Bonjour,
En mécanique quantique, comment fait-on pour calculer les fonctions propres puis les énergies propres pour un problème simple (ex: puit de potentiel fini, particule dans une boîte, oscillateur harmonique, double puit de potentiel...)
Existe-t-il une méthode générale?
Il faut résoudre l'équation de Schrödinger. C'est une équa. diff. toute bête qui a soit une solution analytique correspondant à des problèmes très particuliers (dont ceux que vous citez), soit une solution numérique pour des problèmes un peu plus complexes et qui est finalement insoluble car trop complexe dans la plupart des cas
Ah!
Donc je ne me trompais pas.
Mais comment se fait-il que l'on arrive à des valeurs discrètes?
C'est la condition de normalisation qui fait ça?
Comment s'en sert t-on de façon analytique?
Ce sont les conditions au limite.
Par exemple dans le cas du potentiel infini, la fonction d'onde doit s'annuler sur les bords du puits.
Pour le potentiel coulombien, ce sont surtout le comportement de la fonction d'onde à l'infini.
Bonjour,Envoyé par louisdark
Cela vient du fait que lorsque l'on cherche les solutions stationnaires de l'équation de Schrodinger on est ramené à un problèmes aux valeurs propres et fonctions propres dont le spectre contient en général un spectre discret + un spectre continu.
A noter que si le système est classiquement toujours confiné (cas de l'oscillateur harmonique ou du puits infini par exemple), alors le spectre sera toujours discret. De façon générale, le problème est absolument analogue à celui d'une cavité résonante ou des fréquences sonores émises par une membrane : résolution d'une équation aux dérivées partielles avec conditions aux limites, qui n'a de solution que pour certaines valeurs discrètes des paramètres (ici les fréquences propres d'oscillation). Vu comme ça, la mécanique quantique n'est que de l'acoustique
C'est insoluble ou "très difficilement soluble et j'ai autre chose à faire que de passer la moitié de ma vie à résoudre ce problème"?Il faut résoudre l'équation de Schrödinger. C'est une équa. diff. toute bête qui a soit une solution analytique correspondant à des problèmes très particuliers (dont ceux que vous citez), soit une solution numérique pour des problèmes un peu plus complexes et qui est finalement insoluble car trop complexe dans la plupart des cas
Est-il impossible de résoudre l'équation ou juste irréalisable?
N'est-il pas possible de faire résoudre l'équation informatiquement?
C'est analytique pour l'atome d'hydrogène (et encore, ça dépend de ce qu'on met dans l'Hamiltonien).
C'est déjà seulement numérique dès l'atome d'hélium.
C'est insoluble pour une grosse molécule biologique (trop de degrés de libertés, faut faire de grosses approximations).
Ça n'a plus de sens pour un objet macroscopique (ce serait une équa. diff. avec quelques 10^23 degrés de libertés, faut passer par des méthodes statistiques).
Ce que je veut dire, c'est que ce serait impossible ou que ça prendrait juste un temps immensément trop grand?
Ce qu'il faut savoir est qu 'il existe quelques rares cas où l'équation de Schrodinger est soluble analytiquement. Ce n'est pas pour autant qu'il faut résoudre l 'équation par ordinateur. En fait en pratique on utilise des méthodes d'approximations qui en elles mêmes contiennent de la signification physique.
Parmi les très nombreuses méthodes d'approximation il y a l'incontournable théorie des perturbations qui se trouve dans tous les livres de MQ
Merci.
Y a-t-il quelque part sur internet un exemple de résolution de l'équation de Schrödinger avec toutes les étapes pour m'exercer ensuite?
Es-tu aller voir dans la bibliothèque virtuelle de Futura?
Sinon as-tu un livre de MQ en ta possession?
Pour information: Le premier exercice à faire en MQ est de résoudre la dynamique d'un électron dans un puits de potentiel infini puis dans un deuxième temps avec un puits de potentiel fini.
Comme livre de MQ, j'ai 12 leçon de MQ, un très bon livre.
Je vais essayer le puit de potentiel infini.
C'est parfait, c'est celui désormais que je recommande.
Dans le livre, il y a seulement la solution de l'équation aux valeurs propres et pas la manière d'y arriver.
Moi je n'arrive pas, c'est bien une équation linéaire du second ordre avec second membre?
J'ai cherché sur Wikipédia, qui m'apprend que c'est un problème bien connu des valeurs propres, ce que pensent la plupart des autres site. En gros il est bien connu de tout le monde que c'est un problème bien connu, mais pas comment résout-on le problème...
EDIT: encore que l'on donne le moyen de trouver k, A et B mais pas la façon qui définit en quoi la solution dépend de ces valeurs (qui ressemble à une solution d'équation différentielle du deuxième degré)
Dernière modification par louisdark ; 21/01/2012 à 15h08.
Pour la discussion il serait mieux que tu écrives ton équation.
Le principe est d'essayer une solution de la forme F(x) = A exp (i.k.x) c'est une démarche que l'on fait en physique classique) . Si cette fonction est correcte tu vas trouver des valeurs de k et du même coup les énergies propres.
Il faut bien sûr que la fonction F soit nulle au borne.
Équation aux valeurs propres :
Ils donnent pour solution (ils décrivent plus le puit de potentiel fini, mais plus complexe à faire soi-même si j'ai bien compris):
Dernière modification par louisdark ; 21/01/2012 à 15h24.
Euh...
Mais si on essaye une solution, ce n'est plus analytique, si?
Il n'y a pas un moyen de trouver la fonction autrement?
Oui çà l'air exacte, mais il vaut mieux que tu fasses les calculs de bout en bout car c'est des rares cas où c'est facile et çà permet de comprendre des choses importantes. Suit la méthode de mon message 17.Équation aux valeurs propres :
Ils donnent pour solution (ils décrivent plus le puit de potentiel fini, mais plus complexe à faire soi-même si j'ai bien compris):
Prend un potentiel nul à l'intérieur de l'intervalle [-a,a] et infini à l'exterieur.
tu dois trouver des fonctions en sinus et d'autres en cosinus.
Ps: 1-Voir Leçon 4 du livre de Basdevant
Ps: 2-Je ne pourrais continuer la discussion avant demain, car je m'en vais.
A+
Au revoir.
Encore une question si quelqu'un est là :
-pourquoi utilise-t-on cette forme pour chercher les fonctions?
Et comment vérifie-t-on la fonction?
Dernière modification par louisdark ; 21/01/2012 à 16h02.
Bonjour,
Une petite étourderie,
C'est
Que l'on peut réécrire sous la forme bien connue
Dans le cas de puis de potentiels simples,
Not only is it not right, it's not even wrong!
Pour trouver les énergies propres et fonctions propres, il faut écrire une matrice forcément!
Comment faire??
Il faut que tu regardes ton problème et surtout les bords de ton problème ou si tu préfères les Conditions Limites!
Ce sont les C.L. qui vont t'indiquer déjà quel type de fonction tu peux prendre : Par exemple un trinome A+Bx+Cx2+Dx3 (mais cela peut être des polynomes d'Hermitte ou tout autres fonctions plus appropriées).
Puisque tu as dans ce cas 4 inconnues: A, B, C et D alors tu vas pouvoir déterminer les 4 premières fonctions propres!
Il faut donc écrire l'Hamiltonien en fonction de ta fonction polynomiale.
En minimisant ton hamiltonien par rapport à tes 4 variables, tu en déduis un système de 4 équations.
Ces 4 équations se présentent sous forme d'un système matriciel.
A partir de là, trouver les fonctions propres est un jeu d'enfant pour qui a un ordinateur.
gn?
Il y a pas un exemple quelque part? Parce que là...
Comment j'écris l'Hamiltonien en fonction de la fonction polynomial?
Comment je le minimise?
C'est une démarche classique en physique. Pour résoudre des problèmes on peut pratiquer par essais et erreurs. En fait avec l'expérience (individuelle et ou collective) on a toujours des intuitions.
Exemple simple;
Soit à résoudre:
dA(x)/dx = x2
On peut évidemment écrire:
dA(x) = x2.dx
et intégrer.
Mais avec l'habitude quand on voit:
dA(x)/dx = x2
on a automatiquement l'idée s'essayer:
A(x) = x3
car je sais que la dérivée de x3 est du style x2
En fait cet exemple simple se pratique très couramment pour résoudre des problèmes même complexes. Il y a même des stratégies mathématiques pour organiser tout cela.
Dans notre cas pour les EDP (en physique classique comme en physique quantique) il est toujours utile de chercher des solutions sous la forme exp(i.k.x) où les valeurs de k sont inconnues. (en fait il y a une raison très profonde à cela qui s'explique avec la théorie de représentation des groupes)
gn?Faut pas faire attention aux messages de lionelod…
Comment dois-je faire pour vérifier la fonction?
Tu la mets dans l'équation de Schrodinger
Mais j'ai pas l'impulsion pour vérifier avec l'équation de Schrödinger, si?
Dans l'équation de Schrodinger l'impulsion P c'est un opérateur (il agit sur quelque chose) qui vaut:
Px = -i.h.d/dx
que tu peux faire agir sur exp (i.k.x)
