Calcul de mécanique statique avec des poulies

[EspritTordu]

Bonjour,

Voici un schéma d'un montage avec des poulies. Comment déterminer la valeur des forces que chaque rectangle subit?
Est-ce que les deux rectangles ont la même force, se déplacent-ils à la même vitesse? Est-ce que l'interdistance d est constante?

Les deux rectangles n'ont qu'un seul degré de liberté de translation. La ligne verte, simple épaisseur, est le système de poulies où chacune d'entre elles est symbolisée à chaque changement de direction du tracé. Les poulies sont fixées au bâti. L'angle du câble et du rectangle R1, au sommet A, est de 45°.
Les rectangles bleu R1 et rouge R2, sont des masses indéformables, de masse négligeable de 1 kg. Les rectangles subissent des efforts extérieurs F1 et F2 opposés d'une valeur symbolique de 100N chacun.
Selon une simulation dynamique (et non statique) avec un programme, les deux rectangles se déplacent vers la droite, la distance d les séparant se réduisant...

Voici mon raisonnement :
Pour R1 :
R1 subit, entre autre, une force due au câble de la poulie. Dans la mesure qu'une poulie fixe ne change que la direction de la force, l'effort sur la câble au point A est celui exercé à l'autre extrémité du dit câble , soit l'effort sur R2, F2=-100N. Donc en A, la force que subit R1 suit AC> et vaut 100 N. Dans la mesure que seule la valeur sur x nous intéresse (R1 ne peut que se translater sur x et est indéformable), selon le cosinus de 45° (~0.7), on a donc une force F(CA)x=-100*0.7=-70N . Cette force "freine" R1, puisque F1 et F(CA)x sont opposées. On peut résumer que R1 subit une force sur x de F1-F(CA)x=100-70, donc FR1=30N.

Pour R2:
C'est ici que je doute particulièrement... R2 subit un effort du câble du système de poulie aussi. Cet effort est celui que F1 induit au point A. A ce point, la force sur x est celle de F1=100N. Sur le câble, suivant AC et ayant donc un angle de 45° avec R1, l'effort transmis est de 100/0.7=140N selon l'axe AC. Est-ce juste de dire que l'effort transmis par le câble, jusqu'au point B est alors de 140N? Probablement pas : si en B le câble exerce une force de +140N, on conclut, suivant un raisonnement similaire au précédent, à ce que R2 est une FR2=-100+140=40 N? La distance d s'élargit au lieu de se rétrécir???

Merci d'avance pour m'éclairer sur mon erreur s'il vous plaît!

rces

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[phys4]

Bonsoir,

Si je comprends votre schéma, le rectangle R1 tire le câble en biais, alors que R2 exerce une traction dans la direction du mouvement.

Votre second raisonnement est juste, le déplacement du câble permet une course plus grande pour R1 que pour R2 et le déplacement se fait vers la droite ce qui diminue la distance entre les rectangles.
Pour expliquer la force en R1 plus grande que la force appliquée, il faut faire intervenir la force due au rail de guidage qui impose un déplacement horizontal.

[EspritTordu]

Le premier raisonnement est erroné?

La course est plus longue pour R1 à cause de l'allongement du câble et son changement d'angle?

Si l'ensemble de mon raisonnement est juste...(?), je suis surpris que cela ne donne pas de résultat symétrique.

Selon la simulation, la force semble (je dis cela avec beaucoup de réserve dans la mesure qu'il s'agit alors plutôt d'une étude dynamique faisant entrer les masses) plus petite sur R2 que sur R1, à l'inverse
de ce que je propose?

[EspritTordu]

Si CDE ne sont plus sur un bâti, mais une pièce mobile unique, de masse négligeable, translatant sur x seulement, cette dernière se déplace alors à l'opposée vers la gauche avec une force transmise par les poulies sur x de FR1+FR2 soit 70N selon mes données précédentes?

[A voir en vidéo sur Futura]

[phys4]

Le raisonnement le plus simple sera sans doute de comparer les modifications de longueur de câble pour un petit déplacement des rectangles.

Vous en déduirez que pour un déplacement du câble donné, R1 se déplace plus vite que R2, donc c'est R1 qui donne la force la plus grande.
La force F1 produit une réaction du rail de guidage perpendiculaire de 100N également qui équilibre la composante verticale de tension de câble. La tension totale du câble en R1 serait donc bien de 140N pour R2 bloqué.

Pas de difficulté pour R2.

[EspritTordu]

Je peine à comprendre : je calcul en statique que la force R1 est plus importante que R2, vous concluez qu'en dynamique ces mêmes forces donnent un ordre opposé?

[phys4]

Je ne me suis intéressé qu'au raisonnement statique, qui permet d'en déduire le sens de déplacement.

Pour un raisonnement dynamique, il faut écrire les accélérations des rectangles, et les utiliser pour résoudre l'équation de la tension du câble, qui sera ni 140N, ni 70N.

Prochain message avec la réponse.

[phys4]

Après deux jours sans réponse, je pense qu'il y a prescription. Je donne la solution complète pour les lecteurs curieux.

Nous avons vu qu'en statique, avec R2 bloqué, la tension du fil serait de 140N. Avec R1 bloqué, la tension serait de 100N.

La réponse exacte en dynamique est intermédiaire entre ces deux valeurs.
Pour la trouver, nous supposons que R1 a une accélération initiale a₁ et R2 une accélération a₂.
La liaison par les poulies implique que

La tension du fil, vu de R1 vaut

Vu du coté R2, elle vaut
La relation entre les accélérations permet d'écrire
soit

Cela nous donne a₂ = 13,807 et a₁ = 19,526 m.sec^-2
La tension du fil vaut donc T = 113,807 N

Ces valeurs ne sont valables qu'à l'instant initial, car le changement d'angle du fil modifie la tension et les accélérations.

[EspritTordu]

Après deux jours sans réponse, je pense qu'il y a prescription. Je donne la solution complète pour les lecteurs curieux.

Nous avons vu qu'en statique, avec R2 bloqué, la tension du fil serait de 140N. Avec R1 bloqué, la tension serait de 100N.

La réponse exacte en dynamique est intermédiaire entre ces deux valeurs.
Pour la trouver, nous supposons que R1 a une accélération initiale a₁ et R2 une accélération a₂.
La liaison par les poulies implique que

La tension du fil, vu de R1 vaut

Vu du coté R2, elle vaut
La relation entre les accélérations permet d'écrire
soit

Cela nous donne a₂ = 13,807 et a₁ = 19,526 m.sec^-2
La tension du fil vaut donc T = 113,807 N

Ces valeurs ne sont valables qu'à l'instant initial, car le changement d'angle du fil modifie la tension et les accélérations.

Cela me scie les jambes : les forces sur les rectangles s'inversent bel et bien ; Au lieu que R2 soit le plus tractant, c'est R1! Moi qui avait mis un angle en me disant que cela affaiblirait la force sur R1 et donc sa traction, me voilà trompé... avec un certain ennui!!!

Pourquoi un tel renversement de valeur entre les deux rectangles? Que faut-il penser, c'est l'inertie du rectangle dont on ne mesure pas l'accélération qui induit une force supplémentaire? Ou plutôt c'est l'inertie du rectangle dont on évalue son accélération qui fait tout changer? Les inerties de R1 et R2 ne s'annulent pas!


Comment trouvez-vous ? Je veux dire pourquoi ne donne-t-il pas de résultat?

[phys4]

Cela me scie les jambes : les forces sur les rectangles s'inversent bel et bien ; Au lieu que R2 soit le plus tractant, c'est R1! Moi qui avait mis un angle en me disant que cela affaiblirait la force sur R1 et donc sa traction

Une traction latérale ne diminue pas la force en effet, elle diminue la longueur tractée : supposez que vous essayez d'arréter une voiture avec un fil de remorque. Si vous vous mettez à 45° sur l'arrière vous devrez développer une force plus grande que si vous êtes juste derrière.
Le rapport des forces est en rapport inverse des longueurs correspondantes.

Comment trouvez-vous ? Je veux dire pourquoi ne donne-t-il pas de résultat?

Pour un déplacement donné du fil de liaison dl, le déplacement de R2 est aussi dl, alors que le déplacement de R1 vaut
Les accélérations sont dans le rapport des déplacements.

[EspritTordu]

Je ne comprends pas pourquoi le cosinus donne un 1/2 en plus? Lorsqu'on veut l'abscisse/ordonné d'un vecteur force /accélération (avec un angle de 45°, m=1) ne prend--on pas le cosinus (ou le sinus) de l'angle)?

[phys4]

Je ne comprends pas pourquoi le cosinus donne un 1/2 en plus? Lorsqu'on veut l'abscisse/ordonné d'un vecteur force /accélération (avec un angle de 45°, m=1) ne prend--on pas le cosinus (ou le sinus) de l'angle)?

En effet, ici il faut appliquer le cosinus de l'angle à la tension du fil et non à la force appliquée.
Je vous conseille de revoir les explications liées au guidage du rectangle sur un rail en x, ce qui rend le problème dynamique unidimensionnel. L'exemple de la voiture tractée est identique car les roues servent de guidage et ont une réaction latérale.

S'il n'y avait pas de guidage forcé, ce serait un problème 2 dimensions et la solution serait différente.
Si quelqu'un trouve une explication très claire, qu'il ne se gêne pas.

[EspritTordu]

hummmm...

Je comprends que le rail absorbe une partie de la force de la tension du fil. Le rail subit une force. Dans les conditions que j'ai définies, utiliser le sinus ou le cosinus n'a pas de distinction finale sur la valeur, puisque les deux fonctions donne le même résultat. Parler de force ou d'accélération est aussi futile, dans la mesure où la masse unitaire permet de confondre les deux. Mais je peine à comprendre pourquoi on peut parler de problème à une seule dimension, alors que la tension du câble induit deux forces, une sur R1 et l'autre sur le rail qui, il est vrai, parce que liée à la masse de la Terre, on peut considérer que le rail absorbe la force- et l'annule.
Pour autant si on avait ce cas de base (voir schéma en fin du message), il me viendrait aussi, pour autant, d'utiliser le cosinus de F pour connaitre Fx, non?

[phys4]

:
Pour autant si on avait ce cas de base (voir schéma en fin du message), il me viendrait aussi, pour autant, d'utiliser le cosinus de F pour connaitre Fx, non?

Une règle simple pour savoir où appliquer le sin ou le cos : sur la force en oblique, et jamais sur Fx et Fy qui sont des projections sur les axes.

[EspritTordu]

En suivant mon cas de base, irait-on dire que fx=f*racine(2)?

[phys4]

En suivant mon cas de base, irait-on dire que fx=f*racine(2)?

Plus exactement, fx=f/racine(2) dans lequel f est la tension du fil.

Ne faites pas de complexe, j'ai mis un temps certain à voir comment faire le choix des axes et la projection.
Le meilleur critère, afin d'être sur du résultat, était de comparer les déplacements de R1 et R2 pour un même déplacement du fil. Il y a amplification du mouvement pour R1 donc augmentation de la force de ce coté pour conserver le travail d'un petit déplacement.

[EspritTordu]

Oui, effectivement je corrige Fx=F/racine(2)... Mais le moteur de la simulation donne cette fois-ci plutôt selon le cosinus. Il faut être prudent avec les simulations (notion de masse de frottement sec, imprécision d'algorithme qui font varier les résultats), mais si f=10 alors fx tombe vers 5 (~7 selon la méthode des cosinus) plutôt que vers 14 (méthode racine(2)). On retrouve le /2!

En fait cela remet en cause, une chose fondamentale à mon esprit : j'aimerais en avoir une idée précise et claire pour en apprendre. Sur http://fr.wikipedia.org/wiki/Fonctio...om%C3%A9trique (§valeurs remarquables), on présente les valeurs classiques des cosinus, et on présente le cas du racine de 2. Cela m'a rappelé l'astuce selon laquelle la diagonale d'un carré est Racine(2) x longueur du côté du carré (démontré dans le lien à partir de Pythagore). Pour autant je ne comprends plus quand utiliser le lourd attirail des cosinus et quand utiliser simplement le Racine(2). Je veux bien admettre que l'intuition sur les forces peuvent nous guider (ici peut-être), mais cela n'explique pas pourquoi les deux méthodes sont différentes par 1/2... Les mathématiques sont trompeuses???!
C'est presque si l'une des composantes disparaissait, ou se volatilisait des calculs. C'est presque à en venir à penser qu'on s'arrange à modifier les hypothèses, histoire de retomber sur les bons résultats...
Y aurait-il deux méthodes pour connaitre les composantes d'un vecteur?

[EspritTordu]

Que devient , le début du raisonnement, si l'angle initial du câble et du rectangle R1 n'est pas de 45°, mais disons 30°?

[phys4]

En supposant qu'il s'agisse de l'angle a du câble avec la direction de déplacement de R1,R2, la relation devient

a1 cos( a) = a2

C'est la relation inverse des forces projetées sur le même axe.

Cette relation serait à utiliser si l'on désire calculer comment évolue les accélérations.

[EspritTordu]

En supposant qu'il s'agisse de l'angle a du câble avec la direction de déplacement de R1,R2, la relation devient

a1 cos( a) = a2

C'est la relation inverse des forces projetées sur le même axe.

Cette relation serait à utiliser si l'on désire calculer comment évolue les accélérations.

Selon cette formule, ne retrouvons-nous pas le problème du 1/2 de surplus si l'angle est de 45°...?

[phys4]

Selon cette formule, ne retrouvons-nous pas le problème du 1/2 de surplus si l'angle est de 45°...?

Désolé, je n'ai pas compris ?

[EspritTordu]

Oupss, Non en effet, après calcul tout s'annule, et on retrouve, même à 45°, l'équation a1=racine(2)a2, ...


Je renonce à comprendre pourquoi correspond à l'inverse des projections sur les axes et pourquoi cette dernière n'est pas bonne dans ce cas de lecture et seulement celui-ci...

[mécano41]

Bonjour,

Ci-joint un document (calcul manuel + appli.) qui ne fait, ni plus, ni moins, que ce que t'a expliqué Phys4 mais en généralisant la position par rapport à l'origine.

Je l'ai fait à ma manière ; je ne sais pas si cela peut t'aider...

Nota : au-delà (vitesse f(t) et déplacement f(t)...), vu l'allure de l'accélération f(x), je ne sais pas faire

Cordialement

[EspritTordu]

Merci beaucoup mécano41 de remettre les choses au clair dans mon esprit avec une résolution du problème. En fait, je n'ai pas à m'en faire finalement sur les composantes et leurs projections - je broyais du noir pour rien donc ; et en effet, les accélérations sont démontrées satisfaisant ! Quant à ensuite trouver les vitesses et les déplacements suivant t, il faudrait sans doute s'appuyer sur un logiciel de calcul formel... Reste que pour l'essentiel, l'espace entre R1 et R2 se réduit, et je me l'explique par les inerties qui ne s'annulent pas, sont toujours positives alors que les forces mises en jeu sont elles opposés. Jamais les inerties seront opposées dans ce montage. Ce sont ces inerties qui entraînent la fermeture de l'espace R1 et R2. Si on avait une masse négative sur l'un des rectangles ( et des masses adéquatement choisies et nécessairement différentes alors en fonction de l'angle a), alors elles s'annulent et l'espace grandit... mathématiquement!!

[mécano41]

...Reste que pour l'essentiel, l'espace entre R1 et R2 se réduit, et je me l'explique par les inerties qui ne s'annulent pas, sont toujours positives alors que les forces mises en jeu sont elles opposés

Pas du tout, c'est purement géométrique ; tant que le câble est tendu, le corps 1 se déplace plus que le corps 2 donc s'en rapproche. Les forces et les inerties n'entrent pas en ligne de compte. (Attention : dans l'application, j'ai mis un nota sur le signe des forces mais en réalité, le cas avec des forces de même sens n'est pas traité. Dans ce cas, le câble pourrait ne plus être tendu et le problème serait tout différent)

Cordialement

[EspritTordu]

Pas du tout, c'est purement géométrique ; tant que le câble est tendu, le corps 1 se déplace plus que le corps 2 donc s'en rapproche. Les forces et les inerties n'entrent pas en ligne de compte. (Attention : dans l'application, j'ai mis un nota sur le signe des forces mais en réalité, le cas avec des forces de même sens n'est pas traité. Dans ce cas, le câble pourrait ne plus être tendu et le problème serait tout différent)

Cordialement

Si le corps 1 se déplace plus vite que le 2, n'est-ce pas parce qu'il à plus d'accélération? Dans les équations, si les m*a sont nuls, alors cela ne conduit-il pas à ce que finalement l'interdistance d s'agrandit?

[mécano41]

Bonjour,

N'oublie pas que depuis le début (voir messages de phys4) on considère que le câble est toujours tendu (donc T1 = T2 >0) et que les accélérations sont calculées en partant de cette hypothèse ; donc si les corps mobiles se rapprochent ou s'éloignent c'est dû au fait que le câble est tendu et garde une longueur constante (voir Yb en fonction de Ya). Sinon, ce n'est plus le problème de base...

Cordialement

[EspritTordu]

Si on commence avec a =45°, on a la marge jusqu'à 90°? Je veux dire que d peut s'agrandir tout en tendant le câble de liaison. Si r2 avance plus que r1, le câble demeure tendu, non?

[EspritTordu]

Comment faire pour avoir d constant, à l'exception du cas statique, est-ce possible ou non?

[mécano41]

Bonjour,

Je ne vois pas trop où tu veux en venir...

Si tu veux voir comment varie la distance d, tu peux étudier la fonction d=Xbo+RACINE(Xa^2+(Yc-Ya)^2)-(Yc-Ya)-Xa. A noter que Xbo et (Yc-Ya) sont des constantes (si tu ne sais pas faire, demande aux matheux car moi ce n'est pas mon fort...)

Sinon tu peux le voir dans l'appli. que je t'ai donnée.

- en G11 tu écris =Xb-Xa
- tu étires la formule jusqu'en G111
- dans le graphique de Xb f(Xa), tu ajoutes une nouvelle série avec les mêmes abscisses que l'autre courbe et les valeurs en G11:G111 pour les ordonnées

Tu vois que la courbe est toujours décroissante donc d diminue. Pour voir plus loin tu peux augmenter les bornes :

- en B11 tu mets -10
-en B111 tu mets 10

Tu vois que la courbe a Ox pour asymptote ce qui est logique puisque l'angle devenant très faible, Xb tend vers Xa

Cordialement