Détermination d'une matrice d'inertie / moment d'inertie - pour mon TIPE

[invite96a3e5f9]

Bonjour,

Dans le cadre de mon TIPE j'aurais besoin de certaine matrices d'inerties. J'ai trouvé quelques valeurs en cherchant sur internet mais j'aimerais savoir comment on fait pour les déterminer (par l'expérience ou autre...). De plus je ne sais pas si elles sont fiables; donc si je peux moi même les déterminer ça serait pas mal pour mon TIPE.


Le problème c'est que je sors de ma sup' (je suis un futur PSI*; plus que 4 semaines de vacances !) donc je n'ai pas encore abordé cette partie du programme, la notion de matrice d'inertie reste assez flou pour moi. (mon prof de SI m'a un peu expliqué)
Donc si quelqu'un est en mesure et à le temps de m'aider un petit peu je vous donne les composants dont j'aimerais avoir le moment d'inertie: (je vous mets les valeurs que j'ai trouvées)


# Roue de moto (AV/AR) AV[ J1=0.52 kg.m² avec m1=8kg - c'est une 21 pouce ] / AR[ J2=0.57kg.m² avec m2=11kg - c'est une 18 pouce ]
# Moto complète [ J3=29.54kg.m² avec m3=111kg ]
# Pilote [ J4=12.68kg.m² avec m4=70kg ]
# Moto+pilote [J5=52.08kg.m² avec m5=181kg ]

Merci d'avance, François
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[invite6dffde4c]

Bonjour.
Vous avez les formules de calcul dans wikipedia.

La bonne nouvelle est que vous n'avez probablement pas besoin de calculer tous les éléments de la matrice et que probablement les moments d'inertie autour des axes principaux (la diagonale de la matrice) vous suffiront.

La mauvaise nouvelle est que pour des objets aussi compliqués qu'une moto, les formules n'ont aucune utilité pratique.

Pour ce qui est des moments d'inertie du pilote, c'est encore plus difficile. La masse et la distribution des masses de chaque individu sont différentes de celle des autres. Et de plus cela dépend de la position de l'individu.

Expliquez-nous exactement votre problème pour voir si on peut vous conseiller.

Au revoir.

[invite96a3e5f9]

# Oui, mon prof m'avait expliqué que seul les coefficients diagonaux étaient à déterminer.

# Merci, je connaissais l'existence de ces formules mais je ne m'y étais jamais plongé et en effet je m'aperçois que du fait de la complexité de mes objets (non homogénéité de la masse, du remplissage volumique...) je ne peux appliquer la formule.

# Pour vous expliquer mon problème, dans le déroulement de mon TIPE je souhaite modéliser par orinateur (avec Maple par exemple) un saut en motocross au cours duquel le pilote freine (ce qui modifie le comportement de la moto, en fait c'est le sujet de mon TIPE).
J'aboutis à une équation où ces moments d'inertie apparaissent. (J'aimerais bien vous donnez la forme de cette équation mais je ne sais pas comment rentrer les formules ) En fait cette équation me permet dans une première partie de démontrer le comportement que la moto à visuellement et pour moi je penses qu'elle va certainement me servir pour la modélisation car elle régit la variation de l'angle d'inclinaison (dérivé deux fois).

Pour tout vous dire, même si j'avais ces moments d'inertie, je n'ai pas encore la solution pour une modélisation complète (j'y travail )

Alors peut-être qu'il existe une autre solution plus simple (je suis preneur!) mais de toute manière la détermination de ces matrices ne pourraient que bonifier mon travail. Pour finir, mon prof m'avait brièvement parlé que si on faisait subir des petites oscillations à la moto on pourrait les avoir. Je suis donc vraiment à l'écoute de toute solutions même si je dois pendre ma moto à un fenwick!!!

Merci d'avance.

[invite6dffde4c]

Bonjour.
Des que la moto n'a plus de contact avec le sol, son centre de gravité (moto + pilote) décrira la parabole habituelle d'un projectile. De plus sont moment angulaire (=cinétique) se conservera.

Si la moto part avec un mouvement de rotation autour de son axe transversal horizontal (pique du nez ou se cabre), elle tournera autour de son centre de gravité. Ce mouvement de départ peut être produit par l'effet de la rampe si elle n'est pas droite et par le couple exercé par le sol pendant que seule la roue arrière appuie sur la rampe. On reviendra plus tard.

La moto part de toute façon avec un moment angulaire: celui des roues qui tournent au moment du décollage. Si le pilote freine, le moment angulaire se conserve et ce sera toute la moto avec les roues qui se mettra à tourner (dans le même sens que les roues) de façon à conserver le moment. Donc, si le pilote freine, la moto piquera du nez. À l'inverse, si le pilote accélère, la roue arrière tournera plus vite et la moto se cabrera.

Donc, on peut écrire:

où les J sont les moments d'inertie (roues, moto sans les roues, moto et pilote) et les oméga les vitesses angulaires.
Vous remarquerez que bien que le moment angulaire soit un vecteur, je ne traite qu'une seule de ses composantes. Je suppose que la moto quitte le sol avec cette unique composante. C'est à dire, qu'elle ne tourne que dans le sens cabrer/piquer.

Bien sur, dans la réalité il est possible que les motos aient autres composantes, surtout pencher à gauche ou à droite. Mais les pilotes corrigent automatiquement cette composante en tournant le guidon. On voit souvent els motos en l'air avec le guidon "de travers".

On peut traiter cette correction. Mais je pense que cela dépasse le cadre de votre TIPE.

Si vous avez besoin d'explications de base, je pense que vous trouverez utile ce fascicule (7 Mo):
http://www.sendspace.com/file/ttrwye Cliquez sur: Click here to download from freespace.


Il faut donc connaître les valeurs des moments d'inertie autour de l'axe horizontal traverse. Or, cela dépend de la moto et du pilote. Comme il s'agit d'un TIPE, ce n'est pas grave si les valeurs que vous utilisés ne sont pas exactes. Il suffit qu'ils soient représentatifs. On pourrait aussi les mesurer, mais cela vaut au moins un autre TIPE distinct. Utilisez donc, les valeurs que vous avez trouvées.

Comme je vous ai dit plus haut. Suivant la forme de la rampe de départ, la moto peut avoir acquis une rotation au départ. Si la rampe est concave, la moto tournera dans le sens "cabrer". Mais si la rampe est droite ou convexe, la moto tournera dans le sens piqué.

Commencer par étudier ce qui arrive à une moto qui part sans rotation. Il sera toujours temps de compliquer la situation en calculant ce qui arrive si la moto tourne au départ et plus difficile, comment elle acquiert cette vitesse de rotation.
Au revoir.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite96a3e5f9]

Bonjour, je m'excuse pour le temps écoulé entre votre réponse et la mienne.

# Je tiens vraiment à te remercier LPFR, déjà pour ton cours de méca puis pour ta vision des choses. En effet il faut que je me recentre sur l'étude du saut et laisser de coté la détermination de ces matrices ainsi que les effets dû au guidon que l'on tourne.

# Merci, la conservation du moment cinétique est une solution efficace pour expliquer clairement le phénomène. Avec mon prof on avait démontré autrement le fait que la moto pique du nez quand on freine de l'arrière, c'est plus long mais clair. En fait je tombe sur l'équation simplifié:



où

est le regroupement de moments d'inertie (constante)

correspond à l'angle de rotation entre la base lié au cadre de la moto et la base lié à la bosse

est la vitesse de rotation de la roue arrière

le moment d'inertie de la roue arrière

On comprend alors ce qui se passe lorsque l'on joue avec le signe de la dérivé de (négatif si on freine...)


# Maintenant le problème sur lequel je me penche est cette modélisation du saut sur ordinateur, avec Maple de préférence, sans tenir compte du moment d'inertie dû à la bosse comme tu m'a parlé. (pour le moment)
Tu dis que le centre d'inertie conserve la même trajectoire que sans le phénomène de freinage?
J'essaye de mettre le problème en equation en utilisant celle ci dessus mais je crois que je manque encore d'outils et je patine un peu...
Je suis preneur de vos conseils

PS: Il faudrait peut-être que je recrée un autre sujet?

[invite6dffde4c]

Bonjour.
Le sujet est le même. Donc, on reste dans la même discussion.

Comme je vous ai dit, une fois que la moto quitte le sol, son centre de masses suit une trajectoire de chute libre (projectile), si on néglige la résistance de l'air.
De plus, son moment angulaire reste constant. Si on néglige aussi des asymétries aérodynamiques de la moto et le pilote qui pourraient créer un couple
Vous pouvez donc séparer l'étude en deux aspects distincts: le mouvement du centre de masses et la rotation de la moto.

Je pense aussi qu'à votre niveau (vous ne faites pas une thèse) vous pouvez négliger les effets aérodynamiques. Le temps de vol est suffisamment court pour le justifier. Et le temps que vous aurez sera, lui aussi, suffisamment court.

Maintenant c'est à vous de décider la complexité du problème que vous voulez simuler.
- Vous pouvez imaginer que le pilote ne fait rien et que la moto continue sa trajectoire parabolique en continuant à tourner autour d'un axe horizontal perpendiculaire au mouvement, à vitesse angulaire constante. C'est le cas le plus simple.
- Vous pouvez calculer la vitesse angulaire créée par le mouvement dans la rampe (qui peut être convexe, plane ou concave) et par le fait que la roue avant quitte la rampe un peu plus tôt que la roue arrière.
- Vous pouvez faire freiner ou accélérer au pilote.
- Finalement, vous pouvez imaginer que l'axe de rotation de l'ensemble n'est pas horizontal au départ et que le pilote est obligé de tourner le guidon pour redresser la machine. C'est, je pense, le cas le plus courant, quand on regarde la position des guidons en l'air.

C'est à vous de décider suivant le temps pour vous pourrez consacrer à ce travail (sans négliger les autres matières). Et c'est de toute façon un pari, car vous ne pouvez pas vraiment prévoir le temps que cela vous demandera: vous n'avez pas assez d'expérience. Mais méfiez-vous, quand on est jeune on a, en général, les yeux plus gros que le ventre.

Je ne pourrais pas vous aider ni avec Maple ni avec d'autres logiciels de calcul. Je ne les ai pas pratiqués.
Au revoir.

[invited9b9018b]

Bonjour,

Pour les valeurs des moments d'inertie, je crois que Solidworks peut les calculer pour une pièce ou un assemblage donné. Peut être que d'autres logiciels de CAO peuvent également le faire.
Vous pouvez essayer de dessiner (ne serait ce que grossièrement) une moto et des roues et faire calculer les moments d'inertie au logiciel (voir télécharger un modèle plus réaliste sur internet, si vous en trouvez)
Laissez moi tester cette solution avec des corps dont l'expression des moments d'inertie est connue, je vous dirai si ça semble fonctionner (c'est-à-dire si solidworks donne des résultats satisfaisants)

A+,

[invited9b9018b]

Re,
j'ai testé, ça à l'air de fonctionner, vous pouvez donc envisager cette méthode (d'autant plus que faisant de la SI, vous devez savoir vous servir d'un tel logiciel ?)

A+,

[invite96a3e5f9]

Bonsoir,

J'avais prévus d'étudier les effets du frein arrière et de l'accélération (ce que je penses suffisant). Au pire si j'ai le temps (et les outils) je pourrais aussi voir les effets dû au guidon.


Pour l'étude d'un saut sans que le pilote n'agisse, sans frottements, sans moment d'inertie initial on a: (j'expose mon idée)

# L'équation de la trajectoire du centre d'inertie:



Avec h la hauteur de la bosse
l'angle que fait la bosse

# Maintenant je décide d'ajouter 2 points particuliers de la moto, celui de l'axe de la roue avant et l'autre de la roue arrière. Comme cela, lorsque la moto est au sol, la droite reliant ces deux points est parallèle au sol. (le but étant de pouvoir créé un angle pour visualiser le phénomène) Ainsi je me retrouve avec 3 points (que je pourrait relié sur l'ordinateur pour représenter schématiquement la moto tout en rendant bien compte du phénomène) .

# C'est là que j'ai besoin d'aide,
j'ai donc l'équation



où
est le regroupement de moments d'inertie (constante)
correspond à l'angle de rotation entre la base lié au cadre de la moto et la base lié à la bosse
est la vitesse de rotation de la roue arrière
le moment d'inertie de la roue arrière

Et je sépare le saut en 2 phases: = la phase 1 avant le freinage (considéré comme instantané, la aussi une approximation)
= la phase 2 aprés le freinage

Quand je me lance dans de la résolution annalytique, je suis bloqué par des constantes d'intégrations telle que les dérivées de a déterminer...

Je conçois clairement que cela vous prend du temps de m'aider et je vous en remercie.

[invite96a3e5f9]

Pour les moment d'inerties, je te remercie Lucas!
J'en avais entendu parlé mais je ne savais pas si c'était vraiment possible.
Par contre je ne trouve pas de modèles en libre téléchargement mais je vais creuser en contactant les personnes qui font des choses comparable sur Solidworks.
Ou au pire, je les modéliserais grossièrement. Ca montrera aux examinateurs que j'ai creusé la question sans non plus me lancer dans des calculs qui valent un autre TIPE!
Merci beaucoup!

[invited9b9018b]

Je ne saisis pas bien l'objet de votre question. Vous cherchez à déterminer les conditions initiales ?
Si theta est l'angle entre le sol et l'axe liant les deux roues, alors et (pas de mouvement de rotation de la moto au départ)
D'autre part si les roues roulent sans glissement où r est le rayon de la roue..

A+,

[invited9b9018b]

Pour les moment d'inerties, je te remercie Lucas!
J'en avais entendu parlé mais je ne savais pas si c'était vraiment possible.
Par contre je ne trouve pas de modèles en libre téléchargement mais je vais creuser en contactant les personnes qui font des choses comparable sur Solidworks.
Ou au pire, je les modéliserais grossièrement. Ca montrera aux examinateurs que j'ai creusé la question sans non plus me lancer dans des calculs qui valent un autre TIPE!
Merci beaucoup!

Il y a des modèles en libre téléchargement ici, au cas où : http://grabcad.com/library/tag/motorcycle
Pour le coup, ils sont très réalistes

A+,

[invite96a3e5f9]

Il y a des modèles en libre téléchargement ici, au cas où : http://grabcad.com/library/tag/motorcycle
Pour le coup, ils sont très réalistes

Waah! Super je ne connaissais pas ce site Merci!


# Oui, je me suis embrouillé dans les conditions initiales.
En fait je crois avoir une solution pour modéliser le saut décrit ci-dessus: je le décompose en 3 phases, je crée les 3 points précédemment décrit, je garde mon et j'utilise les formules plus haut.
Sachant que tout au long du saut la trajectoire du centre d'inertie n'est pas modifié.

-> Phase 1
J'aboutis à

-> Phase 2
Je modélise la décélération de la roue arrière, tel que (je re verrais ce modèle en exponentiel après quelques expériences je penses )
J'ai alors

-> Phase 3
et

Je n'ai plus qu'a jouer avec Maple (pas si évident là! )
Je veux bien taper tout les calculs si quelqu'un est intéressé
Et je reste à l'écoute d'autre proposition de résolution!

Ps: Comment tu mets le "." sur ton Lucas??

[invited9b9018b]

Bonjour,

Pour la phase 2, je ne saurais vous dire quelle loi suit la décroissance de . (Avez vous des raisons particulières pour proposer une exponentielle ?)
Je ne préfère pas m'avancer là dessus, mais s'il s'avère que le temps de freinage est très court (), puisque , durant cette phase (c'était votre première hypothèse)

On est d'accord pour la phase 3.

Tenez nous au courant de la suite

A+,

EDIT : pour le point, c'est \dot{}

[invite96a3e5f9]

# Pour la loi de décroissance au freinage, j'expérimenterais ça il y en a pas pour longtemps (enfin la je ne suis pas chez moi).

# Oui la phase 2 contredit l'une de mes hypothèses, j'ai été obligé de l'introduire si je veux percevoir une évolution de .
C'est pour ça qu'il doit y avoir des solutions moins "bidouille"...

Je vous tiens au courant dans les semaines qui viennent (le travail sur Maple va pas être facile)

Merci à ceux qui m'ont aidé pour l'instant!

Bye

[invite6dffde4c]

Bonjour.
On n'écrit pas

mais


En physique il n'y a pas des constantes d'intégration: il n'y a pas de primitives. Un intégrale indéfinie n'a pas de sens en physique. Toutes les intégrales se font entre deux bornes bien définies.
Il est vrai que mathématiquement on obtient le même résultat avec une primitive et une constante d'intégration. Mais c'est une astuce mathématique qui demande de bien savoir ce que l'on fait.

Dans votre cas vous intégrez entre la situation 1 et la situation 2. Probablement votre situation 1 est le décollage. Qu'est ce que vous connaissez au décollage ? La position, les vitesses (linéaire et angulaire) et les angles. Il ne vous manque rien. La situation 2 est probablement un point quelconque pendant le vol,

Pour la phase 2, je pense que la décroissance est linéaire: force d'appui des plaquettes constante: force de freinage constant, couple constant.
Mais à moins que le pilote freine très doucement, je pense que l'arrêt de la roue est presque instantané.
Au revoir.

[invite96a3e5f9]

Excusez moi pour l'erreur d'homogénéité.

Justement, mon problème est que si je n'introduit pas la phase 2 je ne vois pas comment rendre compte du qui évolue.
A part votre PDF je n'est jamais eu de cours sur les moments d'inerties, donc j'essaye de trouver des astuces...
De toute façon je peux laisser ce problème de côté (le coté modélisation de mon TIPE) et y revenir dès que j'aurais traité la partie correspondante l'année qui arrive.
Vous m'avez déjà bien avancé sur la question, je vous en remercie.

[invite6dffde4c]

Re.
Pour les points au dessus c'est \dot et \ddot pour les doubles points (dérivé seconde).

Une fois la moto en l'air thêta reste constante s'il n'y avait pas de vitesse de rotation au départ, ou évolue comme wt s'il y avait une vitesse de rotation au départ.
Par contre, quand on freine ou on accélère, ce qui se conserve est le moment angulaire. Et la formule que le décrit est celle du post #4. Notez que les w, peuvent varier. Notamment si on freine ou on accélère. Ce n'est pas la peine de s'emmquiquiner avec des équations différentielles quand on n'a pas besoin, sauf si ce que l'on veut est impressionner la galerie.
A+

[invite96a3e5f9]

Mon but n'est pas d'impressionner la galerie, l'intérêt que je porte pour ce sujet (car accro à ce sport) dépasse le cadre de la note, ce n'est que du manque de recul sur la notion.


En utilisant la relation du post #4: (reprenez moi si je me trompe)



Avec:
"R" pour désigner la roue arrière
"m" pour désigner la moto + pilote + roue avant

Ainsi

Avant le freinage (de l'arrière)
et
donc


Après le freinage
donc
et aussi égale à d'avant le freinage (en parlant du omega)

Je trouve alors en égalant:


Si tel est le cas, j'ai enfin mon pour la modélisation ?!

[invite6dffde4c]

Re.
Non.
Après le freinage

w'_m est la nouvelle vitesse angulaire.
%ais je ne vois ce que vous voulez dire par "et aussi égale à d'avant le freinage (en parlant du omega)"
Votre formule finale est fausse.


D'autre part, et même si c'est un peu couper des cheveux en quatre, dans le moment d'inertie moto plus pilote, il faut inclure les masses des roues, comme si c'étaient des masses ponctuelles situes sur l'axe des roues.
Même si les roues ne tournent pas, elles contribuent au moment d'inertie de la moto.
A+

[invite96a3e5f9]

Bonjour,

Oui je me suis un peu emballé.

D'autre part, et même si c'est un peu couper des cheveux en quatre, dans le moment d'inertie moto plus pilote, il faut inclure les masses des roues, comme si c'étaient des masses ponctuelles situes sur l'axe des roues.
Même si les roues ne tournent pas, elles contribuent au moment d'inertie de la moto.

Vous avez tout à fait raison de me le signaler merci. Même si au cours de l'année j'aurais l'occasion de reprendre ces calculs avec plus de recul, il vaut mieux être rigoureux tout de suite.

Je recommence,

Avec désignant le système {moto + pilote}
pour la roue arrière
pour la roue avant

On a:

Alors:

soit

Et on peut conclure grâce au fait que


Justement, je n'est pas bien compris pourquoi se conserve.
Et enfin (je dois bloquer bêtement), mais comment le calcul t-on? Il faut passer dans le référentiel barycentrique non?

A+

[invite6dffde4c]

Bonjour.
OK. Je suis d'accord.
Vous trouverez la démonstration que L (moment angulaire) se conserve, en absence de couples extérieurs, dans le chapitre 9 de mon fascicule.
Au revoir.

[invite96a3e5f9]

Super, je vous remercie de m'avoir continuellement remis une bonne piste.

Juste une petite question:
Avec cette formule, on a quand même une vitesse angulaire de la moto avant le freinage alors que la bosse n'y est pour rien. Sauf si

Et vous dites plus haut (moi aussi dans ce que j'ai appelé la phase 1) :

Une fois la moto en l'air thêta reste constante s'il n'y avait pas de vitesse de rotation au départ, ou évolue comme wt s'il y avait une vitesse de rotation au départ.

Est-ce moi qui interprète mal?

[invite6dffde4c]

Re.
Oui. Vous mélangez le moment angulaire de l'ensemble (moto + roues) avec le moment dû à la rotation de la moto toute seule. La moto ne tourne pas mais se roues tournent. Donc, l'ensemble a un moment angulaire mais qui n'est du qu'à la rotation des roues (comme vous l'avez écrit dans la formule).
A+

[invite96a3e5f9]

D'accord,
Mais finalement, si je modélise un saut sans que le pilote n'intervienne et sans vitesse de rotation au départ, à la réception la moto ne fera pas le même angle qu'au départ ?

[invite6dffde4c]

Re.
Oui. C'est bien ça. Le roues continuent à tourner à vide mais la moto garde son orientation.
A+

[invite96a3e5f9]

Encore merci! J'ai tout ce qu'il me fallait!
Au plaisir de vous re parler sur un autre sujet.
Et si l'envie vous prend de tester le phénomène sur la moto, contacter moi!

Au revoir.

_hva30

[invite6dffde4c]

...
Et si l'envie vous prend de tester le phénomène sur la moto, contacter moi!
...

Re.
Merci. Mais ne retenez pas votre souffle en attendant.
A+