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Un petit début en MQ



  1. #1
    BioBen

    Un petit début en MQ


    ------

    Salut et bonne année (je l'aurai dis un nombre incalculable de fois !)
    Voila mes débuts en MQ ! Et sans bouquin
    J'ai mis une bonne partie du développement comme ca si des gens veulent se lancer...bah ils peuvent être aiguillés (si necessaire)

    Donc ce que j'ai fait :
    I/ Equation de Schrödinger
    Je suis parti de mon cours d'ondes :
    En considérent une onde stationnaire, et en bidouillant l'équation générale à une dimension (je sais pas écrire le laplacien en TeX doncon se contentera de x) (et le bidouillage je l'avais déja trouvé pendant mon cours y'a 3mois !) :


    avec

    On obtient :


    En m'appuyant sur le fait que , et donc que
    j'arrive à

    d'où l'équation de Schrödinger indépendante du temps :

    (1) :

    Notons (je vous l'ai dit je suis feignant, et puis on fait toujours comme ca en ondes alors pourquoi s'en priver)

    Les solutions de ce genre d'équation sont faciles à trouver :

    Donc en reel :


    II/ Puit de potentiel

    Pourquoi s'arreter en si bon chemin ?
    Je connais la défintion d'un puit de potentiel :
    *Epot = infini pour x<0 t x>L
    *Epot = 0 pour 0 <=x <= L

    a/ Condition en x=0
    Etant plutot dou&#233; dans mon cours d'ondes (), j'ai pas h&#233;sit&#233; et j'ai donc &#233;tudi&#233; les conditions aux limites !

    Implique que :

    Donc :

    On voit que si on prend n=1 le signe moins disparait.
    Finalement :


    b/Condition en x=L

    Implique que :

    En rempla&#231;ant w par sa valeur :



    Ce qui apr&#232;s manipulation implique que :


    Voilou, et je sais que le r&#233;sultat est correct gr&#224;ce &#224; wikipedia http://fr.wikipedia.org/wiki/Particu...une_bo%C3%AEte

    Question 1 : Ici a-t-on Ecin=Etotale (car Ep=0).
    Car sur wiki ils n'indiquent que E...pas tr&#232;s commode !

    Question 2 : Que peut on faire d'autre avec l'&#233;quation de Schr&#246;dinger ind&#233;pendante du temps ?

    -----
    Dernière modification par BioBen ; 01/01/2006 à 00h10.

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  3. #2
    BioBen

    Re : Un petit début en MQ

    D'ailleurs j'en ai oubli&#233; la conclusion :



    On peut enlever la racine :


    on peut le determiner th&#233;oriquement ou bien il d&#233;pend des conditions initales ?
    D'apr&#232;s ce que je sais c'est l'amplitude de la fonction d'onde, donc son carr&#233; c'est l'amplitude de probabilit&#233;...mais de la &#224; retrouver [et puis il se fait tard]

  4. #3
    mariposa

    Re : Un petit début en MQ

    Citation Envoyé par BioBen
    Question 1 : Ici a-t-on Ecin=Etotale (car Ep=0).
    Car sur wiki ils n'indiquent que E...pas très commode !
    Non on ne peut dire que Ep=0 car Ep=0 à l'intérieur mais vaut +infini à l'extérieur. Il n'y a que des niveaux d'énergie et c'est tout!
    Question 2 : Que peut on faire d'autre avec l'équation de Schrödinger indépendante du temps ?
    A- Je te suggére de recommencer le même exercice mais en centrant le puit de potentiel sur l'axe des Y de -L/2 à L/2; afin de mieux exploiter la symétrie du problème.

    B- Aprés quoi tu vérifieras que tes solutions sont soient impaires soient paires (derrière cela il y a déjà en arrière plan la théorie des représentations des groupes).

    C- Tu vérifieras également que tes solutions sont orthogonales les unes aux autres.

  5. #4
    mariposa

    Re : Un petit début en MQ

    Citation Envoyé par BioBen
    D'ailleurs j'en ai oublié la conclusion :



    On peut enlever la racine :


    on peut le determiner théoriquement ou bien il dépend des conditions initales ?
    D'après ce que je sais c'est l'amplitude de la fonction d'onde, donc son carré c'est l'amplitude de probabilité...mais de la à retrouver [et puis il se fait tard]

    Puisque la probabilité de présence dans le puit est égal à 1 il suffit d'écrire que l'intégrale du carré de FI est égal à 1 ce qui donne

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    BioBen

    Re : Un petit début en MQ

    Citation Envoyé par mariposa
    Puisque la probabilit&#233; de pr&#233;sence dans le puit est &#233;gal &#224; 1 il suffit d'&#233;crire que l'int&#233;grale du carr&#233; de FI est &#233;gal &#224; 1 ce qui donne
    Comment ca ?
    Il suffit d'&#233;crire :
    ?
    Si oui ca fait (on voit tr&#232;s mal mais c'est sin&#178;(nPix/l), le 2 c'est un carr&#233; pas 2nPi) :


    Or on l'integre de 0 &#224; L (c'est 0 partout ailleurs) et on sait que ca fait L/2 (s&#233;rie de fourier).


    Est ce que c'est coh&#233;rent ?
    *Si avec alors ce qui semble coh&#233;rent (on connait avec une pr&#233;cision inifini l&#224; o&#249; se trouve la particule puisque elle ne peut etre que entre 0 et epsilon qui est infiniment fin).
    *Si alors ce qui est plutot logique puisque la particule peut etre partout.
    *Si alors on peut regarer si l'amplitude maximale est bien centr&#233;e en 1.
    Quand L=2, et l'on sait que le sinus est max quand
    En x = 1 :

    Pour n=1 et tout autre entier impair c'est bon c'est bien un max.
    Mais ca veut dire que pour n=2 et tout autre entier pair, x=1 c'est un noeud ?? Une erreur dans l'int&#233;grale ??

    Je sais pas comment interpr&#233;ter/utiliser les diff&#233;rents modes (n=1,2,....) En onde sur une corde ca va mais en terme de particule...

    J'essaierai ton message #3 cette apr&#232;s-midi.
    Dernière modification par BioBen ; 01/01/2006 à 12h26.

  8. #6
    BioBen

    Re : Un petit début en MQ

    III Puit de potentiel 2
    Remarque : je sais que pour toi tous les d&#233;veloppements sont inutiles puisque tu connais le r&#233;sultat mais je prefere tout mettre puisque ca pourra toujours servir &#224; quelqu'un et puis ca sera mieux pour detecter une faute.
    A- Je te sugg&#233;re de recommencer le m&#234;me exercice mais en centrant le puit de potentiel sur l'axe des Y de -L/2 &#224; L/2; afin de mieux exploiter la sym&#233;trie du probl&#232;me.
    J'ai vu qu'il &#233;tait pr&#233;f&#233;rable d'&#233;tudier les conditions aux limitex d'une seule traite.
    Epot = inifni pour x<-L/2 et x>L/2
    Epot = 0 pour -L/2 <= x <= L/2

    Je rappelerai juste que la fonction d'onde s'&#233;crit :

    et que

    En appliquant les condions aux limite et en utilisant la parit&#233; du cosinus (cos(-x)=cos(x)) :


    Ce qui implique :


    Donc


    *En soustrayant les deux &#233;quations on obitent :


    On peut donc r&#233;ecrire la fonction d'onde :


    *En sommant les deux &#233;quations on obtient :

    Donc en rempla&#231;ant w par sa valeur on obtient :


    On notera au passage que 2n+1 est impaire quelque soit n (l'enrgie cin&#233;tique est donc quantifi&#233;e par valeurs discr&#232;tes impaires).

    Finalement, on peut r&#233;ecrire la fonction d'onde :


    J'ai du mal &#224; comprendre et &#224; voir comment faire les points B et C ...
    Dernière modification par BioBen ; 01/01/2006 à 16h59.

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  10. #7
    mariposa

    Re : Un petit début en MQ

    Citation Envoyé par BioBen
    III Puit de potentiel 2
    Remarque : je sais que pour toi tous les développements sont inutiles puisque tu connais le résultat mais je prefere tout mettre puisque ca pourra toujours servir à quelqu'un et puis ca sera mieux pour detecter une faute.


    J'ai vu qu'il était préférable d'étudier les conditions aux limitex d'une seule traite.
    Epot = inifni pour x<-L/2 et x>L/2
    Epot = 0 pour -L/2 <= x <= L/2

    Je rappelerai juste que la fonction d'onde s'écrit :

    et que
    Un cos est une solution mais aussi un sin que tu as oublié. Comme l'équation est linéaire toutes les combinaisons linéaires sont solutions a priori.

    L'erreur de départ est donc purement mathématique, tu n'as trouvé que la moitié des solutions.

    J'ai du mal à comprendre et à voir comment faire les points B et C ...
    Quant tu auras résolu l'ensemble du problème tu y verras plus clair. A suivre..

  11. #8
    BioBen

    Re : Un petit début en MQ

    Un cos est une solution mais aussi un sin que tu as oubli&#233;.
    Non en fait sur mon brouillon je l'avais aussi &#233;tudi&#233; mais j'ai fais une erreur si conne (sur une addition ! que je ne vais pas r&#233;ecrire ici par fiert&#233; personnelle()), et ca faisait que je trouvais une solution triviale donc je l'ai pas post&#233;.


    Donc je ne reprends pas tout le raisonnement, principe est exactement le m&#234;me :


    Entriaine


    Implique par soustraction et addition :

    Or sin(x + Pi) = -sin(x)
    Donc on peut r&#233;ecrire (on doit tenir compte du signe ou pas ? je pense pas que ca change grand chose ca d&#233;pend avant tout de n, s il faut en tenir compte il suffit de mettre (-1)^n devant les expressions pour faire le changement de signe ad&#233;quat).





    En rempla&#231;ant w par sa valeur :

    On notera que 2n est toujours pair, donc (2n)^2 aussi.

    Finalement :


    J'ai fait pas mal de copier coller du premeir message pour pas avoir &#224; tout r&#233;ecrire j'espere pas avec oublier un cos quelque part

  12. #9
    BioBen

    Re : Un petit début en MQ

    IV/ Equation de Schrödinger dépendante du temps

    Pour ceux que ca interesse je me suis attaqué (avec succès à priori ) à la formulation de l'équation générale non-relativiste de Schrödinger.
    Pour l'établir je dois dire que j'ai quand même dû m'aider du Penrose "The Road to Reality" (principalement pour voir où arriver !).

    Avant tout il faut que je rapelle l'équation de Schrodinger indépendante du temps :


    Notons que cette équation se reécrit, en sachant que Ecin + Epot = E :


    Soit, en recombinant :
    (1)

    On démarre avec une onde basique :

    Si on la dérive on obtient :

    Or et l'energie totale d'une onde est d'où
    On peut donc écrire :

    et donc

    Donc :
    (2)

    On combinant (1) et (2), on obitient immédiatement :


    Dans le Penrose ils disent d'essayer avec Epot = mgz... (pour ceux qui l'on c'est p499, le point [21.6] à l'air coriace aussi)

  13. #10
    gatsu

    Re : Un petit début en MQ

    Citation Envoyé par BioBen
    Finalement :
    Je crois qu'il y a un petit probleme. Etant données tes conditions limites (puit de potentiel entre x=-L/2 et x=+L/2) tu devrais trouver un cos en fait et pas un sinus...on peut le voir en sachant que la fonction d'onde du fondamental ne doit pas avoir de noeud au "milieu" du puit de potentiel (c'est vrai en tout cas pour les puits finis et il me semble que ça l'est aussi pour les puits infinis); autrement dit la densité de probabilité de présence en x=0 ne devrait pas etre nulle.
    En fait il faut partir d'une solution plus générale de la forme:

    Ensuite les conditions aux limites donnent:
    (1)
    (2)
    Ce qui donne:

    (1)'
    (2)'

    le rapport de donne:

    =>
    ce qui implique
    d' où

    P.S: Il me semble que cette solution est celle qui est donnée le plus fréquemment pour les conditions aux limites ci dessus mais je dois avouer que mathématiquement ton résultat en sinus est correcte donc je ne vois pas où est l'erreur

  14. #11
    gatsu

    Re : Un petit début en MQ

    Bon ok je viens de voir o&#249; &#233;tait l'erreur (j'avais oubli&#233; quelques trucs de licence moi ).

    P.S: on ne parle apparemment pas du m&#234;me

  15. #12
    BioBen

    Re : Un petit début en MQ

    P.S: on ne parle apparemment pas du m&#234;me n
    C'est &#224; dire ? Qu'en est-il de mon message #6 ?

    Ensuite les conditions aux limites donnent:
    (1)
    (2)
    Si tu &#233;cris (1) en reel :
    (1)
    cos(-x) = cos(x) donc tu peux la factoriser.
    (1)
    Qui implique A = - B ou

    Si A=-B tu n'as pas d'onde.
    Donc :

    d'o&#249;


    ce qui implique A=B
    Oui ca implique A=B....donc tu le r&#233;ecris dans une des tes &#233;quations initiales qu tu mets en reel :
    Acos(wL/2 x) + Acos(-wL/2 x) = 0
    Avec la parit&#233; du cosinus :
    Acos(wL/2 x) = 0
    Tu vois imm&#233;diatement que A= 0 (absurde) ou cos(wL/2 x) = 0 ....
    d'o&#249; wL/2 = nPi + Pi/2
    d'o&#249; w = (2n+1)Pi / L

    Mais tu pouvais aussi le garder en complexe tu serais tomber sur le m&#234;me r&#233;sultat :


    Ce qui implique :
    qui est ce que je viens de faire en reel juste au dessus.
    ou





    Qui est le meme r&#233;sultat que pr&#233;cedemment.

    Ou peut-&#234;tre que j'ai fait une erreur...
    Mais je crois que tu as conclu trop rapidement sur le w alors que le calcul que tu faisais c'&#233;tait pour avoir les infos sur A et B.
    Dernière modification par BioBen ; 02/01/2006 à 12h54.

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  17. #13
    BioBen

    Re : Un petit début en MQ

    Encore une question &#224; propos des fondements de la M&#233;canique Quantique (d&#233;sol&#233; si des messages partent vers des th&#232;mes diff&#233;rents, le sujet g&#233;n&#233;ral reste le m&#234;me).

    On dit souvent que l'&#233;quation de Schr&#246;dinger est postul&#233;e mais en r&#233;alit&#233; il est possible de l'obtenir directment &#224; partir du PFD en faisant 2 postulats :
    *Des petites oscillations :

    * Le relation de De Broglie qui je crois n'est pas d&#233;montrable :


    Non ?

  18. #14
    gatsu

    Re : Un petit début en MQ

    Citation Envoyé par gatsu

    ce qui implique
    d&#233;cidement je n'&#233;tais pas en forme ce matin d&#233;sol&#233;
    Je ne retire pas ma relation sur par contre vous aurez bien vu que cela implique:

    donc si n est pair (i.e n=2p) on a
    et si n est impair (i.e n=2p+1) A=B et on a
    avec dans tous les cas la relation

  19. #15
    BioBen

    Re : Un petit début en MQ

    Dans ce cas on est 100% d'accord Gatsu

    d&#233;cidement je n'&#233;tais pas en forme ce matin d&#233;sol&#233;
    Pas grave c'est &#224; cause du nouvel an

  20. #16
    gatsu

    Re : Un petit début en MQ

    Bon ba on est d'accord alors c'etait juste un probleme de notation

  21. #17
    gatsu

    Re : Un petit début en MQ

    Citation Envoyé par BioBen
    Encore une question à propos des fondements de la Mécanique Quantique (désolé si des messages partent vers des thèmes différents, le sujet général reste le même).

    On dit souvent que l'équation de Schrödinger est postulée mais en réalité il est possible de l'obtenir directment à partir du PFD en faisant 2 postulats :
    *Des petites oscillations :
    je veux bien mais des petites oscillations de quoi?
    * Le relation de De Broglie qui je crois n'est pas démontrable :
    Je crois aussi mais sait on jamais

  22. #18
    gatsu

    Re : Un petit début en MQ

    Formellement on peut dériver l'équation de Schrödinger en postulant l'existence d'un opérateur d'évolution tel que .
    Lorsqu'on s'interresse à la forme que peut avoir U on utilise un déplacement infinitésimal dans le temps et on cherche alors la forme de U(t+dt,t) tq (1).
    On effectue ensuite un DL au premier ordre de U que l'on peut ecrire sous la forme:

    Je crois que la justification de la présence du Hamiltonien dans le développement vient du fait qu'un systeme invariant par translation dans le temps voit son energie (Hamiltonien) conservée.
    En remplaçant U par son développement et en faisant un DL de au premier ordre dans (1) on obtient:

    ce qui nous donne:

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  24. #19
    BioBen

    Re : Un petit début en MQ

    je veux bien mais des petites oscillations de quoi?
    Je sais pas si tu te souviens c'est dans les premiers cours d'onde (grace aux ondes sur une corde) o&#249; le t'on d&#233;montre &#224; partir du PFD l'&#233;quation aux d&#233;riv&#233;es partielles que tu cites.
    Pour l'obtenir il faut supposer que les oscillations sont petites (en faite c'est que l'angle \theta est petit) pour te permettre de faire quelques simplifications.
    Si tu appelle un &#233;lement de masse .
    Quand l'onde n'est pas &#224; l'&#233;quilibre la force selon Oz sur l'&#233;l&#233;ment de corde est

    En supposant les angles petits :
    les cos valent environ 1, T1=T2=To et la tangente repr&#233;sente la pente de la corde :


    Si on appelle
    On pose x=x2 et on d&#233;velope en s&#233;ries de taylor au voisinnage de x1 :

    D'o&#249;
    En appliquant le PFD :

    D'o&#249;


    En posant on obtient finalement :



    EDIT :
    J'aivais lu la question : "mais pourquoi?" et non pas "mais de quoi" !
    Bah de l'onde que l'on &#233;tudie !

    EDIT 2 :
    Je n'ai vu ni Hamiltonien ni "op&#233;rateurs d'&#233;volution" donc j'essaie de voir si elle est d&#233;montrable de mani&#232;re purement classique (pas de formalisme lagrangien/hamiltonien ni d'op&#233;rateur de MQ).
    Maintenant c'est clair qu'il va falloir que je me mette &#224; &#233;tudier ces formalismes qui ont l'air bien utiles !
    Dernière modification par BioBen ; 02/01/2006 à 15h45.

  25. #20
    gatsu

    Re : Un petit début en MQ

    Citation Envoyé par BioBen
    Je sais pas si tu te souviens c'est dans les premiers cours d'onde (grace aux ondes sur une corde) où le t'on démontre à partir du PFD l'équation aux dérivées partielles que tu cites.
    Sisi je me souviens d'ailleurs je ne suis pas trop un génie dans ce genre de calcul (perso je préfere partir d'une représentation discrétisée avec plein d'oscillateurs et apres je fais un passage à la limite continue).
    EDIT :
    J'aivais lu la question : "mais pourquoi?" et non pas "mais de quoi" !
    Bah de l'onde que l'on étudie !
    Ok donc tu voudrais en gros retrouver l'équation de Schrödinger en traitant une particule comme un élement de milieu continu alors?

    Sinon personnelement je ne vois pas comment interpreter ça classiquement car je ne vois pas directement comment une energie potentielle peut agir sur une amplitude de probabilité de présence. En effet, il faut bien voir que ce n'est pas la particule qui "oscille" dans l'espace mais son amplitude de probabilité et là c'est déjà plus abstrait...en tout cas pour moi
    EDIT 2 :
    Je n'ai vu ni Hamiltonien ni "opérateurs d'évolution" donc j'essaie de voir si elle est démontrable de manière purement classique (pas de formalisme lagrangien/hamiltonien ni d'opérateur de MQ).
    Maintenant c'est clair qu'il va falloir que je me mette à étudier ces formalismes qui ont l'air bien utiles !
    Schrödinger a lui même dit qu'il n'avait pas démontré son équation il me semble. Par contre toutes les justifications qu'il a utilisées pour la dériver sont un mix de mécanique analytique et d'optique ondulatoire (comme dans ton message #1 ou #2 je crois).
    Je ne connais pas toute la mécanique Hamiltonienne et Lagrangienne mais au début d'un point de vue formel ce n'est pas tres compliqué...en revanche d'un point de vue conceptuel c'est peut etre une autre paire de manches

  26. #21
    BioBen

    Re : Un petit début en MQ

    Sisi je me souviens
    Oui je suis d&#233;sol&#233; j'avais mal lu ta question et donc j'ai mis 90% de ma r&#233;ponse &#224; cot&#233; de la plaque...et j'ai eu la flemme de tout effacer (ca prend du temps d'&#233;crire en TeX !)
    (perso je pr&#233;fere partir d'une repr&#233;sentation discr&#233;tis&#233;e avec plein d'oscillateurs et apres je fais un passage &#224; la limite continue).
    Bah moi je connais pas tout ca Mais ca m'interesse (comme le titre l'indique je tente de d&#233;buter en MQ : d'abord le puit de potentiel, apr&#232;s je sais pas ... y'a quoi ? l'atome d'hydrog&#232;ne ? oscillateur harmonique ? effet tunnel ?).

    Ok donc tu voudrais en gros retrouver l'&#233;quation de Schr&#246;dinger en traitant une particule comme un &#233;lement de milieu continu alors?
    Oui &#224; mon sens ca revient &#224; consid&#233;rer la particule comme pouvant &#234;tre represent&#233;e comme une onde toute b&#234;te (par sa fonction d'onde)....

    En effet, il faut bien voir que ce n'est pas la particule qui "oscille" dans l'espace mais son amplitude de probabilit&#233; et l&#224; c'est d&#233;j&#224; plus abstrait...en tout cas pour moi
    Ouais ouais caje commence un peu &#224; saisir la diff&#233;rence entre la particule et sa repr&#233;sentation par sa fonction d'onde (et donc son amplitude de probabilit&#233. En tout cas j'essaie ...

    en revanche d'un point de vue conceptuel c'est peut etre une autre paire de manches
    Je crois que tout est reformul&#233; en termes de "degr&#233;s de libert&#233;" et cie non ?

    Si tu as un indice sur comment r&#233;soudre la derni&#232;re phrase de mon message #9 &#224; propos de l'utilisation de l'equation g&#233;n&#233;rale de Schr&#246;ringer pour une particule en chute libre. Je sais qu'on doit retrouver la meme chose que chez Newton mais comment y arriver...

    Merci.
    Dernière modification par BioBen ; 02/01/2006 à 17h58.

  27. #22
    gatsu

    Re : Un petit début en MQ

    Pour une particule dans un champ de gravitation classique, je n'ai jamais fait cet exercice donc ce que je vais dire n'est pas sûr..
    Déjà je pense qu'il faut d'abord traiter le probleme à une dimension c'est à dire qu'il faut résoudre une équation en représentation {|\vec|r>} du type :


    D'apres ce que j'ai lu dans un livre il est préférabe de passer en représentation {|\vec{p}>} (c'est à dire qu'il faut faire la transformée de Fourier de l'équation précédente en fait...je ne sais pas si tu connais).
    L'important c'est qu'on tombe sur une équation de la forme (si je ne me suis pas trompé):



    Une fois la fonction d'onde trouvée (je n'ai pas le temps de le faire) tu as accès à l'amplitude de probabilité d'avoir une impulsion donnée (reliée à la vitesse). Tu peux en principe remonter à la fonction d'onde dépendant des variables spatiales (ici z) en faisant une transformée de Fourier inverse.
    Je ne sais pas si il y a plus simple mais en tout cas c'est une méthode

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    Dernier message: 23/08/2005, 15h28