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Équation différentielle partielle et séparation des variables



  1. #1
    Mataka

    Équation différentielle partielle et séparation des variables


    ------

    Bonjour, ma question est très simple, est-ce lors que je résoud une équation différentielle partielle (par exemple l'équation de Laplace) avec la méthode de séparation des variables, ma solution est-elle unique ?

    (Je demande ça parce que dans un problème j'ai un solution différente que celle du corrigée, mais c'est simplement parce que l'ordre de l'application des conditions contours n'est pas la même. ???)

    -----

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  3. #2
    brixx

    Re : Équation différentielle partielle et séparation des variables

    Bonjour,
    a priori rien ne permet de dire que ton équation admet une unique solution. Pourrais-tu être plus précis sur l'équation que tu résous : est-ce laplacien(u)=f ? En quelle dimension ? Et comment arrives-tu à séparer les variables?

  4. #3
    Mataka

    Re : Équation différentielle partielle et séparation des variables

    Il s'agitu du laplacien, donc nabla^2=0 en coordonné polaire.

    Avec u(r,téta) = R(r)*T(téta) ma solution finale dépend de l'ordre de l'application des condition contour, et à mon souvenir il s'agit d'un problème de Neuman.

  5. #4
    lambdar2d2

    Re : Équation différentielle partielle et séparation des variables

    Citation Envoyé par Mataka
    Il s'agitu du laplacien, donc nabla^2=0 en coordonné polaire.

    Avec u(r,téta) = R(r)*T(téta) ma solution finale dépend de l'ordre de l'application des condition contour, et à mon souvenir il s'agit d'un problème de Neuman.
    C'est pas un probleme avec des fonctions de Bessel?

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    rvz

    Re : Équation différentielle partielle et séparation des variables

    Si, je suis tout à fait d'accord avec toi. Les fonctions de Bessel te donnent ce que tu cherches. Pour voir l'unicité, c'est facile :

    donne, en multipliant par v à support compact et en intégrant sur le support de v

    Et donc ça définit un produit scalaire unique sur H^1_loc, et donc u est uniquement déterminé à condition de lui mettre des conditions au bord (ici, on peut prendre u = 0 au bord si on travaille dans un domaine borné, et sinon prendre juste u dans H^1 suffit).

    __
    rvz

  8. #6
    brixx

    Re : Équation différentielle partielle et séparation des variables

    il faut quand même faire attention aux conditions aux limites. Si on prend des conditions aux limites de Neumann, il peut n'y avoir aucune solution, ou bien une infinité de solutions.

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  10. #7
    rvz

    Re : Équation différentielle partielle et séparation des variables

    Bien sûr, avec Neuman, il faut une condition de compatibilité, parce que l'intégrale sur le bord de l'équation donne 0 = intégrale de f sur le bord.

    __
    rvz

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