Condensateur Cylindrique

[invite6c1db1b4]

Bonjour tout le monde,

J'éprouve quelques difficultés à la résolution d'un exercice, c'est pourquoi je sollicite votre aide.
on me dit : On a 2 cylindres coaxiaux d'axes (z'z), notés C1 et C2 de rayons respectifs R1 et R2 (où R1<R2), supposés infiniment longs et portés aux potentiels V1 et V2. L'ensemble est électriquement neutre et on note λ la charge totale portée par unité de longueur suivant (z'z) par le cylindre C1. Les charges sont réparties uniformément sur les armatures.
1) Calculer le champ, je trouve :
Si r<R1, E(r)=0

si R1<r<R2, E(r)= λ/(2πε₀r) (Ce qui est la même chose que pour un fil infini si je ne m'abuse, est-ce normal ?

si r>R2, E(r)=0 étant donné que l'ensemble est électriquement neutre ?

2) Ensuite, je dois calculer le potentiel en tout point M de l'espace et l'on me précise qu'il est nul à l'infini.

J'obtiens, V(M)= ln(1/r)/(2πε₀)
Ce qui ne m'a pas l'air de tendre vers 0 en l'infini, même avec une constante d'intégration.
Bref, je suis un peu perdu, merci d'avance de m'éclairer quelque peu
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[calculair]

bonjour
Tu appliques le theorème de Gauss

E* 2 Pi R* L = 1/epilon Q L

E = Q / ( 2 pi epsilon R ) nous sommes OK

V selon R = somme E dr de R1 à R2 . Les potentiels ne sont definis qu'a une constante arbitraire près.... Tu te fixes la constante pour qu'i en soit ainsi... C'est à dire V=0 sur l'armature exteerieure...

[invite6c1db1b4]

Si j'intègre de R1 à R2 je trouve :
V1-V2=λ*ln(R2/R1)/(2πε₀)
Donc une différence de potentiel, or l'on me demande de trouver le potentiel en tous points de l'espace, donc il doit dépendre de r j'imagine. Calculer la ddp est question suivante en fait.

[calculair]

Bonjour,

V1 - V2 est bien une DDP

N'oublie pas que lorsque tu depasses l'armature externe le champ E est nul. Le potentiel n'evolue plus. Si tu fixes arbitrairement que le potentiel est nul sur cet armature, le potentiel à l'infini sera nul
La circulation d'un champ nul donne une DDP = 0.

J'espère que c'est clair

[A voir en vidéo sur Futura]

[calculair]

bonjour
Tu as 2 fonction pour V

L'une entre les armatures
L'autre audela

Il y a aussi ce qui se passe à l'interieur du conducteur central... or E est nul dans un conducteur, le potentiel reste constant à sa valeur sur cette armature

[invite6dffde4c]

Bonjour et bienvenu au forum.
Oui. Vous avez trois régions :
r >= R1
R1 <= r <= R2 et
r >= R2
Il faut que vous appliquiez le théorème de Gauss dans les trois régions.
Dans la formule que Calculair vous a donnée, la valeur de Q/L dépend de la région dans laquelle vous êtes.
Il faut faire les « trois » problèmes séparément en tenant compte que le potentiel, dans ce problème, est continu (il n'y a pas des discontinuités au passage entre deux régions).
Au revoir.

[invite6c1db1b4]

Bonjour, merci beaucoup pour vos réponses
Si j'ai bien compris,
j'aurais donc pour R1<r<R2
V(M)= ln(1/r)/(2πε0)+C

Or le potentiel est nul à l'infini et étant constant pour r>R2, j'aurais nécessairement V(R2)=V2=0
D'où V(M)=ln(R2/r)/(2πε0)
Est-ce bien cela ?
Mais dans ce cas, qu'en est-il pour r<R1 ?

[invite6dffde4c]

Bonjour, merci beaucoup pour vos réponses
Si j'ai bien compris,
j'aurais donc pour R1<r<R2
V(M)= ln(1/r)/(2πε0)+C

Or le potentiel est nul à l'infini et étant constant pour r>R2, j'aurais nécessairement V(R2)=V2=0
D'où V(M)=ln(R2/r)/(2πε0)
Est-ce bien cela ?
Mais dans ce cas, qu'en est-il pour r<R1 ?

Re.
Non.
Pour R1 <= r <= R2 vous avez :
V(r)= V_R1 + ln(r/R1)/(2πε_o)

Je vous l'ai dit: il faut appliquer le théorème de Gauss pour cette zone (r < R1) et vous obtiendrez le résultat que Calculair vous a donné.
A+

[invite6c1db1b4]

Re,
l'application du théorème de Gauss pour r<R1 nous dit immédiatement que E(r)=0 donc le potentiel est nécessairement constant dans cette zone. Le potentiel étant continu, cette constante doit valoir V_R1.
Et l'on retrouve effectivement la formule que vous avez donnée.
Or V_R2=0 a priori, donc puis-je en déduire que V_R1=-ln(R2/R1)/(2πε₀) ?

[invite6dffde4c]

...
Or V_R2=0 a priori, ...

Re.
À priori, vous n’avez pas le droit de choisir le potentiel à l’infini comme référence que dans les problèmes où il n’y a pas de charges à l’infini. Ici vous avez des charges l’infini, même si il y a autant des positives que négatives. Donc, vous n’avez pas le droit.
Donc, je vous conseille de choisir quelque chose de sûr : prenez zéro pour le potentiel pour r = 0.
Cela vous donne zéro pour le potentiel à R1, quelque chose pour le potentiel, à R2, et le même potentiel au delà, pour des positions finies dans le câble (loin d’une « extrémité »).
A+

[invite6c1db1b4]

L'énoncé nous dit clairement de prendre le potentiel nul à l'infini. L'ensemble étant électriquement neutre, l'application du théorème de Gauss pour r>R2 nous dit immédiatement que E(r)=0 donc potentiel constant dans cette zone. Or étant nul à l'infini d'après l'énoncé et par continuité du potentiel, le potentiel devrait être nul en R2, non ?

[invite6dffde4c]

L'énoncé nous dit clairement de prendre le potentiel nul à l'infini. L'ensemble étant électriquement neutre, l'application du théorème de Gauss pour r>R2 nous dit immédiatement que E(r)=0 donc potentiel constant dans cette zone. Or étant nul à l'infini d'après l'énoncé et par continuité du potentiel, le potentiel devrait être nul en R2, non ?

Re.
Faites comme vous voulez.
Bien des gens oublient que le potentiel ne peut pas être choisi comme zéro à l’infini dans tous les cas.
A+

[invite6c1db1b4]

C'est pas que je tienne absolument à le prendre nul à l'infini, mais c'est l'énoncé qui nous le dit ^^'
Si l'énoncé le dit, je ne peux pas y déroger...
Merci beaucoup pour votre aide en tous les cas

[invite6dffde4c]

C'est pas que je tienne absolument à le prendre nul à l'infini, mais c'est l'énoncé qui nous le dit ^^'
Si l'énoncé le dit, je ne peux pas y déroger...
Merci beaucoup pour votre aide en tous les cas

Re.
Dans ce cas, il faut avoir de la suite dans les idées et intégrer à partir du potentiel supposé connu, c’est à dire de l’infini à r et non à l’inverse :
Infini - r – R2 – r – R1 – r – 0.
Ça ne change pas le résultat, mais ce n’est pas absurde. Comme l’est de commencer par r = 0 avec un potentiel inconnu.

Et de toute façon, vous pouvez déroger. Vous faites le calcul correctement, puis vous décalez tous les potentiels avec ce que vous avec trouvé pour r infini, de sorte de fixer le potentiel de référence zéro à l’infini.
A+

[calculair]

Bonjour Atomixify et LPFR,

Tu peux faire confiance à LPFR c'est une reference....., mais il faut qu'il nous explique pourquoi danc le cas de ton condensateur cylindrique on ne peut faire V= 0 à l'infini.

Dans lzs 3 zones d'espace definies en partant de l'axe

Une zone ou le champ est nul jusqu'a la suface du conducteur central, le potentiel vaut V1 dans cette zone

Une zone ou le champ E est calculé avec notre "collègue" Gauss ou le potentiel varie et atteint V2 sur le conducteur exterieur

une zone ou le champ est a nouveau nul ( La somme des charges conducteur central et conducteur externe = 0 donc E = 0), le potentiel est alors invariant.

SI on ajuste la constante arbitraire qui fixe les potentiels de façon que le potentiel du conducteur externe = 0 je pense pouvoir dire que le potentiel est nul à l'infini....

Par contre si la direction de l'infini est l'axe du conducteur central, je ne sais repondre, mais cela n'a pas beaucoup de sens physiquement, puisque on est à l'interieur du condensateur cylindrique.


Merci à LPFR de nous donner une leçon

Bien cordialement

[invite6dffde4c]

Re.
Quand il n’y a pas de charges à l’infini, on peut admettre que leur influence s’estompe avec la distance et que l’infini est au même potentiel « partout » dans n’importe quelle direction.
Mais prenez un fil infini chargé. Loin du fil son influence s’estompe mais l’infini n’est pas au même potentiel partout. Notamment dans la direction du fil.
Dans notre cas, le potentiel à l’infini dans la direction du fil n’est pas nul non plus. Il a la même valeur que pour r = 0.
A+

[calculair]

Bonjour LPFR

Comment traduire cela à l'infini

V= 0 partout, sauf dans la dirction du fil ou sur un cylindre de rayon R le potentiel est celui du conducteur central

Dans le cas du condensateur cylindrique le potentiel est nul dans toute la region de l'espace exterieur au conducteur externe, le potentiel n'evolue plus car E = 0 et cette region est au potentiel choisi pour ce conducteur exterieur

Bien cordialement

[invite6dffde4c]

Bonjour LPFR

Comment traduire cela à l'infini

V= 0 partout, sauf dans la dirction du fil ou sur un cylindre de rayon R le potentiel est celui du conducteur central

Dans le cas du condensateur cylindrique le potentiel est nul dans toute la region de l'espace exterieur au conducteur externe, le potentiel n'evolue plus car E = 0 et cette region est au potentiel choisi pour ce conducteur exterieur

Bien cordialement

Re-bonjour Calculair.
Dans ce cas particulier il n’y a pas de problème à dire que les charges n’ont plus d’influence pour r = infini (sans parler de l’infini dans n’importe quelle direction). Et d’intégrer le champ sur ‘r’.
Et avec un tout petit peu d’expérience, le zones de champ nul et potentiel constant sont évidentes.
Mais si j’ai insisté c’était dans un but pédagogique. On divise le problème en régions de même géométrie et on calcule le potentiel en commençant par un endroit connu. Et quand il y a des charges à l’infini, on se garde bien déclarer que le potentiel à l’infini est nul « à priori ».
Cordialement,

[invite6c1db1b4]

Bonsoir Calculair et LPFR,
après avoir réfléchi un tant soit peu (), je trouve ça également un peu aberrant de mettre le potentiel nul à l'infini dans ce cas-là. Mais bon, si l'on s'éloigne "beaucoup", le potentiel, bien que non uniforme sera "très faible". Après tout est relatif...

Dans le cas du condensateur cylindrique le potentiel est nul dans toute la region de l'espace exterieur au conducteur externe, le potentiel n'evolue plus car E = 0 et cette region est au potentiel choisi pour ce conducteur exterieur.

Ok ça marche. Dans la région où r<R1, le potentiel est bien égal à une constante appelée V1 (potentiel de l'armature extérieure) ?
Merci beaucoup pour vos réponses

[calculair]

Bonjour LPFR,

Merci pour ton explication et pour la mise en evidence des pièges eventuels

Bien cordialement