Intégration dans le domaine de Fourier, avec des variables discrètes

[monnoliv]

Bonjour,

J'ai un problème assez pointu.
Je travaille dans le domaine discret. Pour intégrer une fonction à deux dimensions, je calcule sa transformée de Fourier (TF), puis j'effectue une opération sur la TF, puis j'effectue la transformée inverse. Le résultat est l'intégrale de la fonction.
Alors que la formule dans le cas continu est assez facile à trouver, genre pour une dimension int(f(x)) = F-1{F(U)/U} avec F(U) la TF de f(x), dans le cas discret c'est plus délicat. J'ai bien trouvé une formule d'intégration qui fonctionne très bien en deux dimensions mais je ne suis pas satisfait sur le raisonnement pour y aboutir.
Ma question, connaissez-vous ou avez-vous des liens à me proposer concernant les moyens de dérivation/intégration dans l'espace de Fourier pour les variables discrètes?

Je vous remercie.
-----

[zoup1]

Je ne vois pas où est le problème entre le discret et le continu pour l'intégration en fourier...
Qu'est ce que tu cherhces à calculer ? l'intégrale de surface ?
Qu'utilises tu comme expression, qu'est-ce qui ne te satisfait pas dans le raisonnement ?

[Evil.Saien]

Salut, je vois ou est le problème...
En fait leq^quotient de newton ne peut pas être fait pour calculer la dérivé car la fonction est discrète.
Pour ca il faut utiliser l'opérateur qui est la différence finie.
Sinon tu peux partir de la formule de la tranformée discrete de fourier et voir que la dérivée produit un décalage modulé.

[zoup1]

Salut, je vois ou est le problème...
En fait leq^quotient de newton ne peut pas être fait pour calculer la dérivé car la fonction est discrète.
Pour ca il faut utiliser l'opérateur qui est la différence finie.
Sinon tu peux partir de la formule de la tranformée discrete de fourier et voir que la dérivée produit un décalage modulé.

Désolé, j'ai rien compris... Il s'agit d'une intégration et non pas d'une dérivée...
NB : C'est quoi un décalage modulé ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Evil.Saien]

Ben j'sais pas dans sa question il est précisé derivation/integration alors voila...
Un décalage modulé (je sais pas si c'est le terme officiel) mais si t'as une transformée en z tels que:
H(z) =
en dérivant par rapport a ca donne:
H(z) =
Donc ca module parce qu'on multiplie tout par j (donc en fait ca déphase de pi/2), et le terme constant (d) est enlevé

[zoup1]

Ben j'sais pas dans sa question il est précisé derivation/integration alors voila...
Un décalage modulé (je sais pas si c'est le terme officiel) mais si t'as une transformée en z tels que:
H(z) =
en dérivant par rapport a ca donne:
H(z) =
Donc ca module parce qu'on multiplie tout par j (donc en fait ca déphase de pi/2), et le terme constant (d) est enlevé

Ben, je dois pas être très bien réveillé encore... mais je comprends pas plus.. Il est vrai qu'il y a le mot dérivation dans le message mais quand même le principal c'est l'intégration.
En gros, pour faire le lien avec mes habitudes, tu notes . Note bien que comme il est à 2D je pense qu'il ne travail pas en temps mais plutôt en espace... enfin...
et que pour faire la dérivée, il suffit de multiplier chaque coefficient de fourier par fois la fréquence correspondante soit . Jusque là, je suis d'accord avec toi...
Pour faire l'intégration c'est pareil sauf qu'il faut diviser par .
Mais je ne vois pas où il y a un problème pour appliquer cela... Je ne vois pas où intervient le quotient de Newton dans cette affaire...

Ou plutot si, je vois des problèmes ; quand on fait une dérivation on donne énormément d'importance aux grandes fréquences, ce qui n'est pas terrible avec un signal réel car elles sont souvent bruitées. Il est donc prudent pour calculer une dérivée de multiplier par la fréquence mais uniquement pour les basse fréquences et ensuite de filtrer en tuant les hautes fréquences.

Pour l'intégration les choses se passent mieux car là c'est plutot les hautes fréquences qui sont amplifiées et elles sont souvent moins bruitées dans un signal réel (même si on peut discuter longtemps de ce point)...

[monnoliv]

Pardon, je me rends compte que je n'ai pas été assez clair, voici une expression valable pour toute fonction différentiable f(x,y) complexe:

où F est l'opérateur de transformée de Fourier, l'opérateur de transformée de Fourier inverse et variable spatiale et variable spectrale.

En prenant la transformée de Fourier des deux membres et en multipliant par on trouve:


On retrouve donc f(x,y) à partir de ses deux dérivées partielles.

Au passage, si on pouvait m'expliquer le Re (Re = partie réelle).

L'équivalent en discret de cette relation fait intervenir des au lieu des U (idem pour l'autre dimension).

En fait, je ne vois pas pourquoi dans la première expression, après avoir appliqué la transformée de Fourier, il faut multiplier par q (on peut s'en sortir en additionnant juste les composantes en x et y). Donc il doit y avoir une justification mathématique mais je ne vois pas laquelle.

[Evil.Saien]

En gros, pour faire le lien avec mes habitudes, tu notes . Note bien que comme il est à 2D je pense qu'il ne travail pas en temps mais plutôt en espace... enfin...

il s'agit plutot de sans le t...
Le fait de passer en 2D ne change fondamentalement rien, juste que on doit définir et , ce qui nous donne
Avec qui sont des coeff.
Ensuite pour dériver ou intégrer c'est la même chose qu'en 1D.
Le problème c'est qu'on peut pas calculer le quotient de Newton, parce qu'ayant des variables discrète et les limites a gauches et a droites de ne sont pas définies. C'est pour ca qu'il faut utiliser l'opérateur des différences finies

[Evil.Saien]

Pour l'intégration les choses se passent mieux car là c'est plutot les hautes fréquences qui sont amplifiées et elles sont souvent moins bruitées dans un signal réel (même si on peut discuter longtemps de ce point)...

C'est marrant parce que c'est éxactement le contraire:
intégration = diviser par donc amplifie quand est petit : basses fréquences...

[monnoliv]

Au fait, je travaille sur des ensembles bornés, la formule de transformation de Fourier s'écrit (pour une dimension):


Si quelqu'un a une connaissance du domaine ou un lien ... (après vous être épistémologiquement disputé...)

[zoup1]

Bon, il me semble clair que je ne suis pas très bien réveillé aujourd'hui, mais il y a quand même un nombre de trucs que je ne comprends pas bien...

Tout d'abord mes coquilles ;

il s'agit plutot de sans le t...

je suis tout à fait d'accord, je ne suis pas vraiment familier avec cette façon d'écire les choses, mais c'est bien ça..

C'est marrant parce que c'est éxactement le contraire:
intégration = diviser par donc amplifie quand est petit : basses fréquences...

La aussi je suis parfaitement d'accord, c'est d'ailleurs conforme avec ce que je dis pour la dérivation... donc je reprends;

Pour l'intégration les choses se passent mieux car là c'est plutot les basses fréquences qui sont amplifiées et elles sont souvent moins bruitées dans un signal réel (même si on peut discuter longtemps de ce point)...

Pour le reste je ne comprend pas, je ne vois toujours pas où est le problème...
J'y réfléchis pausement et je réécris...

[Evil.Saien]

Chère zoup,
j'ai pas été très clair je l'admet, et je risque de pas l'être plus maintenant car je viens de me prendre la tete avec mon assistant... (et devinez pour quoi ? pour une discrétisation )
Malgré tout je vais éssayer:
En gros, faire la transformée d'un signal spatial discret donne une fonction dans le domaine de fourier définie elle aussi discrètement avec deux variables et . Jusque la tout va bien.
Ensuite on aimerais dériver par rapport à x ou y. Mais le problème c'est que ce sont des variables discrètes. Si on prend une fonction discrète par exemple, alors on aura pas , ca n'a aucun sens d'écrire ca dans le domaine discret puisque selon la définition de la dérivée on a avec non-définie...
C'est pour ca qu'il faut passer par l'opérateur pour pouvoir quantifier la dérivée discrète...

[zoup1]

avec non-définie...
C'est pour ca qu'il faut passer par l'opérateur pour pouvoir quantifier la dérivée discrète...

Je suis bien d'accord avec tout cela mais cela n'a pas grand chose à voir avec le problème posé me semble t il ??

[zoup1]

Bon alors,
Je pars du départ pour qu'il n'y ait pas d'ambiguité...
on a une fonction et sa transformée de fourier .
J'appelle la transformée de Fourier et la transformé de Fourier inverse.

soit et aussi
avec
et

Voilà pour les notations... j'espère ne pas avoir fait trop de bourdes
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Du coup
Même chose en y :
Ou encore ; pour obtenir l'expression de monnoliv à un facteur près que je n'explique pas vraiment (surtout le i)...
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Voilà, je crois que j'ai compris ce que tu demandes...
Je reformules, tu connais df/dx et df/dy et tu veux déterminer f... tu te demandes pourquoi la relation a utiliser est celle que tu donnes...


Ma réponse est la suivante : je ne sais pas très bien mais...
1) je pense qu'il y a un petit problème dans ton expression, cela doit être plutot au dénominateur.

2) Si tu fais maintenant simplement l'integrale sur en x de pour remonter à f, tu vas trouver une fonction fx qui sera f à une fonction près qui ne dépend que de y.
Même chose en intégrant en y tu, obtiens fy qui est f à une fonction près qui ne dépend que de x.
L'expression que tu propose semble être une pondération de ses 2 fonction avec comme facteur de pondération qx²/q² pour fx et qy²/q² pour fx

Qu'est-ce qui justifie cette façon de pondérer, je ne sais pas trop... cela revient à favoriser les grand nombre d'onde ce qui me semble dangereux.

En ce qui concerne la partie rélle, je ne sais pas non plus... je ne vois pas ce qui ferait dans cette transformation qu'a partir de deux fonction réelles df/dx et df/dy on obtienne au final quelque chose qui ne l'est pas.

Il y a un autre truc qui me pertube... c'est que si tu part de df/dx et df/dy, rien ne t'assure a priori que l'on a d²f/dxdy = d²f/dydx.
Il est possible que cette écriture que tu proposes tienne compte de ce problème, mais je dois bien avouer que je suis un peu perdu.
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Encore une fois, je ne vois pas bien où il y aurait un problème dans la discrétisation...

J'espère que cela aide...

[Evil.Saien]

Justement si, c'est meme la clé du problème...
Comme la dérivation classique spatiale n'est pas valable dans le cas discret, la multiplication par jw dans le domaine de fourier ne l'est pas plus car c'est en utilisant la definition de la dérivée classique qu'on la retrouve...
C'est donc pour ca qu'au lieu d'écrire qui n'a pas de sens (cf formule de Monnoliv) il faut utiliser l'opérateur de la différence fini pour calculer ceci...

[monnoliv]

Merci de faire tant d'efforts, on va y arriver!

Tout d'abord, effectivement, on définit la dérivée de la fonction discrète comme:
avec, pour fixer les idées,
Bon, on peut toujours ergotiller sur les termes (dérivée, différence, différentielle,...), peu importe.

1) je pense qu'il y a un petit problème dans ton expression, cela doit être plutot au dénominateur.

Effectivement, c'est bien qu'il faut lire, bravo et désolé pour l'erreur.

L'expression que tu propose semble être une pondération de ses 2 fonction avec comme facteur de pondération qx²/q² pour fx et qy²/q² pour fx

C'est bien ça que je n'explique pas. L'expression pourrait aussi bien être si on ne multiplie pas par l'expression après en avoir pris la TF (mais seulement en sommant les équations). Il me semble que le fait de faire le produit scalaire avec les coordonnées spectrales signifie quelque chose. En tout cas, je peux vous affirmer que la première expression redonne bien la fonction tandis que la deuxième, non.

Il y a un autre truc qui me pertube... c'est que si tu part de df/dx et df/dy, rien ne t'assure a priori que l'on a d²f/dxdy = d²f/dydx.

Ce n'est pas nécessaire, c'est pour cela que j'intègre dans l'espace de Fourier.

Encore une fois, je ne vois pas bien où il y aurait un problème dans la discrétisation...

Si on fait le calcul en discret, faites-le vous verrez, on obtient pour la dérivation au lieu de , l'expression . Jusque là ok. Le problème (de raisonnement), c'est quand je multiplie par les coordonnées spectrales. Je choisis (ce qui me semble correct) ou (ce qui ne me semble pas correct mais c'est ça qui marche).
Voici ce que ça donne sous mathcad:

Justement si, c'est meme la clé du problème...
Comme la dérivation classique spatiale n'est pas valable dans le cas discret, la multiplication par jw dans le domaine de fourier ne l'est pas plus car c'est en utilisant la definition de la dérivée classique qu'on la retrouve...

Bravo, c'est bien ça.

Merci à tous les deux de vous attarder sur ce problème. Je pensais qu'il existait des bouquins traitant du sujet (ou au moins des liens) mais non, je n'ai rien trouvé. N'étant pas mathématicien et voulant maîtriser ce que je fais, je m'en remet à vos lumières (surtout le passage ou on multiplie par q, d'ailleurs je ne sais pas si vous avez remarqué mais ce faisant, on introduit de nouvelles solutions).

A+

[Evil.Saien]

Voila, cette fois on est d'accord, je croyais que c'etait ca le problème... Ben non !
Moi je compend pas pouquoi il y a des -1 après exp(...) !

[monnoliv]

Voici pourquoi:

[zoup1]

Bien,

Je vous propose dans un premier temps de se concentrer sur le cas 1D.

Ecrire la dérivée sous la forme f'(s)=f(s+1)-f(s) c'est une façon d'écrire les choses mais qui n'est pas meilleure qu'une autre... par exemple f'(s)=f(s)-f(s-1). L'une n'est pas meilleure que l'autre, en particulier, l'une est orientée suppose une direction privilégiée vers les s croissant, l'autre vers les s décroissants. Pour symétriser la chose, on peut définir f'(s) la moyenne des 2 f'(s)=(f(s-1)-f(s-1))/2. Au moins c'est symétrique. Evidemment c'est moins bon que précédément car on prend un incrément de 2 au lieu d'un incrément de 1.

Si on calcul comme dans le message de monnoliv le terme multiplicatif on trouve cette fois que c'est sin(2.j.pi.U/N). Ce qui note bien n'est pas très différent de 2.pi.U/N (ou encore de q) lorsque U est petit devant N.

On peut ensuite se demander pourquoi on ne prend pas un incrément différent 2,4 6 8... (j'appelle incrément de 1 le cas précédent). En pratique tous sont bons pour calculer une dérivée. Tout dépend de l'échelle sur laquelle on veut la calculer... prendre un incrément trop petit pour calculer une différence augmente le bruit... prendre un incrément trop grand revient à lisser complètement le comportements rapides.
Bref, j'ai pas fait le calcul mais je pense qu'un incrément n donné, un terme multiplicatif qui serait en sin(2.j.pi.n.U/N).

Tout dépend ensuite du problème considéré et en particulier de l'influence du bruit sur la mesure mais il n'est pas clairement évident de considérer un incrément meilleur qu'un autre...

[monnoliv]

Je ne pense pas que se soit une bonne idée de se poser des questions sur les incréments. Définir la dérivée comme je l'ai fait est suffisant (c'est pas moi qui l'ai pondu d'ailleurs). Le pas le plus petit est bien 1. Maintenant, définir dérivée = f(s) - f(s-1) est équivalent même si l'expression finale de la dérivation dans l'espace de Fourier est différente. Ta dérivée sera décalée d'un point, c'est tout.

Sinon, je trouverais plus intéressant qu'on réfléchisse au problème en considérant la définition comme admise (sauf si tu trouves autre chose bien entendu).

Concernant le problème à une dimension, tu verras qu'il n'y en a pas vraiment sauf que la fonction à intégrer doit être de moyenne nulle (si elle ne l'est pas, l'expression donnera l'intégrale de la fonction comme si elle avait sa valeur moyenne nulle).

[Evil.Saien]

Salut, je crois que c'est la 6ème fois que je le dit... Mais habituellement on utilise l'opérateur de la différence fini pour calculer une dériver discrète, celui-ce est donné comme suit:

n veut dire dérivée n-ième.
Je sais pas si c'est la meilleur des formes mais c'est la plus couremment utilisée (en tout cas dans le articles de traitement du signal)
PS: normalement ca devrait afficher \binom{n}{k}mais la fonction \binom{}{} marche pas...
Vous remarquerez qu'en faisant ca on decale la fonction

[monnoliv]

Si je ne me trompe, ta dérivée est f(x+0.5) - f(x-0.5) ce qui revient au même (incrément de 1) mais complique inutillement les choses. M'enfin bon.

[Evil.Saien]

Pas tout a fait, c'est pas orienté dans une seule diréction et l'incrément est de 1...
Bon maintenant je sais pas si concraitement ca change beaucoup

[zoup1]

Salut, je crois que c'est la 6ème fois que je le dit...

Sans doute, mais pour la première fois tu es explicite... ce qui n'est pas mal pour mon esprit qui n'est pas plongé 24h/24h dans l'analyse numérique.

Donc merci d'avoir expliciter cet opérateur de différence finie.

Si je ne me trompe, ta dérivée est f(x+0.5) - f(x-0.5) ce qui revient au même (incrément de 1) mais complique inutillement les choses

Si on reprends mon vocabulaire qui n'a rien d'officiel cela fait plutot un décalage de 0.5 ce qui doit vouloir dire que les coefficient multiplicatifs sont sin(pi.U/N)... qui revient à multiplier par le nombre d'onde (avec une saturation qui coupe les hautes fréquences)

Donc tout le monde s'accorde à trouver qu'à 1D on peut le faire sans trop de difficultés...

Il va me falloir réfléchir pour le 2D, "comme dirais Floris ", mon esprit est très lent et surtout je suis très bête...

pour monnoliv : Elle sort d'où ton expression avec la partie Réelle ?

[monnoliv]

Elle sort d'où ton expression avec la partie Réelle ?

Bien tu prends ton expression (en deux dimensions, tu as donc deux équations), tu appliques la TF des deux cotés. Tu multiplies par le vecteur q des deux cotés et tu obtiens l'équation scalaire où il reste à diviser par qx^2 + qy^2. Le Re(...), je ne le comprends pas.

[zoup1]

Je suis bien d'accord, mais c'est toi qui te dis que ce serait bien d'utiliser cela ou tu as trouver cette voie quelque part...

En gros, est-ce que c'est la peine de se demander si c'est comme cela qu'il faut faire la pondération entre la fonction issue de df/dx et celle issue de df/dy ou est ce qu'il faut se demander quelle est la justification mathématique qui fait que cette façon de faire la pondération est la bonne ?

[monnoliv]

En gros, est-ce que c'est la peine de se demander si c'est comme cela qu'il faut faire la pondération entre la fonction issue de df/dx et celle issue de df/dy ou est ce qu'il faut se demander quelle est la justification mathématique qui fait que cette façon de faire la pondération est la bonne ?

Il faut se demander la justification mathématique. Maintenant, je ne sais pas si le terme pondération "convient", j'ai juste remarqué qu'en sommant simplement les coordonnées on avait aussi la solution, donc je fait peut-être une erreur.

[zoup1]

Il faut se demander la justification mathématique. Maintenant, je ne sais pas si le terme pondération "convient", j'ai juste remarqué qu'en sommant simplement les coordonnées on avait aussi la solution, donc je fait peut-être une erreur.

Bon, je ne comprends pas bien ce que tu me dis, j'ai l'impression que tu voudrais qu'on trouve une justification mathématique forte à une expression que tu as sortie de ton chapeau sans la comprendre... La deuximème expression que tu donnes me semble être une autre forme de pondération...
Berf, je te fais la réponse qui me convient et tant pis si cela répond à une autre question que celle que tu te poses...
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La réponse est dans le message suivant pour garder le suspense et faire monter la pression

[zoup1]

Donc si je comprend bien, on a deux champs à 2D, A, B qui sont sensés représenter les dérivées partielles d'une fonction. Soit et
Donc si on calcule f à partir de A, on trouve f1 comme f à une fonction g près qui ne dépend que de y. f1(x,y)=f(x,y)+g(y).
De même; si on calcule f à partir de B, on trouve f2 comme f à une fonction h près qui ne dépend que de x. f2(x,y)=f(x,y)+h(x).
Dans l'espace de fourier (je note F la TF de f, F1 la TF de f1, etc...) cela se traduit par le fait que F1(qx,qy)=F2(qx,qy) partout sauf pour qx=0 ou qy=0 pour lesquels F1(0,qy)=0 et F2(qx,0)=0.
Si la TF de A et la TF de B n'ont pas ses propriétés alors c'est qu"elles ne correspondant pas à une forme différentielle totale exacte (je crois que c'est comme cela que l'on dit non ?)

Maintenant, il y a sans doute du bruit dans A et/ou B cette égalité n'est pas parfaitement respectée. Il n'est donc pas abberant de faire une moyenne entre F1 et F2 pour reconstruire F(qx,qy). Je ne pense pas qu'il existe un critère universel pour dire la bonne façon de faire cette moyenne, cela dépend vraissemblablement de l'origine de ses deux fonctions A et B. A priori, je ne vois pas bien pourquoi on ne pourrait pas se contenter de faire une simple moyenne entre les 2.

Donc ce que je suggère pour calculer f... c'est la chose suivante...

Tu construis F1 comme F1(qx,qy)=TF^-1(TF(A)/qx) (ou si tu préfères tu prends F1(qx,qy)=TF^-1(TF(A)/sin(qx))
Tu construis F2 comme F2(qx,qy)=TF^-1(TF(B)/qy)
Tu construis F comme :
si qx != 0 et qy != 0 , F(qx,qy) = (F1(qx,qy) + F2(qx,qy))/2
pour qx =0 F(0,qy) = F2(0,qy)
pour qy=0 F(qx,0) = F1(qx,0)

Puis tu construis f comme TF^-1(F(qx,qy))

Je pense que la raison pour laquelle le fait que la pondération que tu propose fonctionne c'est simplement parceque comme tu pondère par F1 par qx et F2 par qy cela revient exactement au même que ce qui est décrit ci-dessus tout au moins pour un signal non bruité... Je pense par contre que ce que tu proposes est moins résistant à du bruit que ce que je propose...

Cela te convient ?

[monnoliv]

Salut,
Je comprends bien ton désaroi, l'espèce de pondération ne me convient pas du tout non plus, pourtant elle DOIT (celle qui fonctionne) avoir une signification. Mais je ne l'ai pas trouvée.
Concernant la tienne, tu sépares les deux composantes en x et y donc autant travailler dans l'espace spatial.
Mais si tu permets, je suis en train de fouiller les références de l'article en question, dès que j'ai du nouveau, je l'écrirai ici.
A+