Solutions avec séparation des variables des équations de d'Alembert et de diffusion
Bonsoir à tous
Suite à question rencontrée dans un sujet de concours je me demande comment on peut montrer que les équations du type équation de D'Alembert ou équation de diffusion admettent des solutions du type y(x,t) = f(x)*g(t) sans les injecter dans l'équation, déterminer les solutions et vérifier que cela marche bien.
Ce que je voudrais avoir c'est une justification un peu plus rigoureuse en quelque sorte...
Merci d'avance
L'idée lorsqu'on utilise cette méthode est de se dire que, comme l'équation est linéaire, on peut décomposer n'importe quelle solution de l'équation dans une base complète etc.. d'un espace de Hilbert des fonctions de deux variables (si je prends x et t pour simplifier). Il se trouve qu'une classe de bases naturelle pour cet espace est le produit (tensoriel) de vecteurs de base de chacun des espaces de Hilbert (l'un des fonctions de x et l'autres des fonctions de t en gros). Maintenant, si on revient à notre équation (sans second membre) linéaire on sait qu'en essayant ce produit de fonctions on pourra avoir une base de l'espace considéré puisque les fonctions propres d'un opérateur linéaire forment un famille de vecteurs libre et génératrice pour faire simple.Envoyé par Sclarckone
En bref, la raison pour laquelle on utilise très fréquemment cette méthode, c'est juste pour trouver une base de l'espace adequate pour développer n'importe quelle solution.
Merci de ta réponse mais même si tu as voulu faire simple ça reste un peu compliqué pour moi car l'étude des espaces de Hilbert n'est pas au programme.
Si je reprends un peu ce que tu m'as dit, les solutions de ce genre d'équation appartiennent à un espace double et les fonctions de la forme f(x)*g(t) forment une base de cet espace double...C'est ça ?
ouai en gros c'est ça ! T'as pas frocément besoin de plus de détail pour l'instant de toute façon.
bonsoir
et si on veut creuser ça, on cherche ça dans quel livre, stp?des livres de maths pour la physique?
merci d'avance
ça doit se trouver évidemment dans les bouquins de math sur les espaces de Hilbert (dans lequel le produit tensoriel de deux espaces est abordé).
Malheureusement, je ne l'ai jamais vu expliqué comme ça dans les bouquins de math pour la physique que j'ai étudié jusque là (mais ça ne veut pas dire qu'il n'y en a pas).
Sinon le principe de la méthode est exactement le même que lorsqu'on traite le problème avec les transformées (ou séries) de Fourier sauf qu'on cherche une autre base que celle de Fourier.
