Question sur séparation des variables dans équation de Schrödinger

[invitec6639b09]

J'ai une question mathématique sur l'équation de Schrodinger , dans certains cas il est dit dans les bouquins que comme l' Hamiltonien est sous la forme d'une somme d'opérateurs agissant chacun sur une seule variable alors la fonction d'onde est sous la forme d'un produit de fonctions , avec chaque fonction ne dépendant que d'une variable. (j'éspère me faire comprendre)

exemple : atome d'hydrogene , séparation entre r, theta et phi.

Bon ok , cela permet de trouver une solution , mais a t-on toutes les solutions de l'équation ? je n'ai pas trouvé de réponses dans les livres ... merci de votre aide !
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[mariposa]

J'ai une question mathématique sur l'équation de Schrodinger , dans certains cas il est dit dans les bouquins que comme l' Hamiltonien est sous la forme d'une somme d'opérateurs agissant chacun sur une seule variable alors la fonction d'onde est sous la forme d'un produit de fonctions , avec chaque fonction ne dépendant que d'une variable. (j'éspère me faire comprendre)

exemple : atome d'hydrogene , séparation entre r, theta et phi.

Bon ok , cela permet de trouver une solution , mais a t-on toutes les solutions de l'équation ? je n'ai pas trouvé de réponses dans les livres ... merci de votre aide !

Tu n'obtiens pas toutes les solutions mais une base d'un espace vectoriel de fonctions qui sous-tend toutes les solutions (que tu obtiens par combinaison linéaire).

[gatsu]

Tu n'obtiens pas toutes les solutions mais une base d'un espace vectoriel de fonctions qui sous-tend toutes les solutions (que tu obtiens par combinaison linéaire).

Salut,

Pour compléter un peu ce qu'a dit mariposa tu peux aller ici.

[invitec6639b09]

Merci pour vos réponses , c'est quand même fou que les profs n'en parlent même pas ... donc le fond c'est un produit tensoriel ... mais quel est le lien avec le fait que le Hamiltonien soit sous forme d'une somme sur chaque variable ? sinon un bouquin qui approfondi la question ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[mariposa]

Merci pour vos réponses , c'est quand même fou que les profs n'en parlent même pas ... donc le fond c'est un produit tensoriel ... mais quel est le lien avec le fait que le Hamiltonien soit sous forme d'une somme sur chaque variable ? sinon un bouquin qui approfondi la question ?

Il y a dans l'équation de Shrodinger "standard" une séparation entre la partie termporelle et la partie spatiale. Ce qui est usuel en physique pour une équation d'évolution, mais cela n'est en rien une généralité.
.
On peut avoir:

i.h.dFI/dt = H(r,t).dFI/dt
.
On ne peut donc pas séparer les variables.
;
Pour résoudre ce problème on arrive souvent à écrire:

H(r,t) = H° (r) + H1(r,t)

où H1(r,t) est un terme pensé comme une perturbation.
.
On résoud d'abord

i.h.dFI:dt = H°
.
qui est séparable (avec éventuellement des conditions aux limites appropriées). dans la pratique le système physique est dans un état stationnaire et encore plus souvent dans l'état de plus basse énergie.
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On applique ensuite la perturbation H1(r,t) dans la base des vecteurs propres de H° ce qui donne lieu en général à un développement en série convergente.

[gatsu]

Merci pour vos réponses , c'est quand même fou que les profs n'en parlent même pas ... donc le fond c'est un produit tensoriel ... mais quel est le lien avec le fait que le Hamiltonien soit sous forme d'une somme sur chaque variable ? sinon un bouquin qui approfondi la question ?

Pour compléter, encore une fois, ce qu'a dit mariposa, le but de la méthode est de trouver une base d'un espace de fonctions à deux variables dont chaque vecteur (de la base) peut s'écrire comme un produit de deux fonctions et qui, en plus, est une solution de l'équation étudiée (la décomposition de n'importe quelle solution est alors beacoup plus naturelle).
Si le hamiltonien n'est pas une somme d'opérateur pour chaque variable, on ne peut pas trouver une telle base (en tout cas pas en général), la méthode ne marche donc pas et il faut procéder autrement (mariposa a par exemple proposé une alternative dans un cas perturbatif).

[invitec6639b09]

OK merci , et donc quand le hamiltonien est une somme , il y a un théorème qui certifie l'existence q'une telle base de produit de deux fonctions.

question supplementaire : cette base est elle fini , infini , dénombrable , indénombrable ?

(faudrait vraiment que je lise un livre sur les hilbert .... car on a tout généralisé a la dimension infinie "un peu a l'arrach en méca q" ... )

[Thwarn]

En fait, on peut separer les variables des fonctions d'onde quand on peut (en general, cad meme quand on ne parle pas de fonction mais de ket) trouver un operateur qui commute avec H.
Par exemple, si dans le cas de latome d'hydrogene tu peux factoriser ta fonction en une fonction de r et un fonction de theta et phy, c'est parce que L^2 et Lz commute avec H et qu'une fois passe dans l'espace des positions les etat propres de L^2 et Lz sont les fonction Ylm.
Autre exemple, a chaque fois qu'un hamiltonien commute avec Py, tu sais que ta solution peut se mettre (au moins) sous la forme f(x,z)exp(iky).