[RDM] Flexion (3 points) d'une poutre en alu

[christo89]

Bonjour à tous,
Nous avons un souci avec une poutre que l'on doit étudier en flexion pour un TP de méca (C'est plus de la RDM d'ailleurs mais bon).
L'expérience consistait à coller une jauge de déformation sur la poutre et d'étudier la déformation et l'effort en fonction de la flèche.
Ensuite il faut comparer l'expérimental avec la théorie :
Elle repose sur deux appuis, et possède une longueur de 2L. Un effort F est exercé au centre de la poutre. (Si besoin je peux scanner le sujet)
Voilà les questions (on suppose la poutre en élasticité, on a les caractéristiques de l'alu):

1)En supposant la déformation longitudinale Exx (Exx = epsilon mais j'ai pas trouvé comment l'écrire...) d'une section d'abscisse x est linéaire en y : Exx (x,y) = K(x)*y, déterminer le coefficient K(x) en fonction de l'effort F, puis montrer qu'en x=0, K(x=0) = 3.f/L² (f est la flèche de la poutre).
2) En déduire l'expression de l'effort F en fonction de la flèche f.
3) Déterminer la déformation sous la jauge collée sur la poutre en fonction de la flèche.
4) Déterminer et tracer qualitativement les contraintes sigmaxx dans la section x = 0.

Le souci vient de la première question : Comment déterminer le coefficient K(x)? On a pensé à la loi de Hooke, mais on a pas le sigma, qui doit être calculé à la question 4. Sachant qu'on n'a pas fait de RDM depuis 1 an, on bug dessus depuis un moment. Pour le sigma, le prof nous a dit d'utiliser sigma = (Mf/Igx)*y, mais aucune info pour trouver le K(x).
Est-ce qu'il y a une formule spéciale avec les epsilons que l'on aurait oubliée?

En vous remerciant d'avance.
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[sitalgo]

B'soir,

La déformation eps = sigma / E.
Sigma = M.y/I
Avec ça on trouve k(x) en fonction de F et L.
Il reste f, soit tu intègres soit tu utilises la formule toute faite f=FL³/48EI. L est ici la longueur de la poutre.

x=0 au milieu de la poutre si j'ai bien compris.

[christo89]

Très bien merci beaucoup, on était parti dans la bonne direction, mais sans en être sûr!
x=0 se situe effectivement au milieu de la poutre. Je vais calculer ça alors encore merci!

[christo89]

Je reviens, pour un autre souci. Je m'explique :
Je trouve un M = F(2L-x)/2 (que j'ai ressorti d'un exercice que j'ai fait il y a quelques années). Avec y = h/2 et un I = be^3/12, j'en déduis :
sigma = [3F(2L-x)*h]/[b*e^3]
D'où epsilon = [3F(2L-x)*h]/[E*b*e^3] = K(x) * y
Le souci, c'est que je dois trouver, pour un x = 0, K(x=0) = 3f/L², avec f la flèche, et ensuite je dois en déduire F en fonction de la flèche. Comment je fais pour sortir la flèche dans epsilon? f = FL^3/48EI, je suis d'accord, mais ça je dois le trouver grâce au K(x).
Je suis vraiment pas une bête en RDM, pourtant l'exercice avait l'air simple, mais je bloque complètement (et ça m'énerve...).
Si quelqu'un voit... Je suis sûr que c'est bidon mais j'avoue que là...
Merci d'avance!

[A voir en vidéo sur Futura]

[sitalgo]

L'équation du Mf de -L à 0 est Ay.(L-x) soit F/2.(L-x), on n'a pas besoin de l'équation de l'autre côté.

Le rapport entre l'allongement et la distance à la fibre neutre donne l'angle que fait la section avec la verticale ou l'angle de déviation de la fibre neutre. Angles unitaires, angle = tg.
En intégrant on obtient la déviation totale, en intégrant encore on obtient la flèche.

[christo89]

Effectivement, merci beaucoup pour le coup de main!

[sitalgo]

Je rectifie cependant une erreur :
Le Mf = F/2.(L+x) car x est de valeur négative entre -L et 0.

[christo89]

J'avais pas fait attention mais oui, x se trouve au milieu de la poutre et non tout à gauche (j'ai pas l'habitude).