moment d'inertie

[frankcity]

bonsoir,
svp j'aimerais que vous m'aidiez a faire l'exo suivant:

On considere un cylindre de hauteur h et de rayon R.
Calculer le moment d’inertie de ce cylindre par rapport aux axes Gx,Gy,Gz.ou G est le centre d’inertie du cylindre.

voici comment j'ai raisonné
Soit I moment d’inertie
On a IGx=double integalle de (ycarre +xcarre) IGx etant le moment d’inertie par rapport a Gx .ici j’ai pris x compris de o a R et y compris de ? a ?
ensuite IGy =double integalle de (zcarre +xcarre) IGy etant le moment d’inertie par rapport a Gy. ici j’ai pris x compris de o a R et z compris de o a H
puis IGz =double integralle de (ycarre +xcarre) IGz etant le moment d’inertie par rapport a Gz. ici j’ai pris x compris de o a R et y compris de o a H
SVP j’aimerais savoir si mon raisonnement est bon ?
si oui quels sont les bornes par rapport a x,y et z?
merci de m'aider
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[Jeanpaul]

C'est bien de revenir aux définitions mais il faut quand même faire attention, notamment que z varie de -h/2 à +h/2 et non de 0 à h.
Ensuite, ce machin étant plein de symétries, on peut ruser un peu.
Déjà l'inertie Gz est dans ton cours : c'est 1/2 M R² et c'est la somme des intégrales de x² et y² qui sont évidemment égales, donc l'intégrale de x² c'est 1/4 M R².
Ensuite, l'intégrale de z² : l'élément de volume sera un petit disque d'épaisseur dz et de masse dM = M/h dz et tu calcules l'intégrale de -h/2 à + h/2 de z² dM.
Ca te donnera Gx et Gy en 3 lignes.

[frankcity]

merci,svp j'ai encore quelques questions
pourquoi z varie de -h/2 à +h/2 et non de 0 à h.
comment fait on pour trouver dM = M/h dz ?

[Jeanpaul]

L'origine des axes, c'est le centre de masse, donc le milieu de la hauteur, ça change le résultat.
Ensuite, si on prend un disque découpé dans le cylindre (une rondelle de saucisson), si sa hauteur est dz, alors sa masse sera M/h dz (simple proportionnalité)/

[A voir en vidéo sur Futura]

[frankcity]

bonsoir,svp je n'arrive pas a demontre que le moment d'inertie Gz vaut 1/2 MR²
voici comment j'ai essayer de faire (soit j un element e surface)
on a M=2piRh j avec 2piRh represantant la surface du cylindre
pour le moment d'inertie Gz j'ai pris qu'elle vaut zcarre j2hpi dr avec r compris de 0 a R .je n'ai pas pu ecrire z en fonction de r d'ou je suis bloqué

[Jeanpaul]

Le fait que le moment d'inertie d'un disque autour de son axe vaut 1/2 M R² traîne dans tous les livres.
L'idée est de découper le disque de hauteur a, de masse volumique rho en couronnes entre les rayons r et r + dr. La masse de cette couronne sera 2 pi r dr a rho et son moment d'inertie dI = r² dm = 2 pi r^3 a rho qu'on intègre entre 0 et R et ça donne bien 1/2 M R²

[frankcity]

merci bien