[traitement du signal] Analyse spectrale

[invite959983b3]

Bonjour à tous,

Je bloque sur un exercice concernant l'analyse spectrale dont le sujet est :

L'analyse spectrale par transformée discrète de Fourier d'un signal sinusoidal de fréquence F0=176Hz est effectuée.
La fréquence d'échantillonnage du signal est Fe=10000Hz. La durée du signal est de N=1000 échantillons.

1) Quelle est la durée (en secondes) du signal ?
- Je pense que la réponse est 0.1s, car t(s)=N/Fe=1000/10000 ?

2) Le spectre d'amplitude laisse apparaitre 2 pics d'amplitudes importantes et plusieurs pics d'amplitudes faibles. Expliquer pourquoi.

3) Le premier pic correspond à la k = 18ème valeur d'amplitude. Quelle est la fréquence estimée?

4) Donner l'erreur maximale commise sur l'estimation de la fréquence.

5) Donner la valeur de N nécessaire pour avoir une précision inférieure à 2Hz.

6) Expliquer comment cette précision peut être améliorée en ne modifiant ni N, ni Fe.

Merci par avance pour vos réponses.
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[LPFR]

Bonjour et bienvenu au forum.
Dans ce forum on ne fera pas vos devoirs à votre place. Mais si vous nous dites ce que vous avez fait et où est ce que vous bloquez, on essaiera d vous aider.
Pour la modération.

[invite490b7332]

La seule question interessante et un peu subtile est la 6.
Il faut dans ce cas utiliser l'information qu'apporte le deuxième pic.

[invite959983b3]

Je ne vous demande pas de faire mes "devoirs" sans devoir réfléchir, cela dit je suis vraiment bloqué..

Pour la question 2, j'imagine que si il y a 2 pics, c'est que la sinusoide est du type x(t) = X0 + X1sin(F0t) + X2sin(2F0t) ?

Les plus petit pics pourraient représenter du bruit dans le signal lorsque celui ci n'est pas "parfait"?

[A voir en vidéo sur Futura]

[LPFR]

Re.
Non. L'énoncé vous dit que le signal est sinusoïdal. Donc, une seule sinusoïde.
Les deux pics sont une conséquence de la méthode de calcul: le nombre d'échantillons limité et la durée du signal limité.
C'est une question de cours que vous devez retrouver dans vos cours.
A+

[invite959983b3]

Ah oui, exact c'est une symétrie ...

[phuphus]

Bonjour,

la question 3 est problématique, car elle suppose que le premier coefficient renvoyé par la TFD n'est pas la composante continue. Donc soit tu considères la question comme non erronée et il faut donc exclure la composante continue de l'exercice, soit tu considères que le premier coef renvoyé par une TFD est toujours la composante continue et il faut remplacer à la question 3 k=18 par k=19.

Pour la question 6, il y a au moins 3 réponses possibles.

[invite490b7332]

Pour la question 6, il y a au moins 3 réponses possibles.

Tant que cela! tu refais une ou des mesures alors...

[invite490b7332]

L'erreur statistique est donnée par
Ici les contraintes portent justement sur ces deux quantitées. Forcément cela limite un peu.
Sinon re échantilloner le signal n'est pas pour moi une solution valable...

Bon j'espère que ce coup ci Phuphus tu vas nous donner la solution sans attendre 6 mois!

[invite959983b3]

Mais du coup, je comprends pas trop la question 3), comment je peux faire pour calculer la fréquence ? Il y a une formule pour faire ça ?
Je suis désolé mais je suis un peu perdu sur cette exercice...

[phuphus]

Bonsoir jean351,

Une transformée de Fourier discrète (TFD) est une projection sur une base de cosinus. As-tu dans ton cours la formule de la TFD ? Si oui, il faut juste remplacer dans cette formule k par 18, et voir de quelle fréquence on parle pour le cosinus concerné.

Sinon, as-tu vu les séries de Fourier ?

[phuphus]

Bonsoir,

L'erreur statistique est donnée par
Ici les contraintes portent justement sur ces deux quantitées. Forcément cela limite un peu.
Sinon re échantilloner le signal n'est pas pour moi une solution valable...

Bon j'espère que ce coup ci Phuphus tu vas nous donner la solution sans attendre 6 mois!

Je ne comprends pas bien ta formule. Si désigne la période d'analyse, alors vaut 1, non ? Cet représente l'erreur statistique sur quoi ?

Et en effet, il ne s'agit pas de rééchantillonner, puisque l'énoncé l'interdit. Donc exit le Zoom FFT.

[invite959983b3]

Oui, j'ai vu.

La formule est : k * Fe/N avec k qui représente le nième pic, dans cet exemple ça donne: 18 * 10000/1000=180Hz.

[phuphus]

Re,

donc du coup, où en es-tu ?

[invite959983b3]

Bah, j'ai compris et terminé l'exercice pas sans difficultés mais c'est bon, merci !

[invite490b7332]

Bonsoir,


Je ne comprends pas bien ta formule. Si désigne la période d'analyse, alors vaut 1, non ? Cet représente l'erreur statistique sur quoi ?

Et en effet, il ne s'agit pas de rééchantillonner, puisque l'énoncé l'interdit. Donc exit le Zoom FFT.

L'erreur statistique est aussi plus connue sous la vulgate : Principe d'incertitude d' HEISENBERG.
L'incertitude en fréquence est inversement proportionelle à l'incertitude sur le temps.