Fitting parabole

[oli1978]

Bonjour,

Je reviens avec mes histoires de parabole ...
Cette fois, j'ai resolu une bonne partie du probleme, mais la suite me laisse perplexe.
J'ai donc un enseemble de points 2D et je cherche la meilleure parabole "definie" par ces points. J'ai donc ecrit mon equation : . Ensuite pour trouver la parabole en question, je minimise la somme des . On obtient un systeme du type AX=B que l'on resoud classiquement, ou A est une matrice 3x3.
Deja, je me pose la quesion de savoir si il ne manque pas des termes : un en et un en . Je me trompe ? Si je rajoute ces termes, quelle est ensuite la quantite a minimiser ?

Par ailleurs, j'ai teste cette implementation sur quelques points (une douzaine), et ma parabole a tendance a etre applatie. C'est a dire que les residus sur les points les plus eloignes du max ont unresidu fort, alors que les points proches du centre oint de tres petits residus. Je ne comprends pas tres bien pourquoi. Avez vous une idee ?

Sinon, je voulais essayer de faire un minimimsation en norme 1 (plutot qu'en norme 2 comme ci-dessus). Quelle est dans ce cas la quantite a minimiser ?

D'avance merci pour vos fructueuses reponses ...
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[doryphore]

Pour la norme 1, tu enlève le carré extérieur et tu mets ce qui reste en valeur absolue.

[zoup1]

La forme la plus générale pour ta parabole est celle d'une conique c'est
et par ailleurs tu as des couples de points La quantité à minimiser c'est

Bien sur tu obtiens alors une matrice 6x6

[oli1978]

Merci a vous 2.

Et en ce qui concerne l'applatissement de ma parabole, vous n'avez pas une idee de la ou ca peut venir ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[zoup1]

C'est un peu vague comme ça... Il faudrait que tu nous montre des choses...

Pour tester ton algorithme, tu peux prendre des points qui passent effectivement par une parabole et t'assurer que ta procédure retrouve bien la parabole de départ... une fois que tu t'es assuré de cela, il ne devrait pas y avoir de problème. Si problème il y a, envoie une courbe comme document attaché, on en discutera...

[doryphore]

Difficile à dire pour ma part sans voir les calculs, l'implémentation informatique et le graphique, c'est que je ne fais pas ça souvent, dsl.

Quand à l'écriture de la forme générale d'une conique, je remplacerais l'un des membre de l'égalité par 0 pour éviter les confusions...

Cette expression est utile dans le cas des paraboles uniquement dans le cas où tu peux travailler simultanément sur deux paraboles qui ont des génératrices perpendiculaires, je crois...
Donc tu peux rester sur l'écriture réduite, il me semble...

[oli1978]

La forme la plus générale pour ta parabole est celle d'une conique c'est
et par ailleurs tu as des couples de points La quantité à minimiser c'est

Bien sur tu obtiens alors une matrice 6x6

Salut,

Si je prends lapremiere equation, et que je cherche a la minimiser avec la seconde, j'aurais forcement et . Je me trompe ?

[oli1978]

Pour la norme 1, tu enlève le carré extérieur et tu mets ce qui reste en valeur absolue.

Merci.
En revanche, j'ai du mal avec la minimisation qui suit, puisque j'obtiens un systeme :





J'ai pas l'impression qu'il y ait grand chose a faire avec ca, non ?

[doryphore]

Malheureusement, l'optimisation, c'est pas mon truc et je ne peux que te confirmer qu'avec ça ,tu ne peux pas faire grand chose...
Mais une norme linéaire pour une courbe quadratique, ça ne me semble pas une bonne idée de toute façon, mais je ne suis pas là pour juger...

[zoup1]

Si je prends lapremiere equation, et que je cherche a la minimiser avec la seconde, j'aurais forcement et . Je me trompe ?

Salut, non tu ne te trompes pas, c'est juste que je dis n'importe quoi, je susi confus...

L'équation de la conique, c'est pas ça, mais :

par exemple...
Il faut alors définir une distance entre tes points et cette parabole... ce qui n'est pas forcément très simple en pratique. Cependant cette forme ne présente d'interêt que si ta parabole n'est pas orienté suivant un axe vertical (si elle n'est pas symétrique par rapport à son minimum)...

[oli1978]

Salut,
Je reviens avec une petite idee, dites moi si je suis a cote de la plaque.

L'equation generale d'une conique etant , un vecteur directeur de la tangente au point est definie par et .
Ensuite, je me sers de ca pour definir une distance de la facon suivante : je cherche le point dont le projete orthogonal est sur la conique et qui minimise la distance a la droite definie par la tangente.

Je sais pas si la solution est evidente (je vais m'y mettre), mais j'aimerais savoir si l'idee generale est bonne ?

Merci d'avance

[oli1978]

Il faut alors définir une distance entre tes points et cette parabole... ce qui n'est pas forcément très simple en pratique. Cependant cette forme ne présente d'interêt que si ta parabole n'est pas orienté suivant un axe vertical (si elle n'est pas symétrique par rapport à son minimum)...

Merci,

Quand tu dis que ce n'est pas simple, tu n'as pas une idee de la facon de definir cette distance (cf. mon message precedent) ?

[zoup1]

Si, si, c'est exactement à cela que je pense... Il faut trouver le point de la parabole pour lequel la distance à la courbe est la plus petite... Cela revient effectivement à trouver le point de la parabole tel que le vecteur qui le relie au point (x_i,y_j) est perpendiculaire à la tangente... (Attention, en faisant cela, on risque de trouver plusiers points qui correspondent les un à des minima de la distance, les autres à des maxima de cette distance. Ensuite il faut choisir le plus petit...
J'ai un peu peur que l'expression de cette distance en fonction des paramètres ait une forme un peu compliqué (voir non ambigue) et que du coup la minimisation de la distance ne soit pas une fonction linéaire des paramètres...

[invitebf65f07b]

J'ai donc un enseemble de points 2D et je cherche la meilleure parabole "definie" par ces points. J'ai donc ecrit mon equation : y=ax²+bx+c . Ensuite pour trouver la parabole en question, je minimise la somme des ( y(xi) - yi )² .

c'est exactement ça qu'il faut faire. après tu as le choix soit de minimiser avec des méthodes itératives, soit résoudre un système linéaire.

pour le système linéaire à résoudre, ça donne qqchose comme ça :
- A est une matrice N*n où N est le nombre de points que tu as et n le nombre dimensions donc ici n=3. on va définir A maintenant...
- tu doit prendre un base sur l'ensemble des polynomes de dergre 3, ( (1);(x);(x²) ) = ( P1 ; P2 ; P3 )sera tres bien.
- on a alors (il faut me croire ) : (A)i,j = Pj (xi) . voilà qui définit A .
- y a plus qu'à résoudre le système suivant : At * A * X = At * Y , où At est le transposé de A, X=(c,b,a) pour y=ax²+bx+c , Y c'est le vecteur (yi).
voilà , si vous voulez que je détaille, je veux bien mais ca prendra un peu de temps...

[oli1978]

c'est exactement ça qu'il faut faire. après tu as le choix soit de minimiser avec des méthodes itératives, soit résoudre un système linéaire.

pour le système linéaire à résoudre, ça donne qqchose comme ça :
- A est une matrice N*n où N est le nombre de points que tu as et n le nombre dimensions donc ici n=3. on va définir A maintenant...
- tu doit prendre un base sur l'ensemble des polynomes de dergre 3, ( (1);(x);(x²) ) = ( P1 ; P2 ; P3 )sera tres bien.
- on a alors (il faut me croire ) : (A)i,j = Pj (xi) . voilà qui définit A .
- y a plus qu'à résoudre le système suivant : At * A * X = At * Y , où At est le transposé de A, X=(c,b,a) pour y=ax²+bx+c , Y c'est le vecteur (yi).
voilà , si vous voulez que je détaille, je veux bien mais ca prendra un peu de temps...

Merci Robert,mais je suis deja passe par la. Et malheureusement, ma parabole n'est pas symetrique par rapport a l'un des axes, donc, je suis oblige de passer par l'equaton generale. Si tu sais comment faire, ca m'interesse vraiment.

[zoup1]

Merci Robert,mais je suis deja passe par la. Et malheureusement, ma parabole n'est pas symetrique par rapport a l'un des axes, donc, je suis oblige de passer par l'equaton generale. Si tu sais comment faire, ca m'interesse vraiment.

Tu peux aussi faire un changement de repère pour rendre ta parabole symétrique, avant de faire ton fit...
Cela peut être assez simple à faire, tout dépend de ce à quoi ressemble tes données...

[invitebf65f07b]

ah ok...
et tu pourrais pas "redresser" ta parabole ?
ou alors, avec la méthode que je propose, essayer différentes orientation et trouver la bonne par dichotomie ou qchose comme ça?
sinon avec votre méthode, j'ai bien peur qu'on perde la linéarité qui m'arrangeait bien

[oli1978]

Tu peux aussi faire un changement de repère pour rendre ta parabole symétrique, avant de faire ton fit...
Cela peut être assez simple à faire, tout dépend de ce à quoi ressemble tes données...

Mes points ont des cordonees reellees. Et disons que si on avait un repere dans laquelle la parabole serait symetrique, il n'y aurait que quelques points autour de l'extrema avec une difference en y maximale de l'ordre de 20 cm pour 10m en x. Je me fais comprendre ?

C'est vrai que ca me dit des trucs tout ca, mais il va falloir que je m'y remette, j'en suis vraiment loin maintenant ...

[oli1978]

Bon, juste pour dire que quelqu'un a deja fait le boulot a notre place et l'a publie. Qu'il en soit remercie :article
Je regarde ca et j'essaie de vous tenir au courant ...