Bonjour,
Je dispose d'un ensemble de points 3D. Je cherche a faire passer une parabole par ces points. C'est juste de la minimisation, mais comment ecrit on l'equation d'une parabole en 3D, et comment calcule t on la distance d'un point a cette courbe ?
D'avance merci pour vos reponses
Salut,
Une parabole (courbe) ou un paraboloïde de révolution (surface) ?
Courbe ! (bon, faut rajouter des caracteres ...)Envoyé par Coincoin
Salut,
tu peux écrire l'équation de la parabole (t, pt², 0) et faire agir le groupe des isométries dessus. Je pense que c'est le plus simple pour avoir une représentation paramétrique.
Sinon, tu peux choisir un cône et le couper par un plan parallèle à son axe.
Cordialement.
Salut,
J'ai une petite question : pourquoi veux-tu faire une minimisation ?
Tu peux trouver la solution analytique.
1) Trois points dans l'espace te définissent un plan (sauf s'ils sont alignés, tu as alors une droite et pas une parabole).
2) Dans un plan, par trois points non alignés, il doit passer une seule et unique parabole (si je ne me trompe pas....)
Pourquoi une minimisation ? Parce que avec plus de 3 points (ce qui sera toujours le cas - il vaudrait mieux ...), je suis oblige de passer par la.
Cela dit, je pense que je vais passer par de la geometrie dans le plan. En fait, j'ai des segments 3D colineaires. J'intersecte l'ensemble de ces segments par un plan de normale la direction des segments 3D et voila. Apres, on doit pouvoir ramener le tout en 3D
La parabole est l'une des trois coniques avec l'ellipse et l'hyperbole.
Une conique est l'intersection d'un plan et d'un cône de révolution.
L'équation générale d'une conique :
Ax^2+2Bxy+Cy^2+2Dx+2Ey+F=0, où (A;B;C) inégal à (0;0;0).
Soit L = déterminant de la matrice :
A B D
B C E
D E F
et l = déterminant de la matrice :
A B
B C
Si L inégal à 0 :
- et si l>0, la conique est une ellipse si (A+C)L<0
- et si l=0, la conique est une parabole
- et si l<0, la conique est une hyperbole
Il te faut déjà que l=0 que AC=B^2.
Mais... et si tu essayais déjà de voir dans quel plan appartiennent ces points dont tu connais les coordonnées...
Shokin
Pardon, humilité, humour, hasard, tolérance, partage, curiosité et diversité => liberté et sérénité.
C'est bien ce que je compte faire (cf. mon message precedent ...)
J'ai peur que tu te trompes.
Petit exemple :
Dans le repère (O,i,j) j'ai une parabole d'équation y=x². Elle passe par A(-2;4), B(-1;1) et C(1;1).
Je passe dans le repère (O,i',j'), avec i'=i-j et j'=i+j. Les coordonnées des points A, B et C deviennent dans ce repère A(-3;1), B(-1;0) et C(0;1). Si je considère la parabole d'équation y=x²/2+3x/2+1, je constate qu'elle passe également par A, B et C. Pourtant ça m'étonnerait que ça soit la même que la première.
Par trois points coplanaires non alignés, on se rend donc compte qu'il passe une infinité de paraboles.
Et même, en visualisant rapidement dans ta tête les intersections des paraboles d'équation y=x²-beaucoup et x=y²-beaucoup, tu te rends compte qu'il peut y avoir plusieurs possibilités pour quatre points donnés.
Ben je n'est suis pas si sur, Voila comment je vois les choses ;
La forme générale pour une parabole à 2D (en fait d'une conique), C'est x² + a xy + b y² + c=0. Cela fait donc 3 paramètres indépendants. On a donc besoin de 4 équations pour déterminer ces 3 paramètres. A raison d'une équation par point de la courbe, cela nous fait 3 points...
A 3D... la forme générale d'un paraboloide (en fait d'une quadrique) cela doit être; x² + a y² + b z² + c xy + d xz + e yz + f = 0, soit 6 paramètres et donc 6 points à connaitre pour déterminer les paramètres du paraboloïde.
Je te donne une idée, tu me donnes une idée, nous avons chacun deux idées.
J'ai également peur que tu te trompes :
deux paraboles peuvent avoir par exemple exactement 4 points d'intersection.
Imaginons dans le plan : y=x^2 et y=+-racine(x).
Il doit y avoir encore plus de possibilités dans l'espace...
Shokin
Pardon, humilité, humour, hasard, tolérance, partage, curiosité et diversité => liberté et sérénité.
Bon ben c'est pas la grande forme aujourd'hui... J'ai oublié les termes linéaires dans mes expressions. Du coup cela change la conclusion bien sur...
Donc on reprend :
La forme générale pour une parabole à 2D (en fait d'une conique), C'est x² + a xy + b y² + cx + dy +e =0. Cela fait donc 5 paramètres indépendants. On a donc besoin de 5 équations pour déterminer ces 5 paramètres. A raison d'une équation par point de la courbe, cela nous fait 5 points...
A 3D... la forme générale d'un paraboloide (en fait d'une quadrique) cela doit être; x² + a y² + b z² + c xy + d xz + e yz + fx + gy+ hz+i = 0, soit 9 paramètres et donc 9 points à connaitre pour déterminer les paramètres du paraboloïde.
Je te donne une idée, tu me donnes une idée, nous avons chacun deux idées.
Bien que ce message m'ai permis de voir que j'avais dit n'importe quoi dans mon message précédent... Je ne vois pas du tout ce que tu racontes dans ton exmple. Ou plutot je ne vois que 2 points d'intersections (0,0) et (1,1).
Dites moi s'il faut que j'aille me recoucher tout de suite !!!!
Je te donne une idée, tu me donnes une idée, nous avons chacun deux idées.
J'ai peut-être pas pris le meilleur exemple.
disons y=(x-2)^2 et y=racine carrée(x) + 2
Shokin
Pardon, humilité, humour, hasard, tolérance, partage, curiosité et diversité => liberté et sérénité.
Oui, comme je l'ai précisé à la fin de mon post, avec un exempleJe ne pense pas... si on considère qu'une parabole est dans un plan, à partir de trois points on a notre plan. Evidemment, si on a des points qui ne sont pas coplanaires c'est pas gagné.
Comme tu veux. Mais si ton propos est de dire que par trois points donnés il ne passe qu'une parabole, j'ai quand même donné un contre exemple, et ça fonctionne avec n'importe quel triplet de points non alignés.
C'est vrai que si j'ai 4 points non coplanaires...je ne vais pas trouver de parabole ad hoc.
Et si j'ai trois seulement trois points, j'ai au moins trois possibilités, non ?
Shokin
Pardon, humilité, humour, hasard, tolérance, partage, curiosité et diversité => liberté et sérénité.
Oups, pardon, j'ai répondu à ton précédent post avant d'avoir lu celui là...
Bon, pour les paraboles qui se coupent en quatre points, tu prends (comme je l'ai cité dans mon premier post) celle d'équation y=x²-beaucoup et x=y²-beaucoup. Tu te retrouves avec deux paraboles "perpendiculaires" qui se coupent en quatre points aux alentours de l'origine. Tu ne devrais pas avoir de mal à te le représenter sans avoir besoin de faire de dessin ou de calcul.
Si tu as trois points non alignés, tu as une infinité de possibilités. Autant que de directions pour un vecteur unitaire j, tel que AB, BC et AC ne soient pas colinéaires à i. Dans chacun de ces cas, tu ajoutes le i qui va avec et tu trouves l'équation y=ax²+bx+c vérifiée par les coordonnées des points A, B et C.C'est vrai que si j'ai 4 points non coplanaires...
Et si j'ai trois seulement trois points, j'ai au moins trois possibilités, non ?
Tudieu ! mais c'est vrai !
et avec quatre points non alignés dans un plan ?
Faut que je m'entraîne à trouver une parabole à partir de certains de ses points. [Pour commencer, je me contenterai du plan.
Shokin
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Là ça doit dépendre beaucoup plus des points choisis. Par exemple, un parallélogramme... ou les trois points d'un triangle plus son centre de gravité... ça risque pas de passer. Quatre points doivent donc répondre à u ncertain nombre de conditions pour que ça soit possible. Mais à mon avis, en regardant le nombre de degrés de liberté qu'on a (avec trois points, un angle nous donne une courbe), je pense que pour tout ensemble de quatre points distincts, on peut avoir zéro, une ou un nombre fini de paraboles. D'ailleurs de tête je ne vois pas d'exemple ou on en a plus que deux.
Ce serait bien si on pouvais démontrer qu'il ne peut y avoir plus de deux paraboles passant par 4 points, dans le plan.
Shokin
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