Propagation courbe dans un milieu non homogène (MPSI)

invite705d0470 · 30/10/2011, 17h16

Bonjour, je n'ai pas l'habitude de poster ici, mais j'ai une question quant au corrigé d'un problème d'optique géométrique. J'espère que les physiciens que vous êtes pourront m'aider !

Voilà l'énnoncé: Soit un milieu transparent dans lequel l'indice $\text{[math]}$ est relié à la cote $\text{[math]}$ du point considéré par la relation $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ des constantes. Quelle est la trajectoire d'un rayon lumineux se propageant dans ce milieu ?

J'avoue avoir été désarçonné par l'originalité (pour moi) de cette question, aussi je n'ai eu aucune idée.
La réponse est que la trajectoire d'un rayon lumineux, pour cette loi $\text{[math]}$ , est une parabole dont la convexité dépend de $\text{[math]}$ .
La solution montre donc que $\text{[math]}$ .
Un schéma aurait été le bienvenu, mais je ne peux malheureusement pas en poster. Désolé.

Etapes de la correction:
1) La loi de Descartes donne $\text{[math]}$ . Pourquoi donc ?

2) En considérant deux points de la trajectoire $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ de différence de cote $\text{[math]}$ , il y correspond une variation de l'indice $\text{[math]}$ et de l'angle d'incidence $\text{[math]}$ .
La pente de l'élément de trajectoire est $\text{[math]}$ . je pense que je comprends cette écriture, le signe - étant issu de l'orientation positive de l'axe de l’altitude vers le haut alors que le rayon "descend et va vers la droite", et la tg étant possible si l'on suppose que pour une variation $\text{[math]}$ la trajectoire est rectiligne, n'est ce pas ?.
On a entre les éléments différentiels les relations:
$\text{[math]}$
Dérivons la dernière expression par rapport à x:
$\text{[math]}$ .
Ouf ^^
Je ne comprends pas l'égalité $\text{[math]}$ !

Finalement, celà explique qualitativement la nature des mirage ^^

Merci de bien vouloir m'éclairer (sans jeu de mot, s'entend)

Snowey

**albanxiii** · 30/10/2011, 19h25

Bonjour,

Pour la première question, considérez une tranche infiniment fine de votre milieu, d'épaisseur $\text{[math]}$ . Si vous écrivez la loi de Snell-Descartes de la réfraction, vous obteniez $\text{[math]}$ . En faisant un développement limité sur $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , et en ne gardant que les termes du premier ordre vous devez arriver à quelque chose comme $\text{[math]}$ , soit la relation que vous cherchez $\text{[math]}$ (sauf erreur de calcul de ma part).

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