Un petit début en MQ

**BioBen** · 01/01/2006, 00h06

Salut et bonne année (je l'aurai dis un nombre incalculable de fois !)
Voila mes débuts en MQ ! Et sans bouquin

J'ai mis une bonne partie du développement comme ca si des gens veulent se lancer...bah ils peuvent être aiguillés (si necessaire)

Donc ce que j'ai fait :
I/ Equation de Schrödinger
Je suis parti de mon cours d'ondes :
En considérent une onde stationnaire, et en bidouillant l'équation générale à une dimension (je sais pas écrire le laplacien en TeX doncon se contentera de x) (et le bidouillage je l'avais déja trouvé pendant mon cours y'a 3mois !) :

$\text{[math]}$
avec $\text{[math]}$

On obtient :
$\text{[math]}$

En m'appuyant sur le fait que $\text{[math]}$ , et donc que $\text{[math]}$
j'arrive à
$\text{[math]}$
d'où l'équation de Schrödinger indépendante du temps :

(1) : $\text{[math]}$

Notons $\text{[math]}$ (je vous l'ai dit je suis feignant, et puis on fait toujours comme ca en ondes alors pourquoi s'en priver)

Les solutions de ce genre d'équation sont faciles à trouver :
$\text{[math]}$
Donc en reel :
$\text{[math]}$

II/ Puit de potentiel

Pourquoi s'arreter en si bon chemin ?
Je connais la défintion d'un puit de potentiel :
*Epot = infini pour x<0 t x>L
*Epot = 0 pour 0 <=x <= L

a/ Condition en x=0
Etant plutot doué dans mon cours d'ondes (

), j'ai pas hésité et j'ai donc étudié les conditions aux limites !
$\text{[math]}$
Implique que :
$\text{[math]}$
Donc :
$\text{[math]}$
On voit que si on prend n=1 le signe moins disparait.
Finalement :
$\text{[math]}$

b/Condition en x=L
$\text{[math]}$
Implique que :
$\text{[math]}$
En remplaçant w par sa valeur :
$\text{[math]}$

Ce qui après manipulation implique que :
$\text{[math]}$

Voilou, et je sais que le résultat est correct gràce à wikipedia

http://fr.wikipedia.org/wiki/Particu...une_bo%C3%AEte

Question 1 : Ici a-t-on Ecin=Etotale (car Ep=0).
Car sur wiki ils n'indiquent que E...pas très commode !

Question 2 : Que peut on faire d'autre avec l'équation de Schrödinger indépendante du temps ?

**BioBen** · 01/01/2006, 00h24

D'ailleurs j'en ai oublié la conclusion :
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$

On peut enlever la racine :
$\text{[math]}$

$\text{[math]}$ on peut le determiner théoriquement ou bien il dépend des conditions initales ?
D'après ce que je sais c'est l'amplitude de la fonction d'onde, donc son carré c'est l'amplitude de probabilité...mais de la à retrouver $\text{[math]}$

[et puis il se fait tard]

**mariposa** · 01/01/2006, 11h51

Envoyé par BioBen

Question 1 : Ici a-t-on Ecin=Etotale (car Ep=0).
Car sur wiki ils n'indiquent que E...pas très commode !

Non on ne peut dire que Ep=0 car Ep=0 à l'intérieur mais vaut +infini à l'extérieur. Il n'y a que des niveaux d'énergie et c'est tout!

Question 2 : Que peut on faire d'autre avec l'équation de Schrödinger indépendante du temps ?

A- Je te suggére de recommencer le même exercice mais en centrant le puit de potentiel sur l'axe des Y de -L/2 à L/2; afin de mieux exploiter la symétrie du problème.

B- Aprés quoi tu vérifieras que tes solutions sont soient impaires soient paires (derrière cela il y a déjà en arrière plan la théorie des représentations des groupes).

C- Tu vérifieras également que tes solutions sont orthogonales les unes aux autres.

**mariposa** · 01/01/2006, 11h54

Envoyé par BioBen

D'ailleurs j'en ai oublié la conclusion :
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$

On peut enlever la racine :
$\text{[math]}$

$\text{[math]}$ on peut le determiner théoriquement ou bien il dépend des conditions initales ?
D'après ce que je sais c'est l'amplitude de la fonction d'onde, donc son carré c'est l'amplitude de probabilité...mais de la à retrouver

[et puis il se fait tard]

Puisque la probabilité de présence dans le puit est égal à 1 il suffit d'écrire que l'intégrale du carré de FI est égal à 1 ce qui donne $\text{[math]}$

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**BioBen** · 01/01/2006, 12h22

Envoyé par mariposa

Puisque la probabilité de présence dans le puit est égal à 1 il suffit d'écrire que l'intégrale du carré de FI est égal à 1 ce qui donne $\text{[math]}$

Comment ca ?
Il suffit d'écrire :
$\text{[math]}$ ?
Si oui ca fait (on voit très mal mais c'est sin²(nPix/l), le 2 c'est un carré pas 2nPi) :
$\text{[math]}$

Or on l'integre de 0 à L (c'est 0 partout ailleurs) et on sait que ca fait L/2 (série de fourier).
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
Est ce que c'est cohérent ?
*Si $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ alors $\text{[math]}$ ce qui semble cohérent (on connait avec une précision inifini là où se trouve la particule puisque elle ne peut etre que entre 0 et epsilon qui est infiniment fin).
*Si $\text{[math]}$ alors $\text{[math]}$ ce qui est plutot logique puisque la particule peut etre partout.
*Si $\text{[math]}$ alors on peut regarer si l'amplitude maximale est bien centrée en 1.
Quand L=2, $\text{[math]}$ et l'on sait que le sinus est max quand $\text{[math]}$
En x = 1 :
$\text{[math]}$
Pour n=1 et tout autre entier impair c'est bon c'est bien un max.
Mais ca veut dire que pour n=2 et tout autre entier pair, x=1 c'est un noeud

?? Une erreur dans l'intégrale ??

Je sais pas comment interpréter/utiliser les différents modes (n=1,2,....)

En onde sur une corde ca va mais en terme de particule...

J'essaierai ton message #3 cette après-midi.

**BioBen** · 01/01/2006, 16h54

III Puit de potentiel 2
Remarque : je sais que pour toi tous les développements sont inutiles puisque tu connais le résultat mais je prefere tout mettre puisque ca pourra toujours servir à quelqu'un et puis ca sera mieux pour detecter une faute.

A- Je te suggére de recommencer le même exercice mais en centrant le puit de potentiel sur l'axe des Y de -L/2 à L/2; afin de mieux exploiter la symétrie du problème.

J'ai vu qu'il était préférable d'étudier les conditions aux limitex d'une seule traite.
Epot = inifni pour x<-L/2 et x>L/2
Epot = 0 pour -L/2 <= x <= L/2

Je rappelerai juste que la fonction d'onde s'écrit :
$\text{[math]}$
et que $\text{[math]}$

En appliquant les condions aux limite et en utilisant la parité du cosinus (cos(-x)=cos(x)) :
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
Ce qui implique :
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
Donc
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
*En soustrayant les deux équations on obitent :
$\text{[math]}$

On peut donc réecrire la fonction d'onde :
$\text{[math]}$

*En sommant les deux équations on obtient :
$\text{[math]}$
Donc en remplaçant w par sa valeur on obtient :
$\text{[math]}$

On notera au passage que 2n+1 est impaire quelque soit n (l'enrgie cinétique est donc quantifiée par valeurs discrètes impaires).

Finalement, on peut réecrire la fonction d'onde :
$\text{[math]}$

J'ai du mal à comprendre et à voir comment faire les points B et C ...

**mariposa** · 01/01/2006, 17h50

Envoyé par BioBen

III Puit de potentiel 2
Remarque : je sais que pour toi tous les développements sont inutiles puisque tu connais le résultat mais je prefere tout mettre puisque ca pourra toujours servir à quelqu'un et puis ca sera mieux pour detecter une faute.

J'ai vu qu'il était préférable d'étudier les conditions aux limitex d'une seule traite.
Epot = inifni pour x<-L/2 et x>L/2
Epot = 0 pour -L/2 <= x <= L/2

Je rappelerai juste que la fonction d'onde s'écrit :
$\text{[math]}$
et que $\text{[math]}$

Un cos est une solution mais aussi un sin que tu as oublié. Comme l'équation est linéaire toutes les combinaisons linéaires sont solutions a priori.

L'erreur de départ est donc purement mathématique, tu n'as trouvé que la moitié des solutions.

J'ai du mal à comprendre et à voir comment faire les points B et C ...

Quant tu auras résolu l'ensemble du problème tu y verras plus clair. A suivre..

**BioBen** · 01/01/2006, 18h17

Un cos est une solution mais aussi un sin que tu as oublié.

Non en fait sur mon brouillon je l'avais aussi étudié mais j'ai fais une erreur si conne (sur une addition ! que je ne vais pas réecrire ici par fierté personnelle(

)), et ca faisait que je trouvais une solution triviale donc je l'ai pas posté.

$\text{[math]}$
Donc je ne reprends pas tout le raisonnement, principe est exactement le même :
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
Entriaine
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
Implique par soustraction et addition :
$\text{[math]}$
Or sin(x + Pi) = -sin(x)
Donc on peut réecrire (on doit tenir compte du signe ou pas ? je pense pas que ca change grand chose ca dépend avant tout de n, s il faut en tenir compte il suffit de mettre (-1)^n devant les expressions pour faire le changement de signe adéquat).

$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
En remplaçant w par sa valeur :
$\text{[math]}$
On notera que 2n est toujours pair, donc (2n)^2 aussi.

Finalement :
$\text{[math]}$

J'ai fait pas mal de copier coller du premeir message pour pas avoir à tout réecrire j'espere pas avec oublier un cos quelque part

**BioBen** · 01/01/2006, 19h30

IV/ Equation de Schrödinger dépendante du temps

Pour ceux que ca interesse je me suis attaqué (avec succès à priori

) à la formulation de l'équation générale non-relativiste de Schrödinger.
Pour l'établir je dois dire que j'ai quand même dû m'aider du Penrose "The Road to Reality" (principalement pour voir où arriver !).

Avant tout il faut que je rapelle l'équation de Schrodinger indépendante du temps :
$\text{[math]}$

Notons que cette équation se reécrit, en sachant que Ecin + Epot = E :
$\text{[math]}$

Soit, en recombinant :
(1) $\text{[math]}$

On démarre avec une onde basique :
$\text{[math]}$
Si on la dérive on obtient :
$\text{[math]}$
Or $\text{[math]}$ et l'energie totale d'une onde est $\text{[math]}$ d'où $\text{[math]}$
On peut donc écrire :
$\text{[math]}$
et donc
$\text{[math]}$
Donc :
(2) $\text{[math]}$

On combinant (1) et (2), on obitient immédiatement :
$\text{[math]}$

Dans le Penrose ils disent d'essayer avec Epot = mgz...

(pour ceux qui l'on c'est p499, le point [21.6] à l'air coriace aussi)

**gatsu** · 02/01/2006, 08h56

Envoyé par BioBen

Finalement :
$\text{[math]}$

Je crois qu'il y a un petit probleme. Etant données tes conditions limites (puit de potentiel entre x=-L/2 et x=+L/2) tu devrais trouver un cos en fait et pas un sinus...on peut le voir en sachant que la fonction d'onde du fondamental ne doit pas avoir de noeud au "milieu" du puit de potentiel (c'est vrai en tout cas pour les puits finis et il me semble que ça l'est aussi pour les puits infinis); autrement dit la densité de probabilité de présence en x=0 ne devrait pas etre nulle.
En fait il faut partir d'une solution plus générale de la forme:
$\text{[math]}$
Ensuite les conditions aux limites donnent:
$\text{[math]}$ (1)
$\text{[math]}$ (2)
Ce qui donne:

$\text{[math]}$ (1)'
$\text{[math]}$ (2)'

le rapport de $\text{[math]}$ donne:
$\text{[math]}$
=> $\text{[math]}$
ce qui implique $\text{[math]}$
d' où $\text{[math]}$

P.S: Il me semble que cette solution est celle qui est donnée le plus fréquemment pour les conditions aux limites ci dessus mais je dois avouer que mathématiquement ton résultat en sinus est correcte donc je ne vois pas où est l'erreur

**gatsu** · 02/01/2006, 09h18

Bon ok je viens de voir où était l'erreur (j'avais oublié quelques trucs de licence moi

).

P.S: on ne parle apparemment pas du même $\text{[math]}$

**BioBen** · 02/01/2006, 12h49

P.S: on ne parle apparemment pas du même n

C'est à dire ? Qu'en est-il de mon message #6 ?

Ensuite les conditions aux limites donnent:
$\text{[math]}$ (1)
$\text{[math]}$ (2)

Si tu écris (1) en reel :
$\text{[math]}$ (1)
cos(-x) = cos(x) donc tu peux la factoriser.
$\text{[math]}$ (1)
Qui implique A = - B ou $\text{[math]}$

Si A=-B tu n'as pas d'onde.
Donc :
$\text{[math]}$
d'où
$\text{[math]}$

ce qui implique A=B

Oui ca implique A=B....donc tu le réecris dans une des tes équations initiales qu tu mets en reel :
Acos(wL/2 x) + Acos(-wL/2 x) = 0
Avec la parité du cosinus :
Acos(wL/2 x) = 0
Tu vois immédiatement que A= 0 (absurde) ou cos(wL/2 x) = 0 ....
d'où wL/2 = nPi + Pi/2
d'où w = (2n+1)Pi / L

Mais tu pouvais aussi le garder en complexe tu serais tomber sur le même résultat :
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
Ce qui implique :
$\text{[math]}$ qui est ce que je viens de faire en reel juste au dessus.
ou
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
Qui est le meme résultat que précedemment.

Ou peut-être que j'ai fait une erreur...
Mais je crois que tu as conclu trop rapidement sur le w alors que le calcul que tu faisais c'était pour avoir les infos sur A et B.

**BioBen** · 02/01/2006, 14h55

Encore une question à propos des fondements de la Mécanique Quantique (désolé si des messages partent vers des thèmes différents, le sujet général reste le même).

On dit souvent que l'équation de Schrödinger est postulée mais en réalité il est possible de l'obtenir directment à partir du PFD en faisant 2 postulats :
*Des petites oscillations :
$\text{[math]}$
* Le relation de De Broglie qui je crois n'est pas démontrable :
$\text{[math]}$

Non ?

**gatsu** · 02/01/2006, 14h56

Envoyé par gatsu

$\text{[math]}$
ce qui implique $\text{[math]}$

décidement je n'étais pas en forme ce matin désolé

Je ne retire pas ma relation sur $\text{[math]}$ par contre vous aurez bien vu que cela implique:
$\text{[math]}$
donc si n est pair (i.e n=2p) on a $\text{[math]}$
et si n est impair (i.e n=2p+1) A=B et on a $\text{[math]}$
avec dans tous les cas la relation $\text{[math]}$

**BioBen** · 02/01/2006, 15h00

Dans ce cas on est 100% d'accord Gatsu

décidement je n'étais pas en forme ce matin désolé

Pas grave c'est à cause du nouvel an

**gatsu** · 02/01/2006, 15h02

Bon ba on est d'accord alors c'etait juste un probleme de notation

**gatsu** · 02/01/2006, 15h11

Envoyé par BioBen

Encore une question à propos des fondements de la Mécanique Quantique (désolé si des messages partent vers des thèmes différents, le sujet général reste le même).

On dit souvent que l'équation de Schrödinger est postulée mais en réalité il est possible de l'obtenir directment à partir du PFD en faisant 2 postulats :
*Des petites oscillations :
$\text{[math]}$

je veux bien mais des petites oscillations de quoi?

* Le relation de De Broglie qui je crois n'est pas démontrable :
$\text{[math]}$

Je crois aussi mais sait on jamais

**gatsu** · 02/01/2006, 15h33

Formellement on peut dériver l'équation de Schrödinger en postulant l'existence d'un opérateur d'évolution $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ .
Lorsqu'on s'interresse à la forme que peut avoir U on utilise un déplacement infinitésimal dans le temps et on cherche alors la forme de U(t+dt,t) tq $\text{[math]}$ (1).
On effectue ensuite un DL au premier ordre de U que l'on peut ecrire sous la forme:
$\text{[math]}$
Je crois que la justification de la présence du Hamiltonien dans le développement vient du fait qu'un systeme invariant par translation dans le temps voit son energie (Hamiltonien) conservée.
En remplaçant U par son développement et en faisant un DL de $\text{[math]}$ au premier ordre dans (1) on obtient:
$\text{[math]}$
ce qui nous donne:
$\text{[math]}$

**BioBen** · 02/01/2006, 15h40

je veux bien mais des petites oscillations de quoi?

Je sais pas si tu te souviens c'est dans les premiers cours d'onde (grace aux ondes sur une corde) où le t'on démontre à partir du PFD l'équation aux dérivées partielles que tu cites.
Pour l'obtenir il faut supposer que les oscillations sont petites (en faite c'est que l'angle \theta est petit) pour te permettre de faire quelques simplifications.
Si tu appelle un élement de masse $\text{[math]}$ .
Quand l'onde n'est pas à l'équilibre la force selon Oz sur l'élément de corde est $\text{[math]}$
$\text{[math]}$
En supposant les angles petits :
les cos valent environ 1, T1=T2=To et la tangente représente la pente de la corde :
$\text{[math]}$

Si on appelle $\text{[math]}$
On pose x=x2 et on dévelope en séries de taylor au voisinnage de x1 :
$\text{[math]}$
D'où $\text{[math]}$
En appliquant le PFD :
$\text{[math]}$
D'où
$\text{[math]}$

En posant $\text{[math]}$ on obtient finalement :
$\text{[math]}$

EDIT :
J'aivais lu la question : "mais pourquoi?" et non pas "mais de quoi" !
Bah de l'onde que l'on étudie !

EDIT 2 :
Je n'ai vu ni Hamiltonien ni "opérateurs d'évolution" donc j'essaie de voir si elle est démontrable de manière purement classique (pas de formalisme lagrangien/hamiltonien ni d'opérateur de MQ).
Maintenant c'est clair qu'il va falloir que je me mette à étudier ces formalismes qui ont l'air bien utiles !

**gatsu** · 02/01/2006, 16h10

Envoyé par BioBen

Je sais pas si tu te souviens c'est dans les premiers cours d'onde (grace aux ondes sur une corde) où le t'on démontre à partir du PFD l'équation aux dérivées partielles que tu cites.

Sisi je me souviens

d'ailleurs je ne suis pas trop un génie dans ce genre de calcul (perso je préfere partir d'une représentation discrétisée avec plein d'oscillateurs et apres je fais un passage à la limite continue).

EDIT :
J'aivais lu la question : "mais pourquoi?" et non pas "mais de quoi" !
Bah de l'onde que l'on étudie !

Ok donc tu voudrais en gros retrouver l'équation de Schrödinger en traitant une particule comme un élement de milieu continu alors?

Sinon personnelement je ne vois pas comment interpreter ça classiquement car je ne vois pas directement comment une energie potentielle peut agir sur une amplitude de probabilité de présence. En effet, il faut bien voir que ce n'est pas la particule qui "oscille" dans l'espace mais son amplitude de probabilité et là c'est déjà plus abstrait...en tout cas pour moi

EDIT 2 :
Je n'ai vu ni Hamiltonien ni "opérateurs d'évolution" donc j'essaie de voir si elle est démontrable de manière purement classique (pas de formalisme lagrangien/hamiltonien ni d'opérateur de MQ).
Maintenant c'est clair qu'il va falloir que je me mette à étudier ces formalismes qui ont l'air bien utiles !

Schrödinger a lui même dit qu'il n'avait pas démontré son équation il me semble. Par contre toutes les justifications qu'il a utilisées pour la dériver sont un mix de mécanique analytique et d'optique ondulatoire (comme dans ton message #1 ou #2 je crois).
Je ne connais pas toute la mécanique Hamiltonienne et Lagrangienne mais au début d'un point de vue formel ce n'est pas tres compliqué...en revanche d'un point de vue conceptuel c'est peut etre une autre paire de manches

**BioBen** · 02/01/2006, 17h54

Sisi je me souviens

Oui je suis désolé j'avais mal lu ta question et donc j'ai mis 90% de ma réponse à coté de la plaque...et j'ai eu la flemme de tout effacer (ca prend du temps d'écrire en TeX !)

(perso je préfere partir d'une représentation discrétisée avec plein d'oscillateurs et apres je fais un passage à la limite continue).

Bah moi je connais pas tout ca

Mais ca m'interesse (comme le titre l'indique je tente de débuter en MQ : d'abord le puit de potentiel, après je sais pas ... y'a quoi ? l'atome d'hydrogène ? oscillateur harmonique ? effet tunnel ?).

Ok donc tu voudrais en gros retrouver l'équation de Schrödinger en traitant une particule comme un élement de milieu continu alors?

Oui à mon sens ca revient à considérer la particule comme pouvant être representée comme une onde toute bête (par sa fonction d'onde)....

En effet, il faut bien voir que ce n'est pas la particule qui "oscille" dans l'espace mais son amplitude de probabilité et là c'est déjà plus abstrait...en tout cas pour moi

Ouais ouais caje commence un peu à saisir la différence entre la particule et sa représentation par sa fonction d'onde (et donc son amplitude de probabilit&#233

. En tout cas j'essaie ...

en revanche d'un point de vue conceptuel c'est peut etre une autre paire de manches

Je crois que tout est reformulé en termes de "degrés de liberté" et cie non ?

Si tu as un indice sur comment résoudre la dernière phrase de mon message #9 à propos de l'utilisation de l'equation générale de Schröringer pour une particule en chute libre. Je sais qu'on doit retrouver la meme chose que chez Newton mais comment y arriver...

Merci.

**gatsu** · 02/01/2006, 20h03

Pour une particule dans un champ de gravitation classique, je n'ai jamais fait cet exercice donc ce que je vais dire n'est pas sûr..
Déjà je pense qu'il faut d'abord traiter le probleme à une dimension c'est à dire qu'il faut résoudre une équation en représentation {|\vec|r>} du type :
$\text{[math]}$

D'apres ce que j'ai lu dans un livre il est préférabe de passer en représentation {|\vec{p}>} (c'est à dire qu'il faut faire la transformée de Fourier de l'équation précédente en fait...je ne sais pas si tu connais).
L'important c'est qu'on tombe sur une équation de la forme (si je ne me suis pas trompé):

$\text{[math]}$

Une fois la fonction d'onde trouvée (je n'ai pas le temps de le faire) tu as accès à l'amplitude de probabilité d'avoir une impulsion donnée (reliée à la vitesse). Tu peux en principe remonter à la fonction d'onde dépendant des variables spatiales (ici z) en faisant une transformée de Fourier inverse.
Je ne sais pas si il y a plus simple mais en tout cas c'est une méthode

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