démonstration impulsion radiale dans equation schrödinger en coordonnées sphériques

[vincent28]

Bonjour,
J'ai à démontrer que l'impulsion radiale de l'atome d'hydrogène, définie par:
P_r = -ih(d/dr+1/r),
soit P_r = -ih( 1/r d/dr r),

satisfait l'équation P²/2m = P_r²/2m + L²/2mr² ,

en sachant que P²/2m = -h²/2m 1/r d²/dr² + L²/2mr² ,

avec h la constante de planck réduite, P l'impulsion de la particule, m sa masse, et les dérivées étant des dérivées partielles. r et p étant des opérateurs!

Cela revient, par identification, à démontrer que P²_r= -h²(d/dr+1/r)(d/dr+1/r) est égal à:
-h² 1/r d²/dr² ,
mais je n'y arrive pas. j'ai essayé avec les commutateurs [d/dr,1/r]= d/dr 1/r - 1/r d/dr = -1/r² mais cela ne m'avance à rien.

Quelqu'un saurait faire cette démonstration?

Merci d'avance!!!
-----

[LPFR]

Bonjour et bienvenu au forum.
J'ai supprimé le "important" dans le titre de votre question.
Car, tout compte fait, elle n'est importante que pour vous et en tout cas, pas plus que les autres discussions.
Ne mettez pas des mentions de ce type dans le titre (comme "urgent" ou autres). Elles ont plutôt l'effet inverse de celui que vous désirez.
Pour la modération.