Particule composites.

[invite39876]

Bonjour,
Voici une question que je me pose depuis quelques jours.
Une manière agreable de "definir" (enfin disons plutot de caractériser) bosons et fermions en mecaniques quantiques est de remarquer que les etats a 2 particules sont symétriques dans le cas bosonique, antisymétrique dans le cas fermionique.
De manière un peu plus formelle, si l'on a deux bosons et un hamiltonien correspondant a une situation mettant en jeu ces deux bosons, alors le vecteur d'etat solution sera sous la forme a un facteur normalisateur pres (1/racine 2, en fait), ou un autre manière de le dire, est que l'on regarde uniquement le produit symétrique des ket psi et phi.
Bien sur dans le cas de deux fermions, on aura un vecteur d'etat solution sous la forme .

Il vient alors une question naturelle peut ont imaginer des particules a mi chemin, on pour un tel probleme on aurait une solution sous la forme , avec peut etre une observable qui renverait le couple (a,b) correspondant, et dont bien sur les valeurs propres devraient correspondre aux fermions et aux bosons.

Qu'est ce qui exclut l'existence de ce genre de particule? Le théorème spin-symétrie?

Cordialement.
Julia.
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[mariposa]

Bonjour,
Voici une question que je me pose depuis quelques jours.
Une manière agreable de "definir" (enfin disons plutot de caractériser) bosons et fermions en mecaniques quantiques est de remarquer que les etats a 2 particules sont symétriques dans le cas bosonique, antisymétrique dans le cas fermionique.
De manière un peu plus formelle, si l'on a deux bosons et un hamiltonien correspondant a une situation mettant en jeu ces deux bosons, alors le vecteur d'etat solution sera sous la forme a un facteur normalisateur pres (1/racine 2, en fait), ou un autre manière de le dire, est que l'on regarde uniquement le produit symétrique des ket psi et phi.
Bien sur dans le cas de deux fermions, on aura un vecteur d'etat solution sous la forme .

Il vient alors une question naturelle peut ont imaginer des particules a mi chemin, on pour un tel probleme on aurait une solution sous la forme , avec peut etre une observable qui renverait le couple (a,b) correspondant, et dont bien sur les valeurs propres devraient correspondre aux fermions et aux bosons.

Qu'est ce qui exclut l'existence de ce genre de particule? Le théorème spin-symétrie?

Cordialement.
Julia.

bonjour,

il me semble que tu prends le problème à l'envers.

Au départ l'hamiltonien H (r1,r2) = H(r2,r1) de 2 particules identiques est invariant par permutation des 2 particules et donc:

Donc: [H,P] = 0

Ce qui veut dire que les vecteurs propres de H se classent selon les représentations irréductibles de P

donc il y a 2 sortes de vecteurs propres que l'on appelle fermions et bosons.

Il ne peut pas y avoir d'éléments de matrices qui couplent les états de type fermions et du type boson.

[invite39876]

bonjour,

il me semble que tu prends le problème à l'envers.

Au départ l'hamiltonien H (r1,r2) = H(r2,r1) de 2 particules identiques est invariant par permutation des 2 particules et donc:

Donc: [H,P] = 0

Ce qui veut dire que les vecteurs propres de H se classent selon les représentations irréductibles de P

donc il y a 2 sortes de vecteurs propres que l'on appelle fermions et bosons.

Il ne peut pas y avoir d'éléments de matrices qui couplent les états de type fermions et du type boson.

Enfin justement le postulat, c'est que l'hamiltonien est invariant par permutation (ou anti invariant) disons. Mais y a t il une preuve de ce postulat? (ou plutot sur quoi est basé ce postulat)?
On pourrait tres bien imaginer une autre statisitique que fermi dirac, ou bose einstein.
Vous avez raison je vois le probleme a l'envers, mais c'est a dessin.

Qui est P ici?

[invite39876]

Si vous preferez on peut voir le probleme purement du coté hamiltonien.

Quand vous avez deux particules idientiques mises en jeu finalement, on dit que l'hamiltonien peut verifier H(r1,r2)=H(r2,r1) dans ce cas les particules sont des bosons, ou alors H(r1,r2)=-H(r2,r1), et ce sont des fermions.
Qu'est ce qui interdit d'avoir une loi du style aH(r1,r2)=bH(r2,r1) pour a et b des nombre complexes?
D'ailleurs de telles operateurs peuvent se construire mathématiquement (sauf erreur), y a til une raison pour les exclure de rechef?

[A voir en vidéo sur Futura]

[mariposa]

Enfin justement le postulat, c'est que l'hamiltonien est invariant par permutation (ou anti invariant) disons. Mais y a t il une preuve de ce postulat? (ou plutot sur quoi est basé ce postulat)?
On pourrait tres bien imaginer une autre statisitique que fermi dirac, ou bose einstein.
Vous avez raison je vois le probleme a l'envers, mais c'est a dessin.

Qui est P ici?

Un cercle S1 est invariant par rotation (autour de son centre). C'est un fait

l'hamiltonien est invariant par permutation n'est pas un postulat, mais un fait.

Exemple d'hamiltonien:

H(r1,r2) = [d/dr1]2 + [d/dr2]2 + V(r1) + v(r2) + W(|r1-r2|)

Les 2 premiers termes sont des énergies cinétiques, les 2 suivants l'énergie potentielle dans un champ éxtérieur.

Le denier l'énergie potentielle d'interaction entre les 2 particules

Que devient cet hamiltonien lorsque tu permutes 1 vers 2?

H(r1,r2) = H(r2,r1)

On on a donc [H,P] =0

P représente l'opération de permutation qui agit dans l'espace de Hilbert de la représentation de H

on a donc:


Soit |1,2> = |2,1> pour les paires de bosons

Soit |1,2> = - |2,1> pour les paires de fermions.

Autrement dit le fait que l'hamiltonien soit un invariant de permutation entraine que le monde se divise

en 2 classes de particules (liées aux 2 représentations irréductibles du groupe de permutation) que l'on appelle bosons et fermions.

[invite39876]

Un cercle S1 est invariant par rotation (autour de son centre). C'est un fait

l'hamiltonien est invariant par permutation n'est pas un postulat, mais un fait.

Ah? J'ignorais. Et vous avez une demonstration de ce fait?

Exemple d'hamiltonien:

H(r1,r2) = [d/dr1]2 + [d/dr2]2 + V(r1) + v(r2) + W(|r1-r2|)

Les 2 premiers termes sont des énergies cinétiques, les 2 suivants l'énergie potentielle dans un champ éxtérieur.

Le denier l'énergie potentielle d'interaction entre les 2 particules

Que devient cet hamiltonien lorsque tu permutes 1 vers 2?

Oui c'est un hamiltonien particulier? ET?
En voici un autre V(x1)+3V(x2), ou V est l'energie d'une particule placé dans n'importe quel potentiel (je sais que dit comme ca l'Hamiltonien ne correspond pas a une situation physique, mais peu importe, un hamiltonien, c'est a priori un operateur sur l'espace de Hilbert, hermitien, le mien l'est).
D'ou ma question, y a til un postulat quelque part qui declare qu'on ne s'interesse qu'aux hamiltoniens de ce type?

Je comprends bien ce que vous dites, mais ca ne repond pas a ma question.

[invite39876]

Ok, en fait chuis bete, le fait que l'hamiltonien soit invariant par permutation des 2 particules, vient du fait que les deux particules sont indiscernables.

[invite39876]

Sauf que, il ne me parait pas stupide en fait que l'operateur permutation fasse juste changer la phase du systeme. Qqch du style H(r1,r2)=exp(it)H(r2,r1) pour t un certain reel.
Je ne sais pas dans quelle mesure les particules seraient indiscernables dans ce contexte.

[mariposa]

Ah? J'ignorais. Et vous avez une demonstration de ce fait?


Oui c'est un hamiltonien particulier? ET?
En voici un autre V(x1)+3V(x2), ou V est l'energie d'une particule placé dans n'importe quel potentiel (je sais que dit comme ca l'Hamiltonien ne correspond pas a une situation physique, mais peu importe, un hamiltonien, c'est a priori un operateur sur l'espace de Hilbert, hermitien, le mien l'est).

Sur cet exemple les particules ne sont pas identiques et donc ne correspond pas à un hamiltonien de physiciens

D'ou ma question, y a til un postulat quelque part qui declare qu'on ne s'interesse qu'aux hamiltoniens de ce type?

Je comprends bien ce que vous dites, mais ca ne repond pas a ma question.

Le physique ne fonctionne pas du tout avec des postulats.

en physique classique l'énergie d'un système de particules identiques ne dépend pas de la permutation des particules.

Cette symétrie n'a en physique classique aucune conséquence: La dynamique des particules est dans décrite dans l'espace des phases.

Par contre en MQ la dynamique des particules identiques est représentée dans des espaces de Hilbert et cela change tout comme je l'ai expliqué précédemment.

[invite39876]

Sur cet exemple les particules ne sont pas identiques et donc ne correspond pas à un hamiltonien de physiciens




Le physique ne fonctionne pas du tout avec des postulats.

en physique classique l'énergie d'un système de particules identiques ne dépend pas de la permutation des particules.

Cette symétrie n'a en physique classique aucune conséquence: La dynamique des particules est dans décrite dans l'espace des phases.

Par contre en MQ la dynamique des particules identiques est représentée dans des espaces de Hilbert et cela change tout comme je l'ai expliqué précédemment.

Oui, vous avez raison, le fait que les particules soient indiscernable m'etait sorti de la tete. Finalement ma question etait un peu triviale .