Diagramme de Bode

[invite9a93ada1]

Bonjour,
je bloque sur un exercice pour lequel je dois tracer le diagramme de Bode.
Voici la fonction de transfert:



avec A:Amplification
n: amortissement
wo: pulsation de raisonnance.


Voilà comment je voudrais procédé (dites moi si je suis dans le faux)

1) Je place w0 sur mon graphique
2) Vu l'expression, je traite un terme à la fois
pour A, Db=20log(A)
--------> je trace
3)
Numérateur

Normalement, j'ai toujours quelques du type 1+j(w/w1) donc ça me pertube
Calcul du module:
Puisque il y a la pulsation w0, je traite 2 cas, en basse fréquence (avant w0) et haute fréquent (après w0)

EN BF:
Normalement, je fais tendre w vers 0 dans le calcul du module mais là c'est un impossible (log 0 n'est pas défini)

En HF:
je pose w=w0/2n
Ainsi |N|=1 (cela sera plus simple à tracer)
|N|=20log|N|=0
Donc il y a une asymptote horizontale d'équation y=0 jusqu'à w0
D'habitude, je n'ai pas le "2n", donc je l'ai mis au dénominateur pour compenser, cette technique est elle encore juste ? Sinon quelle méthode adoptée ?

w=10*w0/2n
|N|=20log(10)=20 db

Donc Après w0, je trace une asymptote oblique de pente 20db/dec mais avant W0, je ne sais pas.

4) Dénominateur
Alors

Calcul du module:
En BF (w->0)
on a: |D|=1
donc Db=20log1=0 db
Donc il y a une asymptote horizontale jusqu'à w0

EN HF
je vais essayer de faire tendre w vers infini puis je fais mon calcul de pente.


pour w=w0,

donc db=20log1=0db

pour w=10*w0

donc db=20log(1/100)=-40 db

Ainsi, il y a une asymptote oblique de pente -40db/dec

5) J'"additionne"les tracés.


Est ce le bon raisonnement ?

Merci d'avance pour vos explications .
-----

[Duke Alchemist]

Bonsoir.

Tu peux jeter un œil à ce document notamment au point 2.3.

Duke.

[invite9a93ada1]

Merci Duke Alchemist pour le document !
Je vais l'étudier de plus près.

[invite9a93ada1]

Bonjour,
oui, c'est beaucoup plus rapide que de décomposer (je crois que la décomposition ne fonctionne qu'à l'ordre 1).
Je ne comprend pas cependant, les "limites".
Pouvez vous m'expliquer ?

En Basse Fréquence, pour x-->0, la fonction de transfert tend vers X²
En Haute Fréquence, pour x-->+Inf, la fonction de transfert tend vers 1/x².

Comment sont obtenus ces limites ?
Mathématiquement, c'est faux, non ?

Merci de vos explicaitons.

[A voir en vidéo sur Futura]

[albanxiii]

Bonjour,

Il ne s'agit vraisemblablement pas de limites mais d'équivalents. Mathématiquement, c'est déjà plus correct.

Ensuite, quelle est l'expression en x dont vous cherchez des équivalents aux basses et hautes fréquences ? Sans cela, ça va être difficile de vous dire si on trouve pareil.

[invite9a93ada1]

Bonjour,
merci déjà d'avoir répondu
voici, l'expression en question:

avec x=w/w0
(Plus de détails avec le point 2.3 du document de Duke Alchemist)

Je ne comprend toute de même pas avec les équivalentes.
2 fonctions sont équivalentes en a si le rapport de ces fonctions tend vers 1 lorsque x tend vers a.

Prenons en haute fréquence, T-->1/x² quand x tend vers +INF. Donc si je fais le rapport T/(1/x²) et que je tend x vers 0, je trouve un rapport nul et donc non égal à 1.

Pouvez vous m'aider à mieux comprendre la démarche ?
Merci.

[invite9a93ada1]

Bonjour,

est ce vraiment des équivalents ?
J'ai l'impression que ce n'est ni des équivalent ni des limites.

Merci de vos explications.

[albanxiii]

Re,

Connaissez-vous la définition mathématique d'un équivalent ?

Pour , l'équivalent est bien

Pour on a

[Duke Alchemist]

Bonjour.

Je ne suis pas sûr de ce que je vais avancer mais ne confondrais-tu pas la fonction de transfert et son module ?

Lorsque tu as à tracer le diagramme de Bode d'une fonction de transfert (notée T dans le document), tu dois étudier dans un premier temps |T| (noté T dans le document) en fonction de la pulsation ou du rapport w/w₀ (noté x) puis de son argument arg(T) en fonction de la même variable.

Peux-tu donner l'expression du module T de T ?

Ensuite, ce sont bien les limites de T qu'il faudra étudier afin d'obtenir les droites asymptotiques de la fonction de transfert.

Duke.

EDIT : En fait, c'est le gain G = 20log(T) qu'il faut étudier pour être plus précis.

[invitef17c7c8d]

Bon je vous file la solution, sinon ce fil risque de durer des plombes...

C'est quoi H? H est une fonction de transfert.
Fonction de transfert de quoi? D'un oscillateur harmonique
C'est quoi une fonction de transfert pour un oscillateur? Cest le rapport d'un variable cinématique sur un variable dynamique?
Et donc? et donc ici H=v/F où v est la vitesse et F est la force en Newton

Si alors car n est aussi petit devant 1
L'oscillateur répond en "raideur" (fonction de transfert purement imaginaire) La fonction croit avec

Si alors (fonction de transfert purement imaginaire)
L'oscillateur répond en "masse" La fonction décroit avec


Si alors (fonction purement réelle)
L'oscillateur répond en"amortissement". La fonction est contante avec

[invite9a93ada1]

Bonjour,
merci à vous trois de m'aider, j'apprécie.
Cependant, quelques petits problèmes.

Connaissez-vous la définition mathématique d'un équivalent ?

Deux fonctions sont équivalentes en 0 si le rapport de ces fonctions tend vers 1 quand x tend vers 0.
Donc pour x->0,
en faisant le rapport, j'ai donc quand x tend vers 0, T->1.
Donc vous avez raison et par extension si on prend le module, en 0 T est équivalent à 2mx.
Or le document indique x²
Est ce une erreur ?
(Par contre en + Inf, je multiplie le numérateur par -x² et je fais le rapport des termes de plus degré : (-2mjx^3)/-x²) ce qui ne tend pas vers 1 en +inf )

C'est quoi H? H est une fonction de transfert.
Fonction de transfert de quoi? D'un oscillateur harmonique
C'est quoi une fonction de transfert pour un oscillateur? Cest le rapport d'un variable cinématique sur un variable dynamique?
Et donc? et donc ici H=v/F où v est la vitesse et F est la force en Newton

Merci de ces informations, je pense qu'elles me seront utiles très bientôt mais mon problème se situe au niveau du diagramme.
Pourquoi avec la fonction de transfert suivante :

peut t'on dire que quand x tend vers 0; |T| tend vers x²
et quand x tend vers +INF; |T| tend vers 1/x² ?

Peux-tu donner l'expression du module T ?

Oui, vous avez raison, je me suis mélangé avec le module (je pensais qu'il aurait utilisé |T|).
Mais pour le reste de la méthode, je suis totalement d'accord.

Sinon, le module est:
Maintenant, si je tend x vers 0, le numérateur tend vers 0, le dénominateur tend vers 1 et donc le tout vers 0.
Mon raisonnement est il faux ?

Merci pour vos explications.

[albanxiii]

Re,

Il y a vraisemblablement une erreur dans le document plus haut, oui...

Ici : http://www.chimix.com/electronique/filtre2.htm vous avez un exercice corrigé, avec la même fonction de transfert que la votre, et ils trouvent que la pente asymtotique du gain est de + 20 dB aux faibles fréquences.

Avec votre expression du module de T, si x tend vers 0, les termes au carré et puissances supérieures sont négligeables devant x, donc, le numérateur est équivalent à x, le dénominateur à 1, et le rapport des deux à x.... le raisonnement sur les équivalents ne change pas parce qu'on a un module au lieu d'une fonction de transfert.

[Duke Alchemist]

Re-

Il y a vraisemblablement une erreur dans le document plus haut, oui...

En effet, cela m'apprendra à ne pas mieux lire les documents que je propose

T tend vers x pour de petites fréquences et vers 1/x pour de grandes fréquences...

Encore désolé... comme quoi, il faut vérifier ses sources avant de les donner !

Duke.

[albanxiii]

Bonjour,

En effet, cela m'apprendra à ne pas mieux lire les documents que je propose

Ca n'est pas la peine de vous flageller qui ne fait jamais une petite une erreur d'inattention ? Ce qui est important c'est que l'erreur a été repérée... Vous vous chargez de prévenir l'auteur(e) du document ?

[invite9a93ada1]

Bonjour,
désolé de répondre si tard.
Je tenais, tout d'abord à vous remercier de votre aide.
Pour l'erreur, ce n'est pas grave et puis, ça m'a poussé à comprendre la méthodologie
Je pense avoir compris vos explications sur les équivalences.

tend vers x pour de petites fréquences et vers 1/x pour de grandes fréquences...

N'avez vous pas oublie le facteur 2n dans mon cas ? (2nx pour les petites fréquences et 2n/x pour les grandes.)

Merci encore

[invite9a93ada1]

Bonjour,
C'est bon, après calcul, j'ai remarqué que le résultat est le même.

Mon dernier problème concerne l'argument de la fonction de transfert:



Donc en basse fréquence, l'argument vaut Pi/2

en Haute fréquence (x->+Inf)


D'aorès le document, l'argument devrai être -pi/2 en Haute fréquence.
Comment ont ils démontrer ce résultat ?

Merci