quantique , tout simplement; il n'est ni stationnaire, ni fluctuant, me semble-t-il
Quant à la notion de trajectoire, à cette échelle, il faut absolument l'abandonner.
Mais si vous pouviez répondre en détail à mon message #23, ça m'irait très bien.

@+

[invitef17c7c8d]

Mon cher Monsieur Arnaud, je vous apprécie beaucoup, mais hélas je vais devoir vous répondre un peu sèchement ...
Ce n'est pas parcequ'il y a la dualité onde/corpuscule en quantique qu'il y a aussi la dualité stationnaire/fluctuant, voyons!

A la base de la base de la MQ, il y a l'équation de Schrodinger, et c'est elle et elle seule qui nous dit si un état est stationnaire ou pas!
Grosso Modo, on détermine les valeurs propres (énergie) et vecteur propres (fonctions d'onde) de l'Hamiltonien, et puis on les balance dans l'équation de Schrodinger pour connaitre l'évolution du système. Si l'état du système n'évolue pas au cours du temps, le système est stationnaire. Cela veut dire aussi que les valeurs propres ne changent pas au cours du temps. Les valeurs propres à l'instant t0 sont les mêmes que celles à t1, t2, etc...

La beauté de la chose,c'est que ceci se traduit également par la notion de conservation de l'énergie, puis que les valeurs propres sont les énergies du système quantique.

Mais c'est là qu'entre en jeu une subtilité supplémentaire: C'est la notion d'invariance d'état par changement de phase. Ce paquet d'onde s'écoule au cours du temps de façon permanente sans changer l'état du système! On a un flux, un courant de probabilité et pourtant le système reste invariant!