Oscillations forcées (question article scientifique).

[fred3142]

Bonjour à tous.

J'ai une petite question sur un article paru dans "Pour la Science" (article "Les ondes, entre physique et mathématiques" du numéro 409 (numéro spécial de Novembre 2011 sur les ondes)).
Il est question des oscillations de faible amplitude d'une masse attachée à un ressort sans masse, et sans prendre en compte les frottement, dont la position satisfait donc où correspond à l'accélération due à une force extérieure appliquée au ressort.
Il est écrit :

Le cas où la force extérieure appliquée est une fonction sinusoïdale du temps, de pulsation , est particulièrement important [...]. Si la pulsation du forçage extérieur est différente de la pulsation propre de l'oscillateur, on trouve que l'oscillation est somme de fonctions sinusoïdales de pulsations , , et ; son amplitude est bornée à tout instant.

Je ne comprends pas d'où viennent les termes en et , pour moi il n'y a que deux sinusoïdes à et à .
J'ai du mal comprendre quelque chose, mais voici mes arguments :
Mathématiquement, si f est une fonction sinusoïdale du temps, x est somme d'une solution particulière de l'équation (une sinusoïde à ) et de la solution homogène de l'équation (une sinusoïde à , d'amplitude constante ici car il n'y a pas de frottement, sinon qui décroit exponentiellement avec le temps).
Physiquement, le déplacement de la masse est du à la superposition de l'oscillation propre de la masse (sinusoïde à , non amortie car pas de frottement) et de son oscillation "forcée" (sinusoïde à ).

Mais je dois me tromper quelque part.
Pouvez-vous m'éclairer?

Merci d'avance.
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[invite7399a8aa]

Bonjour à tous.

J'ai une petite question sur un article paru dans "Pour la Science" (article "Les ondes, entre physique et mathématiques" du numéro 409 (numéro spécial de Novembre 2011 sur les ondes)).
Il est question des oscillations de faible amplitude d'une masse attachée à un ressort sans masse, et sans prendre en compte les frottement, dont la position satisfait donc où correspond à l'accélération due à une force extérieure appliquée au ressort.
Il est écrit :

Le cas où la force extérieure appliquée est une fonction sinusoïdale du temps, de pulsation , est particulièrement important [...]. Si la pulsation du forçage extérieur est différente de la pulsation propre de l'oscillateur, on trouve que l'oscillation est somme de fonctions sinusoïdales de pulsations , , et ; son amplitude est bornée à tout instant.

Je ne comprends pas d'où viennent les termes en et , pour moi il n'y a que deux sinusoïdes à et à .
J'ai du mal comprendre quelque chose, mais voici mes arguments :
Mathématiquement, si f est une fonction sinusoïdale du temps, x est somme d'une solution particulière de l'équation (une sinusoïde à ) et de la solution homogène de l'équation (une sinusoïde à , d'amplitude constante ici car il n'y a pas de frottement, sinon qui décroit exponentiellement avec le temps).
Physiquement, le déplacement de la masse est du à la superposition de l'oscillation propre de la masse (sinusoïde à , non amortie car pas de frottement) et de son oscillation "forcée" (sinusoïde à ).

Mais je dois me tromper quelque part.
Pouvez-vous m'éclairer?

Merci d'avance.

Bonjour,

Je ne sais pas si tu as l'habitude de manipuler la transformation de Laplace, ou cas ou c'est oui,

ton Pb se simplifie considérablement en ce sens que tu trouves la solution de ton équation de façon triviale.

elle est Y(s) = X(s)FT(s) aprés ça tu repasses dans le domaine du temps mais c'est pas nécéssaire.

Cordialement

Ludwig

[invite6dffde4c]

Bonjour.
Ce numéro de Pour la Science est le plus mauvais que j'ai eu depuis que je suis abonné. Je ne l'ai lu que très partiellement.
C'est un numéro dédié aux ondes mais écrit par des matheux. Avec un choix de sujet aberrant.
Dans l'article que vous mentionnez, le passage concerne un oscillateur sans pertes, ce qui est déjà une absurdité.
Mais vous ne vous trompez pas, on ne peut pas obtenir des fréquences w-w', ou w'-w dans un système linéaire.
C'est un numéro de PLS qui ne mérite que partir à la poubelle directement.
Au revoir.

[fred3142]

Mais on retrouve mon résultat avec Laplace non? (c'est juste la méthode de résolution qui est différente, il est tout aussi juste de raisonner avec Laplace qu'avec ma méthode plus élémentaire, mais vu la simplicité de ce problème il ne semblait pas nécessaire de sortir l'artillerie Laplace, d'autant plus que la comparaison mathématiques/physique est moins visible).

[A voir en vidéo sur Futura]

[fred3142]

Merci LPFR.
Ca me rassure parce que j'étais assez sûr de mon coup (où alors il me faut revoir des maths et de la physique!).
Qu'il soit évoqué un oscillateur sans perte pourquoi pas encore (intérêt mathématique et selon moi peut se voir comme un cas limite d'une situation physique), mais le coup des w+w' et w-w' il semble donc que ce soit carrément une erreur.
Mais ça m'étonne de Pour la Science quand même!

[invite026c49e9]

Je dirais comme toi Fred, x(t) = xp(t) + xg(t) avec xg(t) = A cos (wt) + B sin (wt) et xp(t) = F cos (w't)

[invite6dffde4c]

Re.
Oui. La solution est une oscillation à la fréquence propre dépendante des conditions initiales et qui ne s'amortit jamais, plus une autre oscillation à la fréquence de "forçage".
Voici la solution générale:
http://www.wolframalpha.com/input/?i...b*cos%28w*t%29
A+