Bonjour a tous!
Je bloque sur le probleme suivant (je n'arrive pas a trouver l'expression du potentiel dans le lagrangien):
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Soient deux pendules identiques de longueurattaché a un plafond horizontal. A leur extrémité est attachée une particule de masse m. On joint les deux particules avec un ressort de constante k et de longueur naturelle
. Le systeme est soumis a la force gravitationelle actuant verticalement.
a)Calculez les fréquences propres d'oscillation en utilisant l'approximation de petites oscillations.
b)Determinez les coordonnées normales d'oscillation.
c)Supposez qu'a l'instant initial les deux pendules sont au repos avecet
. Trouvez et résolvez l'équation du mouvement du systeme.
et
dénotent l'angle que fais le pendule 1 et 2 respectivement avec la verticale.
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Ce que j'ai fait:
a)Idée: trouver le lagrangiien du systeme, approximer le potentiel par une expression du type. Ensuite, trouver les équations d'Euler-Lagrange pour trouver l'équation du mouvement et utiliser l'approximation de petits angles si nécéssaire. Va falloir que je lise exactement comment faire pour trouver les coordonnés normales d'oscillation et aussi les fréquences propres (matrices je crois?).
Donc le lagrangien total va etre la somme de 3 lagrangiens. 2 lagrangiens concernant les particules de mass m et un lagrangien concernant le ressort qui les lient.
J'utilise un systeme de référence situé a la position de la particule 1 lorsque le systeme est au repos. Le lagrangien de la particule 1 est donc.
J'ai calculéet
ainsi que
et
.
Il ne me reste plus qu'a trouver le lagrangien du ressort, qui vautou delta x représente l'élongation/compression du ressort par rapport a
. Donc si
et
représentent les vecteurs positions des particules de masse m,
.
Donc je veux calculer cette expression.et
. Ca fait
.
J'utilise 2 identités trigonométrique et j'écris.
Je calcule le module:que je simplifie jusqu'a
. Et c'est la que les problemes commencent.
Normalement si, je devrais avoir
pour tout angle
. Cependent je n'obtiens pas ca avec mon résultat. J'obtiens que c'est vrai si et seulement si
ce qui n'a pas de raison d'etre vrai. Donc j'ai fais une erreur mais j'ai révisé 4 fois les calculs, je ne vois aucune erreur...
Si quelqu'un pouvait m'aider a trouver mon erreur ou m'aider a trouver le lagrangian, je serais tres reconnaissant.
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