Dimensions physiques et utopiques

[Blender82]

Bonjour,
c'est en me réveillant ce matin qu'une question m'est venu en tête. En effet, j'ai fait de l'astronomie dans un club, pendant des années, et une fois, le physicien nous a parlé des onze cordes. J'ai déjà regardé ce que c'était mais ce matin là il m'est venu la question suivante :

Comment représenter un "repère" à plusieurs dimensions (plus de trois) ?

La théorie des onze cordes est bien mais ce n'est valable que dans un cas, celui pour lequel elles ont été introduites dans le monde de la physique à savoir l'explication de la gravité quantique.
Cette prise de tête n'a pas de but explicatif mais simplement imaginatif, utopique.
Il s'agirait de représenter plus de trois dimensions sur le papier.
Merci à tout ceux qui désirent participer.

Blender82
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[Tryss]

On peut projeter un espace de dimension n sur des sous-espaces de dimension inférieure (de la même façon que tu projettes un espace de dimension 3 sur une feuille qui a 2 dimensions)

Sinon il existe d'autres type de représentations, mais globalement c'est l'idée (par exemple un magnifique Rubik's cube en dimension 5 ici : http://www.gravitation3d.com/magiccube5d/ )

Ce qui donne par contre le vertige c'est d'essayer de se représenter des espaces avec un nombre infini de dimensions

[tempsreel1]

je ne pense pas que le cerveau humain est capable de se représenter un espace à plus de 3 dimensions

slt

[phuphus]

Bonjour Blender82,

le problème que tu te poses est ancien, et n'a même pas attendu la théorie des cordes pour être traité
Je peux te donner quelques pistes que j'ai glanées à droite à gauche au cours du temps, par contre pour le lien avec les 11 dimensions de la théorie des cordes, là je ne suis pas du tout compétent. Comme il paraît que certaines dimensions sont "repliées sur elles-mêmes", je ne sais même pas si cela a du sens de les considérer au même titre que nos 3 dimensions d'espace.

Une bonne introduction au problème de la 4ème dimension est le livre "Flatland" de Edwin Abbott (ça date de 1884 !), où l'auteur se met à la place d'entités imaginaires vivant dans un monde à 2 dimensions et met en perspective la difficulté que de telles entités auraient à appréhender une 3ème dimension d'espace. Ensuite, par extrapolation, il en vient à donner les principes du passage à une 4ème dimension d'espace :

1er essai : constitution des dimensions élémentaires
- dimension 0 : le point
- dimension 1 : la ligne, constitutée de points orthogonaux à un point de base
- dimension 2 : le plan, constitué de lignes orthogonales à une ligne de base
- dimension 3 : le volume, constitué de plans orthogonaux à un plan de base
- dimension 4 : il "suffit" d'aligner plusieurs volumes de manière orthogonale... La difficulté étant que l'orthogonalité se fait à chaque fois selon la nouvelle dimension, on a donc ici un mécanisme cyclique qui laisse sur sa faim

2ème essai : figures à angles droits
- figure à "angles droits" en dimension 0 : le point
- figure à "angles droits" en dimension 1 : le segment : 2 sommets, 1 arête
- figure à "angles droits" en dimension 2 : le carré : 4 sommets, 4 côtés
- figure à "angles droits" en dimension 3 : le cube : 8 sommets, 12 arêtes, 6 côtés
- figure à "angles droits" en dimension 4 : l'hypercube 4, par extrapolation : 16 sommets, 32 arêtes, 24 carrés, 8 faces cubiques
- etc.
voir par exemple l'article sur l'hypercube de wikipédia :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Hypercube

3ème essai : figures "rondes", en intersection avec un hyperplan de dimension n
Un cercle qui traverse progressivement une droite donne :
- au début, aucune intersection entre les deux
- au contact, un point d'intersection
- pendant la traversée, deux points qui s'éloignent puis se rapprochent
- à la fin de la traversée, un point de contact
- enfin, plus d'intersection entre les deux

Une sphère qui traverse progressivement un plan donne :
- au début, aucune intersection entre les deux
- au contact, un point d'intersection
- pendant la traversée, un cercle qui grandit puis rapetisse
- à la fin de la traversée, un point de contact
- enfin, plus d'intersection entre les deux

Par extrapolation, une 4-sphère qui traverserait progressivement notre espace donnerait :
- au contact, un point
- puis une sphère qui grandirait puis rapetisserait
- enfin, un point puis disparition


Cette petite introduction étant passée, j'essaye de rentrer dans le vif du sujet.

Pour représenter 3 dimensions d'espace sur le papier, tu fais une projection. Le type de projection le plus simple est la perspective cavalière, pour laquelle tu définis une direction privilégiée pour représenter toute fuyante. Tu peux faire de même pour passer à 4 dimensions : définir une deuxième direction de fuyante. Ainsi, tu pourras obtenir une représentation d'un objet 4D, mais il faut bien voir que cela ne t'aidera aucunement à te représenter toi-même cet objet impossible. Notre cerveau est conditionné en 3D, et autant il est assez facile d'appréhender des propriétés d'objets 4D et de les manipuler, autant se les représenter mentalement est une gageure.

A défaut, tu peux toujours représenter un objet 4D par de multiples point de vue en 3D (de même qu'un dessin technique représente pour un objet 3D une vue de face, une vue de droite, des coupes, etc.).

Ensuite, il faut bien voir que l'homme voit en deux dimensions. Et c'est bien la raison pour laquelle nous arrivons à représenter de manière réaliste les choses sur papier : le papier possède autant de dimensions que nous en voyons. La seule subtilité étant que nous percevons du relief : nous replaçons notre vision 2D des choses dans un espace à 3 dimensions. Mais fondamentalement, ce que nous percevons, ce sont juste des surfaces, tordues en 3D certes, mais rien d'autre que des surfaces, donc du 2D.

Pour bien se rendre compte que notre vision n'est que 2D, prenons un exemple issu de Flatland. Imagine un carré, vivant dans sa feuille, et rencontrant un cercle. Qu'est-ce que le carré verra du cercle ? Une simple ligne. Ligne qui pourra éventuellement être dégradée pour signifier les différences d'éloignement entre chaque point visible du cercle et les organes visuels du carré, mais fondamentalement le carré verra une entité 1D : une ligne. Pour pouvoir voir le cercle en 2D, ce même carré devra s'extraire de la feuille, et regarder le cercle depuis une 3ème dimension d'espace. Ainsi, il verra réellement le cercle en 2D, en appréhendant à la fois les frontières et tout l'intérieur de ce cercle d'un seul coup d'oeil.

Pour nous, c'est pareil. Pour réellement voir en 3D, il faudrait que nous possédions des organes visuels volumiques (et non de simples rétines qui ne sont que surfaciques), et que nous puissions nous extraire dans une 4ème dimension d'espace. Ainsi, nous pourrions voir d'un seul coup d'oeil non seulement les frontières mais aussi l'intégralité de l'intérieur des objets de notre quotidien. Dans ces conditions, nous aurions une réelle vision 3D.

Cette considération simple, nous ne voyons qu'en 2D "relief", remet les choses à leur place : sur papier, nous pouvons rendre compte de ce relief, mais certainement pas faire un vrai dessin en 3D. La 3D papier étant un abus, la 4D l'est encore plus.

Maintenant, on peut aller plus loin. Si tu prends une carte topographique de France, l'altitude est représentée par un code couleur. Ce code couleur rend compte de l'élévation de chaque point de la carte, il permet donc de rendre compte d'une surface courbe dans un espace à 3 dimensions. On pourrait très bien imaginer la même chose pour un cube, par exemple, dont l'intérieur serait coloré. En creusant ce cube, on découvre les couleurs qui sont à l'intérieur, couleurs permettant de représenter une cote sur une 4ème dimension d'espace.

Enfin, il est très facile de représenter un point dans un espace à N dimensions. Prends un microphone, branche-le à ta carte son, et enregistre-toi en train de parler pendant 1 seconde. Si tu as échantillonné le son à 44100 Hz, cette seconde de son peut se concevoir comme les coordonnées d'un point unique dans un espace à 44100 dimensions. Ca peut te paraître tiré par les cheveux, mais c'est comme cela que Matlab traite les sons numériques par exemple : comme un vecteur dans un espace à N dimensions, N étant égal au nombre d'échantillons enregistrés.

En espérant t'avoir fait avancer un peu, à défaut d'avoir donné une réponse tranchée.

[A voir en vidéo sur Futura]

[phuphus]

... petit ajout : Flatland est dispo en e-book gratuit :

http://www.ebooksgratuits.com/pdf/abbot_flatland.pdf

Les détails de la vision 1D dans un monde 2D sont donnés à partir de la page 36.

[Chanur]

bonjour,
Il y a aussi ça :http://www.dimensions-math.org/Dim_reg_F.htm
Le début est assez évident, mais à la fin ça donne carrément le vertige !

[triall]

Bonsoir à tous Voici un dessin qui représente les 4 dimensions ordinaires (3 + le temps) on voit le point p se déplacer dans le temps, il y a le film aussi , encore plus précis (25 positions par sec par exemple ) .. Sur une vidéo on peut figer le temps, le faire aller en arrière.. Si on ajoute une masse à ce point ça fait 5 dimensions


Il y a un autre espace en 4 d (sans le temps ) facile à imaginer .Prenez une sphère : la Terre , sur la surface de cette sphère, on définit d'autres sphères plus petites , des sortes de petits ballons posés sur la sphère .

On ne considère que la surface de ces petits ballons : c'est un univers en 4 dimensions . Pour définit un point, on définit d'abord le petit ballon sur lequel il se trouve (2coordonnées : latitude/longitude) et 2 autres coordonnées sur le petit ballon cela fait un univers en 4 dimensions (sans le temps ) ..Si quelqu'un a le dessin de des sphères, je suis preneur ....

[phuphus]

Bonsoir triall,

Il y a un autre espace en 4 d (sans le temps ) facile à imaginer .Prenez une sphère : la Terre , sur la surface de cette sphère, on définit d'autres sphères plus petites , des sortes de petits ballons posés sur la sphère .

On ne considère que la surface de ces petits ballons : c'est un univers en 4 dimensions . Pour définit un point, on définit d'abord le petit ballon sur lequel il se trouve (2coordonnées : latitude/longitude) et 2 autres coordonnées sur le petit ballon cela fait un univers en 4 dimensions (sans le temps ) ..Si quelqu'un a le dessin de des sphères, je suis preneur ....

Pour ton exemple, je vois trois cas :

Cas 1 : le nombre de petites sphères est fini et défini à priori
On peut donc dans ce cas remplacer les coordonnées de latitude / longitude de la Terre par un nombre unique et discret, et donc l'exemple se ramène à 2 dimensions continues et 1 dimension discrète.

Cas 2 : la petite sphère "se crée" au moment où l'on définit les coordonnées de latitude / longitude sur la Terre
Dans ce cas, cela revient uniquement à déplacer notre petite sphère sur la Terre, et le réel dessin se fait sur la petite sphère au point d'attache défini par la latitude et la longitude. Toute petite sphère existante contraindra les dimensions de toute nouvelle petite sphère, et l'on se ramène à 2 dimensions utiles.

Cas 3 : il y a une infinité de petites sphères
Chaque petite sphère est donc un point (sinon, il y a intersection des petites sphères et les dimensions ne sont plus "indépendantes"), on se ramène à 2 dimensions.

Dans un tel système, prenons par exemple le cas 2, si tu veux relier par un segment 2 points de coordonnées quelconques, tu es obligé de repasser par l'attache des petites sphères à la Terre, donc par les points (w1,x1,0,0) et (w2,x2,0,0) (coordonnées : w,x,y,z). Je pense donc au final qu'on ne peut donc pas vraiment parler de 4 dimensions. Ou alors un truc m'a échappé

[triall]

Pour Phupus , je ne comprends pas en l'instant ton post ...(je réfléchis au 1 déjà !!!)

Je me rends compte toutefois qu'il faut définir le rayon de la petite sphère .On aurait ainsi un espace à 5 dim .

Je donne le point 24° Est 40° sud , rayon 1 , 36° sud 55° nord . Voilà un point unique ... qui a 5 dimensions

Ensuite je ne sais quelles propriétés a cette espace (s'il est normé ..) .

Il me semble avoir compris que 1 point devrait avoir une et une seule rangée de coordonnées, c'est ça ? Il ne faut pas que les sphères se touchent alors. En ce cas, il y a pb , effectivement.

J'ai vu cet exemple il y a longtemps sur un bouquin , et je n'ai pas pensé à ce pb . Bonne nuit , demain je comprendrais peut-être mieux .

[phuphus]

Bonsoir triall,

je crois que j'y verrai plus clair moi aussi demain... Tu as raison, le problème d'intersection des sphères n'est effectif que si elles ont un rayon, donc une dimension supplémentaire. Ensuite, je suis peut-être trop enfermé dans une géométrie euclidienne.

Bonne nuit !

[Blender82]

Bonjour,
merci tout d'abord d'être si nombreux à débattre de ce sujet lancé un peu sur le pouce.
j'ai remarqué que nous partions tous sur les bases que nous avons dans notre géométrie actuelle à savoir les trois dimensions orthogonales plus une courbe variable qui représente le temps. Cependant, cette courbe ne représente que le déplacement d'un seul point dans l'espace alors imaginez si nous devions l'appliquer à une objet qui est constitué de plus de points, l'axe des temps ne voudrait plus rien dire. En effet, prenons un segment qui se balade dans un repère en trois dimensions, s'il se déforme comme l'autorise la durée, je ne vous dis pas ce que ça pourrait donner ; des myriades d'axes, de vecteurs ou de courbes qui partent dans tous les sens !
Ou alors il faudrait partir sur un espace érigé à partir de cercles ou d’ellipses déformées ou non qui se croisent , se coupent. Certes, mais où est la graduation dans ce cas ? Peut être pourrons nous définir un zéro et un infini mais exit les graduations, ou alors perfectionner le système ??
Bon je vous laisse réfléchir, je fais de même de mon côté !
Au revoir,

Blender82

[invite39876]

Il y a un autre espace en 4 d (sans le temps ) facile à imaginer .Prenez une sphère : la Terre , sur la surface de cette sphère, on définit d'autres sphères plus petites , des sortes de petits ballons posés sur la sphère .

On ne considère que la surface de ces petits ballons : c'est un univers en 4 dimensions . Pour définit un point, on définit d'abord le petit ballon sur lequel il se trouve (2coordonnées : latitude/longitude) et 2 autres coordonnées sur le petit ballon cela fait un univers en 4 dimensions (sans le temps ) ..Si quelqu'un a le dessin de des sphères, je suis preneur ....

Salut!
Ce que tu décris c'est simplement l'espace , c'est effectivement un espace de dimension 4, mais il n'est pas plongeable dans un espace de dimension 3.

[triall]

Bonjour à tous, ouaip entre Bloupou et Phuphus , je ne comprends pas tout ce qu'ils écrivent , mais effectivement : dans mon histoire , on part d'une sphère, donc on est dans un repère classique déjà ; il faut bien la définir au départ cette sphère .
Cet univers est alors "plongé" , inclus dans notre univers classique..
Sinon, pour le 1 de Phuphus, il y a un pb avec le rayon des sphères, notamment vers les 2 pôles ; il y aurait 2 dimensions discrètes, la latitude et longitude des petites sphères ..

Pas compris non plus cette histoire de déformation de Blender...

[invite39876]

Ben non, ta sphere n'a pas besoin d'etre plongée, tu peux la definir sans faire reference a un espace quelconque.
Ensuite si tu fais simplement le produit de tes deux spheres, alors tes spheres sur chaque point ne s'intersectent pas du tout! Quelque soit leur rayon.
Mais comme je t'ai dis tu ne peux pas plonger cet objet que tu viens de créer, dans notre espace de dimension 3, il est trop "gros".

[triall]

@Bloupou Bon, je ne comprends pas comment on peut définir la sphère de départ sans faire référence à aucun repère ou espace quelconque ?

Ensuite, je ne sais pas ce que c'est le produit des 2 sphères ?

[invite39876]

@Bloupou Bon, je ne comprends pas comment on peut définir la sphère de départ sans faire référence à aucun repère ou espace quelconque ?

Ensuite, je ne sais pas ce que c'est le produit des 2 sphères ?

Ben y a plein de façons, par exemple tu peux la definir comme le quotient de C^2prive de (0,0) par l'action de C^* (par multiplication), mais il y a mille autres façons, d'ailleurs meme si ensemblistement tu peux faire reference a un ensemble plus grand pour la construire, il n'est nullement besoin d'un espace plus grand pour la munir de sa structure d'espace. Connais tu la notions de variété differentielle? Elle repond a ces questions.

Le produit de deux ensembles A et B, c'est juste (ensemblistement) l'ensemble des couples (a,b) pour a dans A et b dans B.

[triall]

Bonsoir, rhhaaa , j'ai arrêté mes études au deug, il y a 10 ans (j'avais 47 ans) , de plus les ensembles and Co ce n'était pas ma tasse de thé ..

Je ne sais pas ce qu'est C² ni la variété différentielle , désolé !

[phuphus]

Bonsoir,

@ triall : pas mieux pour moi...

@ Bloupou : finalement, autant dire qu'il suffit de manipuler des données dans, par exemple, R^4. Il me semble que cela ne fait pas avancer le problème de Blender82, qui se posait la question de la représentation graphique de 4 dimensions. En cela, la proposition de triall est certes imparfaite mais concrète.

@ Blender82 : es-tu allé voir le lien proposé par Chanur ? Il y a 2 heures de vidéo au total, qui répondent parfaitement à ton problème. Si je résume un peu toutes les astuces pour représenter 4 dimensions, on a :

- perspective type cavalière avec 2 directions différentes de fuyantes. Tu peux voir le dessin en temps réel d'un hypercube avec cette méthode ici :
http://www.youtube.com/watch?v=ccws4...feature=relmfu

- projection "droite" de l'objet à 4 dimensions sur un espace plus petit. Quelques exemples très complets sont montrés dans le lien donné par Chanur.

- intersection de l'objet à 4 dimensions avec un espace plus petit. Encore une fois, voir le lien donné par Chanur.

- projection stéréographique. Toujours Chanur.

La dernière astuce est vraiment bluffante. Dans les vidéos, on imagine parfaitement les multiples faces volumiques de l'objet à 4 dimensions, toutes régulières et orthogonales entre elles. C'est vraiment bluffant.

@ Chanur : merci beaucoup pour ce lien !

[Blender82]

Bonjour,
Les liens sont intéressants, mais je voulais que nous débâtions sur la manière de représenter plus de quatre dimensions, j'ai regardé les vidéos, mais elles s'arrêtent toutes à la 4^ème. Ce n'est pas que je m'en fiche, mais à la base, nous devions partir sur cette représentation que l'on pourrait qualifier de générale si elle est bien rodée. C'est à dire ; trouver une méthode de construction d'un repère multidimensionnel sans pour autant se baser sur des éléments connus comme le temps (que tout le monde à assimilé à la 4^ème dimension sauf dans le cas de l'hypercube). Ce n'est pas non plus un déterrage d'informations sur le web, mais de s'en aider pour mener une réflexion. Désolé d'être si exigeant, mais je trouve que l'on s'écarte peu à peu du sujet.
Merci

Blender82

[triall]

Bonjour, tout de même , Phuphus a fait un bel exposé, j'ai retenu par exemple :

Une sphère qui traverse progressivement un plan donne :
- au début, aucune intersection entre les deux
- au contact, un point d'intersection
- pendant la traversée, un cercle qui grandit puis rapetisse
- à la fin de la traversée, un point de contact
- enfin, plus d'intersection entre les deux

Par extrapolation, une 4-sphère qui traverserait progressivement notre espace donnerait :
- au contact, un point
- puis une sphère qui grandirait puis rapetisserait
- enfin, un point puis disparition

.

Moi je reste frileusement attaché à ma représentation en 3 d (3 axes) , et le temps qui s'écoule dont on voit l'effet sur la figure jointe plus haut , et le point P qui file en pointillé . A noter que c'est assez près de la physique quantique, dans laquelle le temps s'écoulerait de manière discrète.
Ajoutons une masse à ce point, ainsi avec la vitesse(et la relativité) on verrait l'effet de cette dimension supplémentaire car les axes Ox et Oy deviendraient "mous" et se courberaient . On verrait passer une voiture raccourcie dans le sens de la longueur , et on se dirait "Tiens voilà l'effet d'une cinquième dimension !"

Sinon, on a beau me dire , il n'y a qu'à projeter un hyper -cube en 3 d , ou comme Phuphus, une 4-sphère traversant notre espace .... je n'y arrive pas personnellement .

Il me semble qu'il n' y a que les maths qui peuvent nous sauver en écrivant l'équation d'une hyper sphère de centre O, rac(x²+y²+z²+h²) =R , rayon de la sphère, c'est ça ? Alors la solution pour une sphère qui traverse notre espace est obtenue simplement en écrivant z=0 , ça donne une sphère 3d effectivement, je me trompe ? Bonne journée.

[phuphus]

Bonsoir Blender82,

les vidéos sur www.dimensions-math.org mentionnent bien que les mathématiciens s'intéressent depuis longtemps aux espaces à plus de 4 dimensions, je suppose donc qu'il doit exister des méthodes satisfaisantes toute faites.

Les méthodes que j'ai évoquées fonctionnent toutes pour N dimensions, à savoir :
- plusieurs directions de fuyantes
- projection
- intersection

C'est juste que plus N est grand, et plus tu es loin d'une représentation correcte lorsque tu te bornes à du papier. Les différents exemples de tous les liens cités précédemment sont à ce sujet révélateurs. En effet, sur www.dimensions-math.org, la projection stéréographique se fait toujours en bouffant une seule dimension. Les figures géométriques 4D sont donc projetés en 3D, les figures 3D résultantes étant ensuite représentées en 2D. A chaque cascade, on perd de l'info, mais au final ils y arrivent. Donc dans ce cas, la suite des opérations est :
- 4D > 3D : projection stéréographique
- 3D > 2D : projection en perspective

On pourrait donc peut-être définir la cascade la mieux adaptée lorsque N est grand pour se ramener à 2 dimensions. Si la cascade est uniquement formée de projections type perspective, cela a l'air de donner ça :

http://www.youtube.com/watch?v=lFvUa...eature=related

ou encore ça :

http://www.youtube.com/watch?v=Bn7HD...feature=fvwrel

Si maintenant la méthode de une direction de fuyante = 1 dimension supplémentaire te branche plus, alors tu peux l'essayer. Le lien youtube donné plus haut montre que cela fonctionne pour passer de 4D à 2D, tu peux suivre la méthode de Elvis Zap pour faire un essai avec un 5-cube, pour voir si l'extension à 5D te paraît correcte.

Sinon, on a beau me dire , il n'y a qu'à projeter un hyper -cube en 3 d , ou comme Phuphus, une 4-sphère traversant notre espace .... je n'y arrive pas personnellement .

Je te rassure, je n'arrive pas à me faire une vision mentale globale d'un hypercube. C'est juste que connaissant les propriétés de l'hypercube (8 faces cubiques orthogonales), la projection stéréographique ou bien le dessin temps réel de Elvis Zap prennent du sens, et on arrive alors à voir correctement les différentes faces cubiques et à les imaginer orthogonales, rien de plus. Pour t'aider un peu, un truc qui vaut ce qu'il vaut : sur la pièce jointe, quelle face du cube t'apparaît être la face avant ? Celle avec les sommets bleus ou celle avec les sommets rouges ?