Harmonique sphérique : problème des pôles

[invite9f90c9cc]

Bonjour,

Depuis un certain temps déjà, je connais le développement en harmoniques sphériques du champ magnétique de la Terre. Je travaille notamment avec le champ magnétique interne. Sauf que je me retrouve confronté à une question que je ne mettais jamais posée. Soit le potentiel V(r, theta, phi), on sait que le laplacien de V est nul. En effectuant une décomposition des variables, on a V = f(r)*g(theta)*h(phi). On trouve alors une fonction g telle que l'on retrouve à un moment donné sin(theta) au dénominateur. Il est donc exclu que theta = 0 et theta = 180°. Pour ces deux valeurs précises, le potentiel a-t-il tout de même une expression ?

J'espere avoir été clair dans mon énoncé. Cependant si ça n'est pas le cas, j'essayerai de le clarifier.

Merci beaucoup
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[invite6dffde4c]

Bonjour.
Avez-vous regardé la valeur du numérateur pour le sinus égal à zéro ?
Au revoir.

[invite9f90c9cc]

Bonjour,

la fonction g est solution d'une equation differentielle, cette derniere faisant intervenir le sinus au denominateur. Nous obtenons donc dans un des termes de cette equation : g(theta) * ( n(n+1) sin(theta) - m^2/sin(theta) ). Le numérateur ne s'annule pas, le probleme est toujours entier.

[invite6dffde4c]

Bonjour.
Nous sommes d'accord que des infinis ça n'existe pas en physique; j'imagine.
Donc, si vous trouvez des infinis, c'est que le cas ou la position n'a pas de réalité ou ne peut pas se produire.
Si le sinus au dénominateur apparaît dans l'équation elle-même (et non uniquement dans la solution) alors le canular se trouve dans l'établissement de l'équation.
Au revoir.

[A voir en vidéo sur Futura]

[coussin]

Décrivez plus votre problème. Si V est fini partout et que g(theta) diverge, forcément un autre terme compense.

[invite7b8b25cd]

Bonjour,
Tu peux nous donner plein de ce problème qui concerne cette équation différentielle?

[coussin]

http://en.wikipedia.org/wiki/Spheric...ical_harmonics : Là, y a des sin(theta) en dénominateur. Néanmoins, tout ça est standard et reste fini partout.

[invite9f90c9cc]

La page de coussin contient exactement l'equation qui me pose probleme : la 4eme du chapitre Laplace's spherical harmonics. Dans un seul des cours que je possede, il est fait mention du probleme, e il est dit qu'on retire theta=0 et theta = 180° du probleme a cause de ce denominateur, rien de plus.

[coussin]

Tu confonds l'equa diff et sa solution… Il y a énormément d'equa diff contenant des singularités (la plus célèbre étant peut-être l'eq de Schrödinger avec un potentiel Coulombien) mais les solutions à ces equa diff sont elles belles et bien finies à ces points.
Ici, ta fonction g(theta) est fini en ces points (puisque ce sont des polynômes de Legendre)

[invite9f90c9cc]

Ok ! Donc puisque je sais que les solutions à cette equation differentielle sont les fonctiones de legendres, elles sont bien definies en 0. Il semblerait néanmoins que le probleme ne soit pas trivial, et qu'une reponse rigoureuse a cette question fasse inteervenir un developpement limité je crois.

[invite76543456789]

Salut!
Ca vient de ce que tes coordonnés sphériques ne sont pas en tout rigueur définies sur tout l'espace, tout comme les coordonnées polaires ne sont pas definies sur tout le plan, mais le plan "fendu".

Il y a des zones où elles ne marchent pas (tu vois bien que si la co-lattitide est nulle, alors la longitude peut valoir n'importe quoi). Il faut enlever au moins 2 demi axes de coordonnées.