Equations d'Einstein

[inviteb7558fdc]

Bonjour.
Je voudrais me lancer dans une catégories de nouvelles solutions aux équations d'Einstein en présence de matière.
Mais ce faisant, je remarque que j'aurai besoin de votre aide ci et là...
Je compte faire ici le développement de ma démarche, en espérant que les membres du forum ayant une connaissance du sujet puissent me corriger.
Je vais donc faire étape par étape.
Soient les équations d'Einstein en présence de matière :

avec
Dans un premier temps, posons
Nous avons, en toute généralité : avec

Première hypothèse que je fais :
H1 : cas statique : la matière froide est au repos <==> et pour ou
Deuxième grande hypothèse :
H2 : cas isotrope : la densité d'énergie est isotrope, donc aussi la métrique. On peut donc travailler en coordonnées sphériques, et on retrouvera la solution de Swharschild pour les composantes du tenseur de Ricci. La condition sur l'énergie se réécrit maitnenant
En posant , on obtient, en remplaçant dans les équations d'Einstein, 3 équations différentielles indépendantes :
a) () ==>
b) () ==>
c) ) ==>

Il reste maintenant à résoudre ce système d'équations en avec comme contrainte que la métrique doit être celle de Minkowski lorsque <==>
Quelqu'un peut-il me confirmer que mon raisonnement est correct jusqu'ici? La poursuite des calculs mènera-t-elle à des résultats "physiques" ou ayant un lien avec la réalité?
Je vous remercie pour vos réponses.
Bien à vous.
-----

[invite741b54dd]

Bonjour,

pour ou

En faisant cette hypothèse vous ne supposez pas uniquement de la matière au repos mais également sans interaction car vous négligez tout terme de type pression. Ce que vous recherchez entre donc dans cette catégorie de solutions.

on retrouvera la solution de Swharschild pour les composantes du tenseur de Ricci.

Uniquement si vous supposez une répartition finie de matière. La métrique de FLRW correspond parfaitement à ce que vous décrivez.

Quelqu'un peut-il me confirmer que mon raisonnement est correct jusqu'ici? La poursuite des calculs mènera-t-elle à des résultats "physiques" ou ayant un lien avec la réalité?

Si vous voulez décrire un "objet astrophysique" il faut supposer que la densité est à support compact (elle s'annule pour une valeur finie de r) et il serait alors bien de ne pas négliger la pression. Vous serez probablement intéressé par la lecture de cette page.

Par contre, si vous voulez une solution cosmologique, il est trop contraignant de supposer que la limite asymptotique est l'espace-temps de Minkowski.

[inviteb7558fdc]

Bonjour.
Merci pour votre réponse, cela me permets de préciser mon objectif, qui je crois reste différent de ceux dont vous m'avez montré les solutions.

En faisant cette hypothèse vous ne supposez pas uniquement de la matière au repos mais également sans interaction car vous négligez tout terme de type pression.

En fait, et peut-être que vous me direz que ce n'est plus qu'alors un problème mathématique, je voudrais résoudre ces équations pour une fonction scalaire continue, ayant les bonnes dimensions toutefois, et isotrope. donc sans faire d'hypothèse sur la nature de cette densité d'energie. Ce faisant, j'admets qu'on fait l'hypothèse qu'elle a une pression nulle, notament. Je m'explique :
Pouvez-vous me confirmer qu'en toute, vraiment toute, généralité :

Pour tout tel que , pour tout tel que et pour toutes fonctions scalaires et
Dès lors, faire uniquement les hypothèses revient à dire qu'on ne considère par ce type d'énergie (pas de flux, pas de shear stress). Ce qui pour moi est tout à fait physique (Pour le moment, nous pourrions parler d'une particule)
Il reste l'hypothèse que j'arrive moins à cerner. Je comprends (par construction), mais quel est le sens physique cette hypothèse de pression nulle? si on considère simplement une densité d'énergie sans spécifier sa source, c'est normal de ne pas y inclure d'interaction non? (je vous avoue que je voudrais à terme calculer la fonction de densité pour une particule. Les constantes impliquées rendent bien sûr les effets ridiculeusement minimes, mais je voudrais tout de même obtenir la forme de la métrique, voire la généraliser un incluant d'autres termes dans le tenseur énergie-impulsion par la suite, pour en observer l'influence)

Uniquement si vous supposez une répartition finie de matière. La métrique de FLRW correspond parfaitement à ce que vous décrivez.

Je pensais justement que non : la métrique de FLRW ne correspond-elle pas à une densité homogène de masse-énergie, telle qu'observée à grande échelle dans l'univers? Dans ce cas-ci, la densité n'est pas homogène : elle est non-nulle et finie en r=0, et asymptotiquement nulle.
C'est dans ce sens que je forçais la métrique à être Minkowskienne à l'infini (je ne suis aps dans un cadre cosmologique).
J'attends vos éclaircissement, pour lesquels et pour tous les précédents, je suis très reconnaissant
Bien à vous.

[inviteb7558fdc]

edit:
J'ai oublié, dans l'expression la plus générale possible du tenseur énergie-impulsion, le terme fatidique : , et donc, pour toute fonction scalaire constante
L'hypothèse est, dans ce cadre non-cosmologique, je pense, acceptable Mais c'est justement la levée de cette hypothèse (plus tard) que je voudrais, notament, observer dans la métrique.

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteb7558fdc]

Bonjour.
Ma question ultime semble se préciser à mesure de mes lectures :
Dans une théorie des champs classiques, la seule contrainte que doit respecter le tenseur énergie-impulsion, s'il est obtenu "proprement" (de manière à ce qu'il soit conservé de manière covariante dans un système de coordonnée quelconque) à partir du lagrangien, est que
pour tout vecteur time-like (source : Lectures notes on general relativity, Sean M. Caroll)
C'est la condition d'énergie faible.
Peut-on dire que tout tenseur énergie-impulsion vérifiant la condition d'énergie faible a une signification physique? (en rapport à mon problème : cela veut-il dire que doit être nul s'il n'y a aucune autre terme présent? Je ne comprends pas...
Bien à vous.

[inviteb7558fdc]

up...hum

[invite741b54dd]

Bonjour,

Ce qui pour moi est tout à fait physique (Pour le moment, nous pourrions parler d'une particule)

La poussière est effectivement semblable à un ensemble de particules sans interaction

Il reste l'hypothèse que j'arrive moins à cerner.

Dire que la pression est nulle n'implique pas nécessairement cette égalité qui serait très (trop) restrictive. Par exemple si u est du genre temps et si l'on se place dans une tétrade dont u est le vecteur 0, elle aurait pour implication que la métrique n'aurait qu'une composante (00) non nulle.

quel est le sens physique cette hypothèse de pression nulle?

Elle signifie que les particules s'ignorent complètement. Plus encore que dans un gaz parfait car dans celui-ci il existe une pression.

si on considère simplement une densité d'énergie sans spécifier sa source, c'est normal de ne pas y inclure d'interaction non?

Pas nécessairement.

(je vous avoue que je voudrais à terme calculer la fonction de densité pour une particule. Les constantes impliquées rendent bien sûr les effets ridiculeusement minimes, mais je voudrais tout de même obtenir la forme de la métrique, voire la généraliser un incluant d'autres termes dans le tenseur énergie-impulsion par la suite, pour en observer l'influence)

Quoiqu'il en soit, vous devez faire une hypothèse sur la "structure interne" de votre particule. Si elle est ponctuelle, vous arriverez à un problème lié à l'apparition d'un horizon (à moins que vous ne la souhaitiez du type singularité nue ce qui n'est guère plus favorable à la modélisation d'une particule). Si vous ne la souhaitez pas ponctuelle, il faut préciser sa structure interne. Et dans les deux cas la taille (rayon où la densité s'annule) serait bienvenue.

Je pensais justement que non : la métrique de FLRW ne correspond-elle pas à une densité homogène de masse-énergie, telle qu'observée à grande échelle dans l'univers? Dans ce cas-ci, la densité n'est pas homogène : elle est non-nulle et finie en r=0, et asymptotiquement nulle.

Je donnais l'exemple de FLRW pour montrer que Schwarzschild n'est pas l'unique solution à symétrie sphérique. En l'occurence, si vous souhaitez que votre densité ne s'annule qu'à l'infini, vous n'aurez pas la solution de S car celle-ci décrit le champ dans le vide, à l'extérieur d'une source sphérique.

J'ai oublié, dans l'expression la plus générale possible du tenseur énergie-impulsion, le terme fatidique : , et donc, pour toute fonction scalaire constante
L'hypothèse est, dans ce cadre non-cosmologique, je pense, acceptable Mais c'est justement la levée de cette hypothèse (plus tard) que je voudrais, notament, observer dans la métrique.

Si vous comparez la valeur de la densité d'énergie correspondant à la constante cosmologique avec celle de la matière usuelle vous verrez qu'elle est sans influence sur des échelles non-cosmologique.

Dans une théorie des champs classiques, la seule contrainte que doit respecter le tenseur énergie-impulsion, s'il est obtenu "proprement" (de manière à ce qu'il soit conservé de manière covariante dans un système de coordonnée quelconque) à partir du lagrangien, est que
pour tout vecteur time-like (source : Lectures notes on general relativity, Sean M. Caroll)
C'est la condition d'énergie faible.

Êtes-vous certain d'avoir bien lu ? La condition n'est pas exactement ça.

[inviteb7558fdc]

Bonjour.
Encore une fois, un chaleureux merci pour votre réponse complète! ce fut un vrai plaisir de voir que c'était vous qui aviez répondu ^^
Je pense qu'avec celle-ci, je toucherai enfin au but
1) concernant l'hypothèse de pression nulle, nous sommes donc d'accord : on pose "à la main" p=0, et on estime que cette condition est suffisament physique dans certains cas (en cosmologie pour modéliser la matière baryonique par exemple)
2)Quand je parlais de la solution de Shwarzschild, j'allais trop vite : je voulais parler uniquement des expressions pour le tenseur de Ricci (une partie du membre de gauche dans les équations que j'étudie, car le scalaire de courbure n'est pas nul ici). J'admets qu'il n'y a pas grand chose d'autre en commun avec la solution dans le vide, mis à part ce tenseur de Ricci isotrope, identique dans la solution de Shwarzschil et ici)
3)Je retire donc ma question concernant la condition d'énergie faible : merci pour votre remarque, je m'étais effectivement trompé en écrivant un signe "=" à la place de ">="...ça change évidemment tout, et il me parait beaucoup plus naturel comme ça mon cas respecte donc tout à fait cette condition : j'ai
4) et 5) Pour les équations d'Einstein dans le vide, cas isotrope (Swarschild), nous obtenons 3 équations linéairement indépendantes, et la métrique ne dépend que de 2 fonctoins arbitraires...à quoi sert la dernière équation? (j'ai l'impression qu'elle n'est qu'un "raccourci" pour obtenir plus facilement la solution, mais n'est pas indispensable. je dis j'ai l'impression car je n'ai pas encore essayé de retrouver la solution en n'utilisant pas une des 3 équations). C'est dans cette logique que j'ai voulu placer une nouvelle fonction inconnue à droite dans le tenseur-énergie impulsion (la densité d'energie, fonction continue..un peu comme le carré du module de la fonction d'onde d'une partilcule). De ce fait, il y a 3 équations et 3 fonctions inconnues! Donc vraiment ici, il n'y a pas d'assomption que la particule est ponctuelle, puisqu'elle est représentée uniquement par la fonction , qui sera certes sans doute singulière à l'origine, mais celle-ci n'a aucune raison d'être mise à nu non plus, sans en avoir vu la métrique...
Je repose donc ma question sous une forme qui prend en compte l'ensemble de vos remarques précédentes :
Est-ce que la solution aux équations d'Einstein dans le cas isotrope, et pour une densité d'énergie positive, isotrope, statique, inconnue et donnée par la fonction [/TEX]\rho(r)[TEX] a un petit espoir d'être physique? si par exemple, l'energie totale vaut 931 Mev quand on intègre sa densité sur tout le volume disponible, je suis censé obtenir la réelle métrique aux alentours d'un proton non? (je SAIS que ce sera qqch genre , mais ma démarche ne pourrait être qu'intellectuelle : pouvoir voir de mes propres yeux à quoi ressemble cette métrique, et imaginer que la densité était logarithmiquement des dizaines de fois supérieure

J'attends votre réponse avec grand impatience!
(les autres aussi hein )
Bien à vous.

[inviteb7558fdc]

edit : j'ai oublié de préciser : nul besoin de spécifier la taille a priori de la particule, ni sa structure interne (mis à part l'hypothèse de pression nulle "dans" la particule). Concernant la taille, je pense que celle-ci émergera naturellement des équations, via une définition (là où la densité a diminué de 90% par exemple --> idem pour les orbitales atomique : pouvez-vous me donner leur taille? )
Donc je pense que la décroissance de la densité d'energie est régulée par les équations d'Einstein (Peut-être faudra-t-il ajouter un terme de pression négative pour la cohésion de l'ensemble si ce n'est pas le cas...je n'en sais rien moi...), et que les dimension caractéristiques du système seront en accordance avec les échelles d'énergie en input

Car finalement, l'obtention de cette sacrée métrique, ce n'est que la 1ère étape : mon but est d'après étudier le mouvement d'une autre densité d'énergie, en incluant un terme électromagnétique dans le lagrangien initial. et le petit E=QV pourrait sans doute jouer un très grand rôle

[inviteb7558fdc]

un p'tit up au cas où...

[inviteb7558fdc]

up up up....pleeease!

[Deedee81]

Salut,

up up up....pleeease!

Désolé, mais j'ai l'impression que la plus part des intervenants sont rebutés par la lourdeur des calculs (ou tout au moins des messages).

[inviteb7558fdc]

bonjour,

Désolé, mais j'ai l'impression que la plus part des intervenants sont rebutés par la lourdeur des calculs (ou tout au moins des messages).

Si les gens ne s'accordent que 10min à dépenser sur ce forum, oui forcément, la porté des discussions en est limitée...d'autant plus si vous insinuez que les gens se dirigent vers des sites où les posts sont courts, donc un peu "cour de récré". Par ailleurs, je précise qu'il n'y a aucun calcul qui est fait, juste quelques résultats et des lois ou relations standard.
Bien à vous, et bien à tous ceux qui pourront juger de l'éventuelle pertinence de cette démarche, chose que j'ignore et qui est la raison-même de ce fil.

[doul11]

Bonjour,

Il ne faut pas oublier que futura est un site de vulgarisation avant tout, chercher des nouvelles solutions aux équations d'Einstein sort inévitablement de son cadre, c'est un travail de recherche que seul les spécialistes peuvent faire.

[invite60be3959]

Bonjour,

Bien à vous, et bien à tous ceux qui pourront juger de l'éventuelle pertinence de cette démarche, chose que j'ignore et qui est la raison-même de ce fil.

En fait la seule chose qui change dans le calcul que tu veux faire par rapport au calcul de Schawrzchild est d'inclure un non-nul dans les équations d'Einstein. Cela a pour effet de "casser" la symétrie sphérique et on a alors à faire à une symétrie axiale (l'axe de symétrie étant une droite qui passe par le centre de la masse située à l'origine et le centre de la masse reponsable de la densité d'énergie non-nulle). La solution obtenue devra donc ressembler à une métrique de Kerr(avec un terme croisée non-nul) mais avec un moment cinétique J=0 puisque tu travailles en statique. Tu peux donc partir du principe que ta métrique aura la forme générale suivante :



Quant à la pertinence physique du calcul, je pense qu'il est loin d'être dénué d'intérêt. Bien souvent on néglige le terme car la masse de l'objet responsable de la densité d'énergie non-nulle est très inférieure à celle de l'objet situé à l'origine. On obtient alors sa trajectoire en utilisant l'équation des géodésques. Ici tu ne fais pas cette approximation. Tu va donc trouver la métrique d'un espace-temps où sont en présence 2 objets de masses comparable. Je pense que c'est un bon point de départ pour étudier un système binaire.

[invite60be3959]

J'ai oublié d'inclure une dépendance en dans les fonction A,B, et C.

[inviteb7558fdc]

Bonjour,
Merci beaucoup pour vos commentaires, j'apprécie vraiment ce genre de réponse constructive!
Vous disiez:

En fait la seule chose qui change dans le calcul que tu veux faire par rapport au calcul de Schawrzchild est d'inclure un non-nul dans les équations d'Einstein

C'est exactement ça! ce terme non-nul est l'unique source d'énergie dans le problème que je considère.

Cela a pour effet de "casser" la symétrie sphérique et on a alors à faire à une symétrie axiale (l'axe de symétrie étant une droite qui passe par le centre de la masse située à l'origine et le centre de la masse reponsable de la densité d'énergie non-nulle)

Mais je ne comprends pas votre raisonnement: pour le moment il n'y a qu'une seule masse : celle qui est à l'origine, et c'est elle qui est responsable de la densité d'énergie non-nulle. la symétrie sphérique (3D spatiale) est donc conservée, non?

Bien souvent on néglige le terme car la masse de l'objet responsable de la densité d'énergie non-nulle est très inférieure à celle de l'objet situé à l'origine. On obtient alors sa trajectoire en utilisant l'équation des géodésques.

De nouveau, l'objet situé à l'origine est pour le moment le seul présent, et c'est lui qui a une densité non-nulle...
Par après, une fois cette métrique obtenue, et en effet et comme vous le disiez, j'aimerais observer les équations du mouvement d'une autre densité d'energie plongée dans cette métrique sphérique et statique créée par la 1ère.

Peut-être parliez-vous déjà des étapes suivantes dans votre réponse...
mais ça ne m'expliquerait pas pourquoi vous me suggérez que la métrique perde sa symétrie sphérique. En fait, étant statique, elle ne dépend réellement que de la distance à l'origine, c'est donc une sphère en MRU dans la direction du temps (x^0) non?
Si le vecteur entre le centre de masse à l'origine et la densité d'énergie non-nulle (qui sont donc une seule et même chose dans mon cas), est un vecteur nul, le terme croisé s'annule?
Un tout grand merci d'avance pour vos réponses.

[invite741b54dd]

Bonjour,

Je pense qu'avec celle-ci, je toucherai enfin au but

J'espère ne pas diminuer votre motivation avec ce qui suit.

1) concernant l'hypothèse de pression nulle, nous sommes donc d'accord : on pose "à la main" p=0, et on estime que cette condition est suffisament physique dans certains cas (en cosmologie pour modéliser la matière baryonique par exemple)

Un point important à savoir est qu'une solution du type poussière ne vous permettra pas d'avoir une solution sphérique statique. Cela traduit mathématiquement le fait physique que la gravitation est attractive. Pour avoir quelque chose de statique, il vous faut ajouter un terme répulsif provenant soit de rotation, soit de pression, soit d'une densité de charge électrique ou encore d'une constante cosmologique. Ce n'est pas directement visible dans la façon dont vous avez écrit vos équations, mais cela se montre. Cet article vous intéressera peut-être, au minimum par certaines références qui y sont citées.

4) et 5) Pour les équations d'Einstein dans le vide, cas isotrope (Swarschild), nous obtenons 3 équations linéairement indépendantes, et la métrique ne dépend que de 2 fonctoins arbitraires...

La situation est même plus complexe que ça : dans le vide le théorème de Birkhoff montre que la dépendance temporelle (si elle est supposée au départ) n'est que factice et que la solution est statique, unique et ne dépend que d'un seul paramètre. En pratique, cela signifie que vos équations ne sont pas indépendantes malgré les apparences. Vous devriez pouvoir facilement montrer l'incohérence de vos équations (liée à l'absence de solution poussière statique et sphérique) en reprenant la formulation qui conduit aux équations de Tolman-Oppenheimer-Volkoff. Dans celles-ci on constate la nécessité d'une pression.

Est-ce que la solution aux équations d'Einstein dans le cas isotrope, et pour une densité d'énergie positive, isotrope, statique, inconnue et donnée par la fonction [/TEX]\rho(r)[TEX] a un petit espoir d'être physique? si par exemple, l'energie totale vaut 931 Mev quand on intègre sa densité sur tout le volume disponible, je suis censé obtenir la réelle métrique aux alentours d'un proton non? (je SAIS que ce sera qqch genre , mais ma démarche ne pourrait être qu'intellectuelle : pouvoir voir de mes propres yeux à quoi ressemble cette métrique, et imaginer que la densité était logarithmiquement des dizaines de fois supérieure

Compte tenu de ce qui précède vous comprendrez qu'il va vous falloir compliquer encore un peu les choses comme on le voit dans cet article qui en cite d'autres sur ce sujet.

Car finalement, l'obtention de cette sacrée métrique, ce n'est que la 1ère étape : mon but est d'après étudier le mouvement d'une autre densité d'énergie, en incluant un terme électromagnétique dans le lagrangien initial. et le petit E=QV pourrait sans doute jouer un très grand rôle

Vous avez effectivement raison sur ce point, comme l'illustre la dernière référence que j'indique. Quant à l'émergence de la taille en relation avec la masse totale, j'ai peur que si vous autorisez vos particules à être aussi étendues qu'elles le souhaitent, vous n'obteniez que des choses extrêmement diluées.

Cela a pour effet de "casser" la symétrie sphérique

Pas du tout. Schwarzschild a lui-même obtenu une solution à symétrie sphérique pouvant servir à modéliser un corps de densité constante et de taille finie.

La solution obtenue devra donc ressembler à une métrique de Kerr(avec un terme croisée non-nul) mais avec un moment cinétique J=0 puisque tu travailles en statique. Tu peux donc partir du principe que ta métrique aura la forme générale suivante :

Attention : vous confondez les termes stationnaire et statique. Une métrique telle que celle que vous proposez est stationnaire mais pas statique. Elle possède d'ailleurs un moment cinétique.

Cordialement,