détermination du centre de gravité

[mav62]

Bonsoir,
Quelqu'un aurait-il une idée pour introduire l'expression du centre de gravité d'un solide : M.OG = somme mi . OGi (en vecteurs) ?
L'objectif est ensuite de savoir déterminer les coordonnées du CG de solide en le décomposant en éléments simples. Je me demandais si je ne devais pas partir de la définition du barycentre en mathématiques.

Ensuite peut-on considérer dans le cas d'un solide indéformable, que le centre de gravité, de masse, d'inertie et le barycentre sont identiques ?
Merci d'avance pour votre aide.
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[phys4]

Je me demandais si je ne devais pas partir de la définition du barycentre en mathématiques.

Bonsoir, c'est une très bonne idée!

Ensuite peut-on considérer dans le cas d'un solide indéformable, que le centre de gravité, de masse, d'inertie et le barycentre sont identiques ?

Tout à fait vrai pour un solide homogène bien sur.

[LPFR]

Bonjour.
Il y a une nuance entre le centre de masses et le centre de gravité. Ils ne coïncident que si l'accélération de gravité est la même dans toute l'étendue du corps.
Or, comme l'accélération de gravité varie avec la distance, ce n'est jamais rigoureusement vrai.
Ça n'a aucune importante pour des objets sur terre, mais ça joue de façon non négligeable pour des objets en orbite. Surtout si leur forme est allongée. Le centre de gravité (force centripète) et celui de masses (inertie) ne coïncident pas et ça crée un couple qui tend à réorienter l'objet.
Au revoir.

[mav62]

Bonjour,
Voila comment je pense introduire le centre de gravité :
1) le C.G est le point d'application de la résultante des forces de pesanteur appliquées à toutes les particules de masse mi composante un solide c'est à dire son poids P = m.g avec m = somme des mi.
2) Rappeler les caractéristiques du vecteur poids (direction, sens, norme) et pour le point d'application G : point abstrait où la masse semble concentrée.
3) Détermination du CG :
Le C.G d'un solide est le barycentre des particules composant celui-ci affectées de leur masse respective. Il vérifie les relations suivantes :
Somme mi.GAi = 0 et Somme m.OG = Somme mi.OAi avec : m la masse totale du solide, O une origine quelconque et Ai le C.G de chaque particule ou celui de chaque bloc du solide (décomposition en éléments simples).
Pouvez-vous me dire ce que vous en pensez ? les corrections à effectuer ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[triall]

Bonsoir , je ferais 2 remarques :
Vous calculez là le centre de masse et non le centre de gravité , et la seconde égalité semble découler de la première donc superfétatoire .
Pour le centre de gravité de la Terre par exemple, soumis à la gravité de la Lune, comme l'expliquait LPFR, il faudrait "affubler" les points Ai non pas de leur masse mais de la norme de leur attraction vers la Lune en Gmmi/d² m étant la masse de la Lune G constante de gravitation .
Maintenant ça me chiffonne un peu car les différentes attractions des Ai ne sont pas tout à fait parallèles entre elles ... On aurait ainsi un centre de gravité de la Terre plus rapproché de la Lune que son centre de masse...

[mav62]

Bonsoir,
Mes calculs de centre de gravité vont se limiter par la suite à des solides décomposables en éléments simples rectangle, triangle, cercle, ... et ainsi n'utiliser que la relation m.OG = Somme mi.OGi pour déterminer la position du centre de gravité.
Dans ce cas puis-je considérer que le centre de masse du solide est confondu avec le centre de gravité ? Quelle hypothèse dois-je alors indiquer pour le justifier ?

[LPFR]

Re.
Si c'est un satellite, l'approximation n'est aps bonne.
Si c'es un objet sur terre la valeur de l'accélération de gravité (pour de objets de dimension très petite devant le rayon terrestre) peut être considérée comme constante.
Peut-on le faite pour la tour Eiffel ?

L'accélération de gravité en haut de la tour est 1/10000 plus faible qu'en bas.
C'est à vous de voir si l'approximation de la considérer égale est valable.

@Triall:
Pour calculer le centre de gravité avec des poids non parallèles, on pet l'écrire en vectoriel ce qui revient à le faire coordonnée par coordonnée avec les projections adéquates.
A+

[triall]

Pour LPFR

@Triall:
Pour calculer le centre de gravité avec des poids non parallèles, on pet l'écrire en vectoriel ce qui revient à le faire coordonnée par coordonnée avec les projections adéquates.

Je ne saisis pas très bien .
Voilà comment je ferais pour calculer le centre de gravité de la Terre soumise à l'attraction Lunaire .
Le centre de gravité, d'après ce que j'en ai compris sert à remplacer la Terre par un seul point (le CG.) où l'on somme toutes les forces (le poids total de la Terre, l'attraction Terre-Lune) .
Ainsi , on calcule le barycentre avec somme de G.m.mi/di² gAi=0 g centre de gravité .
Ensuite on somme vectoriellement toutes les forces des Ai (leur poids) , et on met cette somme sur le point g .
Ainsi, pour le problème Terre Lune, cette dernière se comporte comme si toute la force d'attraction de la Terre vers la Lune était rassemblé au point g...

[LPFR]

Pour LPFR

Je ne saisis pas très bien .
...

Bonjour Triall.
Quand vous calculez le centre de gravité d'un objet, votre système de coordonnées est quelconque par rapport au centre de gravité.
Pour calculer le centre de gravité en 'x' il faut faire:

Et la même chose pour 'y' et 'z'.
g_x est la composante en x de l'accélération de gravité.
Cordialement,

[triall]

Bonjour, LPFR ok, merci il faudrait passer aux coordonnées sphériques pour pouvoir calculer quelque chose avec la Lune par exemple ..
Mais en quoi ma "manipulation" est-elle fausse ? :

Voilà comment je ferais pour calculer le centre de gravité de la Terre soumise à l'attraction Lunaire .
Le centre de gravité, d'après ce que j'en ai compris sert à remplacer la Terre par un seul point (le CG.) où l'on somme toutes les forces (le poids total de la Terre, l'attraction Terre-Lune) .
Ainsi , on calcule le barycentre avec somme de G.m.mi/di² gAi=0 g centre de gravité .
Ensuite on somme vectoriellement toutes les forces des Ai (leur poids) , et on met cette somme sur le point g .
Ainsi, pour le problème Terre Lune, cette dernière se comporte comme si toute la force d'attraction de la Terre vers la Lune était rassemblé au point g..

[LPFR]

Re.
Votre calcul est correct. Le centre d'inertie est bien le barycentre, mais la force d'attraction est bien le centre de gravité.

Dans le cas d'une distribution de masse à symétrie sphérique, on peut démontrer que le centre d'attraction coïncide avec le centre de masses. Soit le centre de gravité et le barycentre coïncident.
Voir page 11-3 de mon fascicule.

Je pense que vous vous emmquiquirez autant en coordonnées sphériques qu'en coordonnées cartésiennes. Dans un cas ce seront les distances qui seront compliquées et dans l'autre ce seront les limites d'intégration. Le mieux est d'utiliser des astuces, comme celle de la page 11-3 (je l'ai pompée dans un livre).
A+