Refroidissement d'un moteur

[Seth.]

Bonjour,

J'ai un moteur électrique que je voudrais refroidir à l'eau. Je voudrais dimensionner mon système de refroidissement.
Supposons que le moteur soit un cylindre de longueur L et il est refroidit par de l'eau et les deux ont une surface d'échange totale S. J'ai donc deux inconnues : la température de l'eau et la température de surface du moteur. Je voudrais dans un premier temps obtenir l'équation différentielle qui me permettrait de les relier.
On se place en régime stationnaire.

J'ai établit un bilan thermique par conservation de l'énergie interne entre deux section successives:
u(x+dx) - u(x) = dq
ensuite il y à la loi de Newton qui intervient dq = h*S*(Teau - Tsurface)*dt
S = l*dx ??? l étant la dimension transversale
dt = dx/v ??? v étant la vitesse de l'eau dans le conduit
Et là je me retrouve avec dx à gauche et (dx)² à droite !!! Je ne vois pas ce que j'ai mal fait ?

Merci de votre aide.
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[Seth.]

Pas d'idées ?

[LPFR]

Bonjour.
Oui: cette équation est fausse:
S = l*dx ??? l étant la dimension transversale
ce doit être différentiel = différentiel:
dS = l * dx
Au revoir.

[Seth.]

Merci de ta réponse, mais après avoir remplacé S par dS ça me fait toujours deux dx à droite ! J'ai l'impression que c'est le dt qui est bizarre ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[LPFR]

Re.
C'est normal. La chaleur transmise dépend de la surface et du temps.
Q = A. S. t
d²Q = A. dS. dt
A+

[Seth.]

Donc finalement je ne devrais pas écrire : u(x+dx) - u(x) = dq mais u(x+dx, t+dt) - u(x,t) = d²q ? et après il faut que je linéarise ça et ça va me donner des termes en d/dx et en d/dt et des 2nd ordre ?

[LPFR]

Re.
Oui. C'est un moyen de s'en sortir.
N'oubliez pas que quand vous posez des équations c'est à vous de voir l'ordre des différentiels.
A+

[Seth.]

Ca me donne du/dx*dx+du/dt*dt = h*l*(Teau-Tsurface)*dx*dt et ça ne se simplifie pas vraiment !
Du coup la vitesse du fluide n'intervient plus ? Et en régime permanent qu'est ce que ça donne ça ?

[LPFR]

Re.
Si l'eau circule dans un tube en se réchauffant, alors la température change suivant la position.
Si l'eau circule mais comme un tout autour du cylindre et que l'on peut considérer que toute l'eau est à la même température (moyenne) alors les choses s'écrivent différemment.
Telle que vous avez écrite:
dq = h*S*(Teau - Tsurface)*dt
C'est toute l'eau qui chauffe et dans ce cas "(d)S = l*dx ???" n'a pas beaucoup de sens.
Par contre il faut prendre une Teau moyenne entre la température d'entrée et de sortie:
Teau = ½ (Te + Ts)
et
dq = C (Ts-Te) dm
Avec 'dm/dt' le débit massique de l'eau et C la chaleur spécifique..
A+

[Seth.]

J'ai repris mes calculs de puis le début...
Et j'aboutis à dTeau(x)/dx = h*l/(c*D)*(Tsurface(x) - Teau(x)) avec c chaleur massique et D débit massique. Est ce correct ?

Ensuite il faudrait que je trouve une équation reliant Tsurface(x) avec le fonctionnement du moteur et diffusion.

Merci de votre aide.

[LPFR]

Re.
Avant d'écrire des équations il faut que vous décidiez le modèle que vous utilisez.
D'après les équations que vous venez d'écrire, l'eau circule quelque part et sa température se modifie en fonction de la position. De plus vous avez écrit que la température du cylindre dépend aussi de la position.

C'est tout ce que je peux dire.

Je vous conseille de commencer par faire un dessin de la source de chaleur, du parcours de l'eau et de la zone d'échange que vous mettez en équations.

Une fois que le modèle (et le dessin) sera clair, vous pourrez commencer à écrire des équations.
A+

[Seth.]

Pièce jointe 163618

L'eau circule autour du moteur avec un débit massique Dm donc à fortiori elle se réchauffe en avançant. Pendant ce temps la surface du moteur est refroidit par l'eau au fur et à mesure, la surface est donc plus chaude à gauche qu'à droite.

Je pense que l'équation répond à cette configuration. Est ce juste ?

Pièce jointe supprimée.

[LPFR]

Re.
Les dessins doivent être des fichiers gif, jpg, etc. et non des pdf.
Renvoyez, si vous pouvez, une image avec le bon fichier.
Quand la pièce sera validée ajoutez un message quelconque de sorte que je sois prévenu par le mail automatique.
A+

[JPL]

Je confirme : c'est pourquoi j'ai supprimé le pdf.

[Seth.]

Voilà la nouvelle PJ !

[Seth.]

La pièce jointe est validée.

[LPFR]

Re.
Votre dessin est bien et très clair.
Mais du coup le problème devient un peu plus compliqué.
Votre formule du post #10 est bonne (je n'ai pas refait le calcul, mais elle a une bonne tête).
Le problème est que vous ne connaissez pas la température de la surface en fonction de 'x'.
Car elle dépend de la source de chaleur, la conductivité thermique des différentes parties du moteur, etc.
Il va falloir que vous fassiez des approximations pour contourner ces difficultés. Du genre: le flux thermique est le même sur toute la surface du moteur. Ou: on travaille avec des températures moyennes (de la surface et de l'eau).
Une fois que vous aurez des résultats avec ces approximations, vous verrez s'il faut aller plus loin.
A+