Bonjour à tous!
pouvez vous me dire si cela est bon
Un petit inuit , assimilé à un solide S de masse m glisse sur le toit d' un igloo hemispherique de rayon R et de centre O. Il part du sommet A sans vitesse initiale et se deplace sans frottement le long de l' arc de cercle formé par le toit de l' igloo.
La position de l' enfant est reperée par l' angle formé entre la verticale et le rayon ( segment du centre de l' igloo à l' enfant ) θ= ( OA, OS ) ( angle)
1. En appliquant le theoreme de l' energie cinetique , trouver une relation entre v,g, R et θ.
2.Appliquer la deuxieme loi de newton.
3. Determiner la position du solide au moment ou il quitte la sphere. Quelle est alors sa vitesse ?
Merci bcp
1. À condition qu’il y ait contact, V = R.dθ/dt [mouvement circulaire]
L’origine de l’énergie potentielle est arbitraire.
Si on la choisit au sommet [θ = 0], alors Ep = m.gR(1-cos(θ))
→ m.V²/2 + m.g.R(1-cos(θ)) = 0 [valeur de l’énergie mécanique au sommet]
→ V = √[2 g.R(1-cos(θ))]
2. m.d²r↑/dt² = m.g↑ + ℜ↑ que l’on décompose selon la normale au cercle [vecteur unitaire er↑] et la tangente [eθ↑] [ℜ↑ : réaction]
Tant qu’il y a contact, r = R :
dr↑/dt = d(r.er↑)/dt = R.(dθ/dt).eθ↑
d²r↑/dt² = -R. (dθ/dt)².er↑ + R.(d²θ/dt²).eθ↑
▼ ▼
-m.R. (dθ/dt)².er↑ = (ℜ – m.g.cos(θ))er↑+ m.g.sin(θ).eθ↑
→ ℜ = m.(g.cos(θ) - R(dθ/dt)²)
→ m. R.(d²θ/dt²) = m.g.sin(θ) → d²θ/dt² = g.sin(θ)/R
3. Le solide quitte la sphère quand ℜ = 0
→ (dθ/dt)² = g.cos(θ)/R
Et, d’après 1., (dθ/dt)² = 2g(1-cos(θ))/R
→ g.cos(θ) = 2g – 2g.cos(θ)
► cos(θ) = 2/3
→ θ = acos(2/3) = 0,841rad = 48,2°
► h = R(1 – cos(θ)) = R/3 du sol.
→ V = (2*9,81*R/3)^0,5
Il faut connaître R pour calculer la vitesse.
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