Centre de masse d'une tige

[invite7feacca9]

Bonjour à tous, j'ai un petit soucis au niveau du calcul du centre de masse d'une tige non homogène.

J'ai une tige de longueur L et de densité linéique D=ax proportionnelle à x.
j'applique xG=S(xdm)/Sdm avec dm=Ddx

j'ai xG=S(ax²dx)/S(axdx) avec S qui est l'intégrale de 0 à L car je ne sais pas comment faire pour mettre le signe intégrale

Finalement on a xG=2/3(aL³/aL²)=L*2/3

Mais lorsque j'applique la formule de mon professeur qui est M*xG=S(xdm) qui est logique car S(dm)=M la masse de la tige

Je trouve
MxG=S(xdm)=S(ax²dx)=aL³/3

logiquement je devrais trouver xG=2*2/3 comme précedemment mais le problème est que je ne trouve pas cela; je me trompe sans doute pour le M
Je fais M=D*L=aL*L=aL²

Mais avec ceci j'ai maintenant xG=L/3 et non xG=2L/3. Je trouve la méthode du professeur plus rapide mais dans le cas de la tige je ne trouve pas pareil...

J'avais essayé avec un hémisphère homogène et je trouve pareil dans les 2 cas.

Où est mon erreur??????
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[phys4]

J'ai une tige de longueur L et de densité linéique D=ax proportionnelle à x.
j'applique xG=S(xdm)/Sdm avec dm=Ddx

j'ai xG=S(ax²dx)/S(axdx) avec S qui est l'intégrale de 0 à L car je ne sais pas comment faire pour mettre le signe intégrale

Finalement on a xG=2/3(aL³/aL²)=L*2/3


Je fais M=D*L=aL*L=aL²

Mais avec ceci j'ai maintenant xG=L/3 et non xG=2L/3. Je trouve la méthode du professeur plus rapide mais dans le cas de la tige je ne trouve pas pareil...

Bonjour, la formule mise en gras, n'est pas exacte : la masse de la tige n'est pas le produit de sa longueur par la densité maximale, mais la moitié de cette valeur :


Au revoir.

[invite7feacca9]

Je me doutais qu'il y avait un facteur 2, mais pourquoi on prend uniquement la moitié de la masse?
la masse est par définition la densité linéique fois la longueur n'est ce pas?

[phys4]

Bonsoir,
Le terme aL représente la densité maximale en extrémité de la tige.

La densité moyenne est la moitié de la densité maximale puisque la densité varie linéairement
de 0 à une extrémité jusque aL à l'autre.
Il est donc normal que la densité moyenne soit la moitié de la densité max.

[A voir en vidéo sur Futura]