Quelques questions de physique quantique.

[ASan78]

Bonjour à tous,

Ayant une formation de mathématiques et cryptographie, je suis novice en physique quantique. J'ai cependant suivi un cours de cryptographie quantique qui a éveillé ma curiosité au domaine de la physique quantique, domaine que je cherche maintenant à approfondir et à comprendre le plus possible.

J'ai donc lu des cours d'introduction à la physique quantique (qui me sont apparus très compliqués, n'ayant pas de formation physique) et à l'information quantique (plus abordables car moins orientés physique). Cependant, il y a de nombreux points (cruciaux, je le sens bien) qui me sont encore obscurs, c'est pourquoi je viens ici demander quelques éclaircissements auprès de ceux voudront bien prendre le temps de m'expliquer.

• En physique quantique, qu'est-ce qu'un état pur ? Je crois avoir compris que c'est un état que l'on considère comme "isolé de son environnement" mais je n'en suis pas sûr.
• On représente souvent un état quantique par un vecteur d'état qui vit dans un espace de Hilbert de dimension 2 (d'éléments de base souvent notés |0> et |1>). Cependant, dans certains cas (comme par exemple dans le cas d'interactions avec l'environnement ou d'intrication), on les représente par une matrice densité. Quelles sont les différences entre le vecteur d'état et la matrice densité ? Les coefficients du vecteur d'état (du moins leurs modules) représentent les amplitudes de probabilités, qu'en est-il de la matrice densité ?
• Quelles informations peut-on tirer de la matrice densité que l'on ne peut pas apprendre du vecteur d'état ? Il me semblait que l'un des principes de la mécanique quantique était que "toutes les informations sur un état quantique sont contenus dans son vecteur d'état".

J'espère avoir été le plus clair possible dans mes questions. J'ai beaucoup de choses à assimiler afin d'être relativement à l'aise avec ces notions et j'avoue que ce n'est pas toujours évident. Ce sont quelques questions qui me viennent à l'esprit, j'en aurai sûrement d'autres à soumettre à votre jugement par la suite

Je remercie d'avance ceux qui prendront le temps de répondre à mes questions,

ASan
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[albanxiii]

Bonjour,

Un état pur est un état qui n'est pas un mélange statisque d'états. A un état pur correspond un et un seul vecteur d'état, qui peut-être une superposition linéaire de vecteurs propres d'un ECOC.
Un mélange statistique d'états décrit un ensemble de particules dont on sait seulement que tel pourcentage est dans tel état (décrit par tel vecteur d'état), tel autre pourcentage est dans tel autre état, etc.

L'espace des états est de dimension 2 seulement dans le cas d'un spin 1/2, qui doit être le système le plus utilsé en information quantique, mais il ne faut pas faire de ce cas particulier le cas général. En général, l'espace de Hilbert d'un système est de dimension inifnie (c'est un espace de fonctions de carré intégrable, multiplié tensoriellement par l'espace des états de spin, qui lui est de dimension finie).

La matrice densité est ce qui permet de décrire un mélange statistique d'état. Pour un état pur, on n'a pas besoin de cette matrice, l'état est décrit par un vecteur de l'esapce de Hilbert.

Je vous conseille de lire les chapitres correspondant du livre de Cohen-Tannoudji, Diu, Laloë (Mécanique quantique), c'est très léger et juste introductif, mais cela pose bien les concepts et la différence entre état pur et mélange statistique d'état.

Puis, d'autres membres du forum compléterons cette réponse.....

@+

[ASan78]

Je vous remercie pour cette réponse rapide.

Donc, dans le cas d'un espace des états de dimension 2 (de base orthonormée {|0>,|1>}), on décrit un état pur de la manière suivante : |phi>=a|0>+b|1> (avec |a|²+|b|²=1). Jusque là, ça va pour moi. Cela représente la superposition linéaire intrinsèque à un état quantique. Dans ce cas-là, les coefficient a et b (complexes) sont les amplitudes de probabilité de trouver |phi> dans l'état |0> ou dans l'état |1>.

Maintenant, si j'ai bien compris ce que vous m'avez dit, une matrice densité représente donc un mélange statistique de différents états purs. D'après la définition de la matrice densité, c'est une matrice de taille 2x2 dont les éléments sont donc des états purs, c'est bien cela ?

Vous dites que "pour un état pur, on n'a pas besoin de cette matrice", mais peut-on la définir quand même ? Si oui, quelle est-elle ? Pour un état pur bien défini, il n'y a pas de "mélange statistique de différents états purs". Donc, je serai tenté par dire qu'une telle matrice est diagonale ou avec un seul élément ?

ASan.

[albanxiii]

Bonjour,

Oui, bien sur, pour un état pur on peut définir un opérateur densité (ou matrice densité, c'est juste un autre nom). Mais ça n'est pas pour ce cas que l'opérateur densité a été introduit (par Landau il me semble).

Je ne sais pas si vous avez googlé, mais plutôt que de vous refaire un cours en moins bien, je préfère vous orienter vers ce document www.phys.ens.fr/~dgo/matdte.pdf par exemple.

@+

[A voir en vidéo sur Futura]

[chaverondier]

En physique quantique, qu'est-ce qu'un état pur ? Je crois avoir compris que c'est un état que l'on considère comme "isolé de son environnement" mais je n'en suis pas sûr.

Par opposition à un état mixte, un état pur donne une information maximale sur le comportement du système lors des diverses mesures possibles (l'entropie de Von Neumann d'un état pur est nulle). Quand le système est intriqué avec un environnement, il n'existe pas d'état pur décrivant le système tout seul. Une information complète sur l'ensemble système+environnement ne peut pas être obtenue en décrivant séparément le système et l'environnement avec lequel il est intriqué.

Dans le cas plus simple d'une paire de spin 1/2 dans un état singulet par exemple, l'état d'un des deux spins ne peut pas être décrit par un état pur. L'état d'un spin considéré isolément de l'autre est représentable par un opérateur densité dont l'entropie est maximale (rho = 1/2 |up><up| + 1/2 |down><down| = aussi d'ailleurs 1/2 |right><right| + 1/2 |left><left|). On ne sait absolument pas prédire le résultat que va donner une mesure de spin sur l'un des deux spins. Par contre, la paire de spin intriqués est dans un état pur, elle. Cette paire de spin intriqués dans un état singulet peut donc, elle, être décrite par un vecteur d'état (|psi> = |up>|down> - |down>|up> = aussi |right>|left> - |left>|right>)

On représente souvent un état quantique par un vecteur d'état qui vit dans un espace de Hilbert de dimension 2 (d'éléments de base souvent notés |0> et |1>). Cependant, dans certains cas (comme par exemple dans le cas d'interactions avec l'environnement ou d'intrication), on les représente par une matrice densité. Quelles sont les différences entre le vecteur d'état et la matrice densité ? Les coefficients du vecteur d'état (du moins leurs modules) représentent les amplitudes de probabilités, qu'en est-il de la matrice densité ?

Quand un système est dans un état pur, son opérateur densité est un projecteur de rang 1 sur l'espace de Hilbert des états quantiques du système et le vecteur en question modélise lui aussi cet état pur.

Quelles informations peut-on tirer de la matrice densité que l'on ne peut pas apprendre du vecteur d'état ? Il me semblait que l'un des principes de la mécanique quantique était que "toutes les informations sur un état quantique sont contenus dans son vecteur d'état".

On peut modéliser des situations différentes avec un même opérateur densité correspondant à un état mixte.

1/ Le manque de connaissance sur l'état pur du système peut-être "extrinsèque". Cela correspond au cas où le système considéré "est bien" dans un état pur mais où on n'a seulement une connaissance statistique de cet état. Par exemple, on peut ainsi représenter par un opérateur densité les statistiques des résultats de mesure de spin qui seront obtenues avec un Stern et Gerlach penché à 45° quand on fait passer dedans des spins 1/2 dans un état de spin vertical up par exemple (à condition de faire l'hypothèse sujette à caution selon laquelle le spin "finit vraiment" dans un état pur à l'issue de la mesure car on ne sait pas préciser de façon consensuelle ce que veut dire, "finit", ni ce que veut dire "vraiment")

2/ Le manque de connaissance sur "l'état pur" du système peut-être "intrinsèque". C'est le cas, forcément, quand cet état pur n'existe pas. C'est ce qui se passe quand, par exemple, le système A considéré est, combiné avec un autre système B, dans un état pur mais non séparable en un état pur du système A et un état pur du système B (comme c'est le cas d'une paire de qubits dans un état singulet).

Pour un état pur, "on n'a pas besoin de cette matrice", mais peut-on la définir quand même ? Si oui, quelle est-elle ?

Si |psi> est un état pur, l'opérateur densité correspondant est le projecteur orthogonal sur |psi>, Rho = |psi><psi|

Dans le cas général, il existe toujours une base Hilbertienne dans laquelle la matrice densité d'un opérateur densité est diagonale (un état mixte est, mathématiquement, un opérateur hermitien positif de trace 1). Dans une base d'états propres de l'état mixte Rho, Rho s'écrit Rho = somme des p_k |psi_k> (sa matrice densité y est diagonale) et son entropie de Von Neumann est celle de la distribution de probabilités que représente cet état mixte Svm (Rho) = - somme des p_k ln(p_k) = espérance de -ln(Rho)

[ASan78]

Tout d'abord, je vous remercie pour les réponses que vous m'apportez.

J'ai lu le document de Guéry-Odelin et Fabre sur les matrices densité. Je commence à comprendre certaines choses, notamment l'intérêt de la matrice densité pour exprimer l'intrication d'un état quantique avec un autre état quantique ou avec l'environnement. Je crois néanmoins que j'ai peut-être été un peu vite sur certains points fondamentaux, c'est pourquoi je n'arrive pas très bien à assimiler la suite des raisonnements et des outils.

L'état d'un spin considéré isolément de l'autre est représentable par un opérateur densité dont l'entropie est maximale (rho = 1/2 |up><up| + 1/2 |down><down| = aussi d'ailleurs 1/2 |right><right| + 1/2 |left><left|).

Ce que j'ai du mal à assimiler, dans ce cas, c'est la signification de la décomposition de rho. Si je suis ce que tu dis, la matrice rho est donc diagonale avec pour éléments diagonaux 1/2 |up><up| et 1/2 |down><down|. Les éléments |up><up| et |down><down| sont les projecteurs sur les états correspondants, et sont donc des opérateurs. La matrice rho se décompose sur ces deux projecteurs. Pourquoi n'a-t-on pas de composantes sur les opérateurs |up><down| et |down><up| ?

J'aimerai, si vous le permettez, prendre un exemple que j'ai trouvé lors de l'une de mes lectures.

On considère un environnement (très simple) qui a deux états de base possibles |e0> et |e1> (qui vérifient les relations de complétude). On suppose que l'environnement se couple avec un qubit (de base {|0>,|1>} ) de la façon suivante : lors de l'application d'une porte I au qubit, l'état de l'environnement flip si le qubit est dans l'état |1>. On suppose également qu'il est initialement dans l'état |e0>. On étudie l'application successive des portes HIH à un qubit dans l'état |0> couplé à l'environnement. On obtient donc :

(HIH|0>)|e0> = 1/2 (|0>+|1>)|e0> + 1/2(|0>-|1>)|e1>

J'ai compris les calculs menant à ce résultat. On part d'un état pur |0> que l'on fait intéragir avec l'environnement (ce qui est représenté par le flip de l'état de l'environnement). Ce que je ne comprends pas, c'est la phrase "as we are considering environmental decoherence, pure states will be transformed into classical mixtures". En quoi cet état n'est donc plus un état pur ? Je n'arrive pas à voir la différence entre cet état et un état pur à deux qubits (de la forme |psi>=a|00>+b|01>+c|10>+d|11>) .

Je suis actuellement en train de voir comment calculer la matrice densité de ce nouvel état, qui est donc un système composé de deux états.

Encore merci pour votre aide qui m'est très précieuse,

ASan.

[chaverondier]

Ce que j'ai du mal à assimiler, dans ce cas, c'est la signification de la décomposition de rho. Si je suis ce que tu dis, la matrice rho est donc diagonale avec pour éléments diagonaux 1/2 |up><up| et 1/2 |down><down|. Les éléments |up><up| et |down><down| sont les projecteurs sur les états correspondants, et sont donc des opérateurs. La matrice rho se décompose sur ces deux projecteurs. Pourquoi n'a-t-on pas de composantes sur les opérateurs |up><down| et |down><up| ?

Il s'agit d'un état d'entropie maximale. Quelle que soit la base Hilbertienne de mesure de l'état choisie (quelle que soit l'orientation du Stern et Gerlach dans ce cas) les résultats de mesure se distribuent équiprobablement sur tous les états de la base considérée (dans ce cas à 2 dimensions, quelle que soit l'orientation du Stern et Gerlach, les états |+> ou |-> obtenu à l'issue de la mesure de spin sont équiprobables).

La matrice densité en question Rho1 = 1/2 |up1><up1| + 1/2 |down1><down1| du spin1 est obtenue par trace partielle à partir de l'état singulet de la paire de spins 1-2

Rho1 = <up2|(|up1 up2> - |down1 down2>)(<up1 up2| - <down1 down2|)|up2> +
<down2|(|up1 up2> - |down1 down2>)(<up1 up2| - <down1 down2|)|down2>

Quelle que soit la base Hilbertienne de représentation considérée, la matrice densité de l'opérateur densité modélisant cet état n'a pas de termes extradiagonaux.

Au contraire, exprimée dans la base |up> |down>, la matrice densité de l'opérateur |right><right| (l'opérateur densité de l'état pur |right>) possède des termes extradiagonaux (un état pur |right> est un état superposé dans la base |up> |down>). Son déterminant est d'ailleurs nul puisqu'il s'agit de la matrice d'un projecteur de rang un dans un espace de dimension 2 et son entropie de Von Neuman est nulle (alors que cette entropie est au contraire maximale et vaut vaut ln(2) pour l'état mixte d'un spin le plus mal connu possible d'opérateur densité Rho = 1/2 |up<<up| + 1/2 |down><down|)

[ASan78]

Une question m'est passée par la tête : quelle est la dimension de la matrice densité d'une manière générale ? Dans le cas d'une d'un système composite composé de deux sous-systèmes A et B associés à des espaces de Hilbert de dimension respectivement n et p, je dirai que la matrice densité est de taille n x p ? Et la matrice densité réduite ?

La matrice densité en question Rho1 = 1/2 |up1><up1| + 1/2 |down1><down1| du spin1 est obtenue par trace partielle à partir de l'état singulet de la paire de spins 1-2

Rho1 = <up2|(|up1 up2> - |down1 down2>)(<up1 up2| - <down1 down2|)|up2> +
<down2|(|up1 up2> - |down1 down2>)(<up1 up2| - <down1 down2|)|down2>

J'ai essayé de faire le raisonnement pas à pas pour obtenir ce que vous me donnez, mais je bloque.

Pour commencer, j'applique la formule qui me dit que rho1 = <up2|rho|up2>+<down2|rho|down2 > où rho est l'opérateur densité du système composite (donc de la paire). Jusque là, je ne fais pas d'erreur ?

D'après votre réponse, on a rho = (|up1 up2> - |down1 down2>)(<up1 up2| - <down1 down2|) ? Je n'arrive pas à voir d'où cela provient.

L'état singulet de la paire de spin 1/2 est, sauf erreur de ma part, |psi>=(1/rac(2)) (|up1 down2> - |down1 up2>), qui est un état pur. Je me serai donc attendu à obtenir que rho = |psi><psi| = 1/2 (|up1 down2> - |up2 down1>)(<up1 down2| - <up2 down1|) qui ne me semble pas la même chose que ce que vous trouvez. Pourriez-vous m'indiquer où se trouve l'erreur dans mon raisonnement ?

J'ai l'impression que je m'emmêle les pinceaux avec certaines notations, notamment celles de Dirac qui ne sont pas encore fluides pour moi.

J'aimerai savoir également si quelqu'un peut m'aider à éclaircir l'exemple que j'ai décrit dans mon message précédent ?

Merci pour votre aide,

ASan.

[chaverondier]

L'état singulet de la paire de spin 1/2 est, sauf erreur de ma part, |psi>=(1/rac(2)) (|up1 down2> - |down1 up2>), qui est un état pur. Je me serais donc attendu à obtenir que rho = |psi><psi| = 1/2 (|up1 down2> - |up2 down1>)(<up1 down2| - <up2 down1|).

Oups ! Oui, bien sûr, c'est vous qui avez raison.

[ASan78]

Donc, si je reprends les calculs, je trouve comme matrice densité totale :



Ensuite, lorsque que je calcule la matrice densité réduite, qui est donc la trace partielle de la matrice densité totale, je pose :



Mon problème est le calcul de termes tels que qui apparaissent lors du "développement" dans le calcul de la matrice densité réduite (à moins qu'il y ait une méthode intelligente pour le calcul ?). Est-ce que l'on développer encore ce terme ? Comment le calculer ?

Je dois trouver , c'est bien cela ?

Merci d'avance,

ASan

[chaverondier]

Mon problème est le calcul de termes tels que qui apparaissent lors du "développement" dans le calcul de la matrice densité réduite. Comment le calculer ?

Ce terme là vaut zéro car et sont orthogonaux. De même puisque

Je dois trouver , c'est bien cela ?

Oui.

[ASan78]

Je vous remercie pour toute l'aide apportée et le temps que vous m'avez consacré.

Vous m'avez aidé à y voir un peu plus clair, c'est déjà un bon début pour moi.

ASan