Petites oscillations, lagrangien

[arbolis87]

Bonjour a tous!
Je bloque sur le probleme suivant (je n'arrive pas a trouver l'expression du potentiel dans le lagrangien):
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Soient deux pendules identiques de longueur attaché a un plafond horizontal. A leur extrémité est attachée une particule de masse m. On joint les deux particules avec un ressort de constante k et de longueur naturelle . Le systeme est soumis a la force gravitationelle actuant verticalement.
a)Calculez les fréquences propres d'oscillation en utilisant l'approximation de petites oscillations.
b)Determinez les coordonnées normales d'oscillation.
c)Supposez qu'a l'instant initial les deux pendules sont au repos avec et . Trouvez et résolvez l'équation du mouvement du systeme. et dénotent l'angle que fais le pendule 1 et 2 respectivement avec la verticale.
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Ce que j'ai fait:
a)Idée: trouver le lagrangiien du systeme, approximer le potentiel par une expression du type . Ensuite, trouver les équations d'Euler-Lagrange pour trouver l'équation du mouvement et utiliser l'approximation de petits angles si nécéssaire. Va falloir que je lise exactement comment faire pour trouver les coordonnés normales d'oscillation et aussi les fréquences propres (matrices je crois?).
Donc le lagrangien total va etre la somme de 3 lagrangiens. 2 lagrangiens concernant les particules de mass m et un lagrangien concernant le ressort qui les lient.
J'utilise un systeme de référence situé a la position de la particule 1 lorsque le systeme est au repos. Le lagrangien de la particule 1 est donc .
J'ai calculé et ainsi que et .
Il ne me reste plus qu'a trouver le lagrangien du ressort, qui vaut ou delta x représente l'élongation/compression du ressort par rapport a . Donc si et représentent les vecteurs positions des particules de masse m, .
Donc je veux calculer cette expression. et . Ca fait .
J'utilise 2 identités trigonométrique et j'écris .
Je calcule le module: que je simplifie jusqu'a . Et c'est la que les problemes commencent.
Normalement si , je devrais avoir pour tout angle . Cependent je n'obtiens pas ca avec mon résultat. J'obtiens que c'est vrai si et seulement si ce qui n'a pas de raison d'etre vrai. Donc j'ai fais une erreur mais j'ai révisé 4 fois les calculs, je ne vois aucune erreur...
Si quelqu'un pouvait m'aider a trouver mon erreur ou m'aider a trouver le lagrangian, je serais tres reconnaissant.
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[arbolis87]

Je viens de trouver une erreur pour . Je demanderai de l'aide si j'en ai besoin.

[arbolis87]

Rebonjour, (dommage qu'on ne puisse pas éditer a plus de 5 minutes d'avoir écrit un message)
J'ai refais les calculs et j'ai trouvé ; ce résultat a du sens dans le sens que si , .
.
Et donc le lagrangien du system est . Je ne sais pas quoi faire a partir de la. Est-ce que quelqu'un pourrait me donner l'idée générale de comment trouver les fréquences propres d'oscillation? Merci d'avance.