Mécanique : TP ressort, constante de proportionnalité

[mercurial17]

Bonjour,
Je prépare un TP en mécanique sur le ressort et je rencontre un problème.
L'extrémité du ressort est repérée par sa position et on a la force de rappel (l'axe Oz est orienté vers le bas et est la longueur du ressort à vide). On accroche une masse ponctuelle de masse m à l'extrémité libre du ressort.

Déjà on me demande quelle est la dimension de k : je pense qu'il faut dire que k s'exprime en mais je ne sais pas si c'est ça qu'on me demande.

Ensuite on me demande d'écrire la condition d'équilibre mécanique, c'est bien ?
Si oui, j'en déduis que la position d'équilibre croît linéairement avec la masse :
Or on me demande quelle est la constante de proportionnalité ? mais avec ce que j'ai trouvé, il n'y a pas de proportionnalité à cause du .
Si c'est le coefficient directeur de la droite, je trouve : .
Si quelqu'un pouvait m'aider ce serait cool.
Merci d'avance.
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[norien]

Bonjour.
Concernant la dimension de k, votre réponse est exacte, k s'exprime en N.m^-1 ce qui correspond bien à kg.s^-2 ou encore, en analyse dimensionnelle : [M].[T]^-2.
La suite de votre résolution est elle aussi correcte à une nuance près :

Si oui, j'en déduis que la position d'équilibre croît linéairement avec la masse : z = m g / k + l₀

Plutôt que de dire que z croît linéairement avec la masse, dites plutôt que z est fonction affine de la masse m

ou encore que (z - l₀) est proportionnel à m, avec un coefficient de proportionnalité valant g / k.

Au revoir.

[mercurial17]

En fait, c'est qu'on me dit d'en déduire que croît linéairement avec la masse. Est-ce que je peux prendre ?

[norien]

Je ne vois pas très bien la différence que vous faites entre z et z_éq.
Pour moi, la relation z = m g /k + l₀ n'est valable qu'à l'équilibre ; j'ai été un peu négligent, j'aurais du écrire de manière plus rigoureuse : z_éq = m g /k + l₀.
En fait je crois qu'on peut dire, avec un léger abus de langage, que : "z_éq varie linéairement avec la masse" au lieu de : "z_éq varie en fonction affine de la masse"

[A voir en vidéo sur Futura]

[mercurial17]

Alors il n'y a pas de proportionnalité si il y a , si ?
Oubliez

[doul11]

La question a se poser est : que signifie (z-l₀) ? Qu'est-ce qui ce passe quand z=l₀ ? Que peut on en déduire sur le choix du centre du repère ?

[norien]

Je crois qu'il est clair que l'origine de l'axe est confondue avec l'extrémité fixe du ressort puisque F = 0 lorsque z = l₀.
Quant à la quantité (z - l₀), elle représente l'allongement du ressort.

[doul11]

Les questions était adressées a mercurial17 !

[norien]

Excusez moi, Doul 11, je n'ai pas identifié l'auteur du dernier post et je vous ai confondu avec mercurial 17 ...

[mercurial17]

On peut donc prendre comme centre du repère l₀ et dans ce cas il y a bien proportionnalité. Mais [TEX]z_{eq} = \frac{mg}{k}[\TEX] alors ?

[mercurial17]

désolé

[doul11]

Excusez moi, Doul 11, je n'ai pas identifié l'auteur du dernier post et je vous ai confondu avec mercurial 17 ...

Aucun problème

On peut donc prendre comme centre du repère l₀ et dans ce cas il y a bien proportionnalité.

Il y a proportionnalité ou que soit placé le repère, quand on écrit (z-l₀) ça veut juste dire qu'on déplace l'origine, si on avait centré le repère sur l'autre extrémité du ressort (ce qui peut paraitre plus "naturel" ) ou aurais F=-kz, on a placé le centre du repère a un autre point mais ça ne change rien a la physique du ressort, on a toujours la proportionnalité, sauf que l'on a un déplacement F=-k(z-l₀) qui donne bien F=0 quand z= l₀ la longueur au repos du ressort.

[mercurial17]

d'accord merci. Cependant j'ai un problème encore une fois pour la suite : On écarte l’extrémité de la position d'équilibre, l'amortissement est
On me demande d'écrire les équations de mouvement, donc je sais que c'est avec la deuxième loi de Newton et que x(t) = 0 et y(t) = 0
mais pour z(t) j'ai un problème.
est-ce que c'est bien ça ?

[norien]

Oui, c'est bien cela. Exprimez ensuite v et a_G en fonction des dérivées première et seconde de z(t), vous obtiendrez ainsi l'équation différentielle vérifiée par z(t).

[mercurial17]

On obtient une équation compliquée non ?

[norien]

Pas beaucoup plus compliqué que l'expression que vous avez établie plus haut :