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Equation de Schrödinger dans un atome



  1. #1
    DarK MaLaK

    Equation de Schrödinger dans un atome

    Bonjour, je n'arrive pas à résoudre l'équation suivante :



    Je suis censé obtenir que :


    Cependant je ne trouve rien, j'ai du mal à démarrer car il y a des coefficients non constants.

    Merci pour toute piste (changement de variable, etc.) qu'on pourra m'apporter.

    -----


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  3. #2
    philou21

    Re : Equation de Schrödinger dans un atome

    Bonjour
    il me semble que ne provient pas de l'équation en mais de l'équation en

  4. #3
    Magnétar

    Re : Equation de Schrödinger dans un atome

    Bonjour,

    Merci pour toute piste (changement de variable, etc.) qu'on pourra m'apporter.
    Alors le changement de variable classique . Plus petit réflexe à prendre avec ce genre d'équation : adimensionner les variables, ici poser et . a0 rayon de bohr et EH constante de Rydberg.
    On obtient alors une équa diff sur u fonction de .
    Astuce supplémentaire écrire u comme produit d'une fonction décroissant exponentiellement avec et d'une fonction g : où a est choisi comme ça t'arrange (donc de préférence un choix qui simplifie l'équation sur g).
    Puis on écrit g comme étant développable en série entière, les conditions de convergence en l'infini impose que a=1/n, n un entier naturel et détermine le développement en série de g (qui n'est en fait qu'un polynôme).
    La condition sur a donne celle sur E. Et la condition sur vient de l'équation angulaire.

    Voir Feynman tome de MQ pour la résolution.

  5. #4
    DarK MaLaK

    Re : Equation de Schrödinger dans un atome

    Merci pour vos réponses mais je n'avance pas beaucoup plus. Je ne vois pas l'intérêt de faire ce changement de variable car je retombe sur une équation du même type (avec des dans les coefficients). De plus, je ne vois pas comment on peut penser à écrire u comme le produit d'une exponentielle par un polynôme alors qu'on n'est même pas censé savoir si les solutions s'expriment par des fonctions usuelles (à moins que j'ai loupé un théorème car je n'ai pas fait de maths "pures" depuis un moment).

    Dans le même genre, j'ai une autre équation à résoudre et je voudrais savoir s'il existe une méthode du même type :



    Si jamais vous avez besoin de mon calcul pour m'expliquer pourquoi malgré l'utilisation du changement de variables, je n'arrive pas à continuer la résolution, n'hésitez pas à le dire.

    P.S. : Malheureusement je ne possède aucun livre de Feynman.

  6. #5
    Armen92

    Re : Equation de Schrödinger dans un atome

    Citation Envoyé par DarK MaLaK Voir le message
    Merci pour vos réponses mais je n'avance pas beaucoup plus. Je ne vois pas l'intérêt de faire ce changement de variable car je retombe sur une équation du même type (avec des dans les coefficients). De plus, je ne vois pas comment on peut penser à écrire u comme le produit d'une exponentielle par un polynôme alors qu'on n'est même pas censé savoir si les solutions s'expriment par des fonctions usuelles (à moins que j'ai loupé un théorème car je n'ai pas fait de maths "pures" depuis un moment).

    Dans le même genre, j'ai une autre équation à résoudre et je voudrais savoir s'il existe une méthode du même type :



    Si jamais vous avez besoin de mon calcul pour m'expliquer pourquoi malgré l'utilisation du changement de variables, je n'arrive pas à continuer la résolution, n'hésitez pas à le dire.

    P.S. : Malheureusement je ne possède aucun livre de Feynman.
    Vous cherchez les états propres de l'oscillateur harmonique à une dimension.
    La résolution est exposée dans tous les bouquins de MQ, soit par la méthode polynomiale de Sommerfeld, soit avec les opérateurs de création et d'annihilation de Dirac.
    Je vous renvoie donc aux ouvrages classiques pour en savoir plus.
    L'impossible, nous ne l'atteignons pas, mais il nous sert de lanterne. (René CHAR)

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Mixoo

    Re : Equation de Schrödinger dans un atome

    "De plus, je ne vois pas comment on peut penser à écrire u comme le produit d'une exponentielle par un polynôme alors qu'on n'est même pas censé savoir si les solutions s'expriment par des fonctions usuelles"

    C'est parce que la solution exponentielle est solution asymptotique de l'équation en l'infini. On peut donc juger judicieux de faire ce changement de variable. Ensuite en général on cherche une solution sous la forme d'une série entière, c'est une méthode "assez" courante, mais qui ne marche pas souvent car il faut trouver une formule de récurrence pas trop compliquée ...

    En mathématique, résoudre une équation différentielle n'est pas un jeu d'enfant. Il n'y pas de technique miracle (à part pour les cas très simple), seulement des "trucs" que l'on peu essayer, ensuite l'intuition intervient pour beaucoup, et elle ne s'acquiert qu'en résolvant de nombreuses équations !

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  10. #7
    Magnétar

    Re : Equation de Schrödinger dans un atome

    De plus, je ne vois pas comment on peut penser à écrire u comme le produit d'une exponentielle par un polynôme alors qu'on n'est même pas censé savoir si les solutions s'expriment par des fonctions usuelles (à moins que j'ai loupé un théorème car je n'ai pas fait de maths "pures" depuis un moment).
    Pas besoin de le savoir, comme l'exponentielle ne s'annule jamais tu peux toujours écrire quelque soit une fonction f définie sur R à valeur dans C que f(x)=exp(-ax)g(x) ça revient juste à définir une nouvelle fonction g(x) (d'ailleurs tu peux de la même manière toujours écrire que f(x)=Ah(x) par exemple où A est une constante et ce tant que A est non nul, ou tu peux aussi écrire (x^2+1)j(x)=f(x) si ça t'amuse le but est juste de trouver un truc qui simplifie ton équation, il faut juste faire attention quand la fonction que tu mets en facteur s'annule). Toute façon d'une manière générale les équations différentielles c'est toujours du tatonement, car à part les équations bien gentilles, linéaires, à coefficients constants (autrement dit que des équations qui n'apparaissent qu'après moult simplifications, et approximations) qu'il est toujours, au moins en principe, possible de résoudre par Laplace ben le reste du temps il n'y a pas de méthode générale (et puis encore celle là elle est gentille elle est linéaire).
    Et puis physiquement tu as quand même envie que ta fonction d'onde s'écrase rapidement quand tu t'éloignes du noyau, et quoi de mieux pour ça qu'une jolie exponentielle décroissante ?

    Après comme je l'ai dit précédemment une fois que tu as fait les changements de variable, c'est pas fini, il faut écrire g sous forme d'une série entière puis injectée la série dans l'équation différentielle sur g, trouver une relation de récurrence sur les coefficients de ta série entière (bref le tralala habituel quoi), voir que la solution obtenue diverge exponentiellement en l'infini si a est quelconque (donc solution non physique). Puis remarquer que si a=1/n alors ton développement en série entière de g s'arrête au n-ième terme (et que donc g n'est en fait qu'un polynôme de degré n), et comme en plus de ça tu a eu la bonne idée pour simplifier au maximum l'équa diff sur g de poser et ben ça te donne la quantification des niveaux d'énergie.
    Pour commencer tu devrais essayer de trouver les états s (l=0).

  11. #8
    Mixoo

    Re : Equation de Schrödinger dans un atome

    @Magnéstar
    D'accord pour le tâtonnement, mais il ne faut rien exagérer tout de même ! Le changement de variable avec l'exponentielle ne sort pas d'un chapeau (cf mon post juste au dessus). C'est basé sur le même principe que la méthode de la variation de la constante.

  12. #9
    Magnétar

    Re : Equation de Schrödinger dans un atome

    D'accord pour le tâtonnement, mais il ne faut rien exagérer tout de même ! Le changement de variable avec l'exponentielle ne sort pas d'un chapeau (cf mon post juste au dessus).
    Oui tout à fait, je ne veux pas dire qu'il sort du chapeau je voulais juste faire remarquer qu'au final on pouvait mettre tout et n'importe quoi en facteur (enfin faut faire un peu gaffe quand même mais bon) et qu'il n'y avait pas de théorème de maths précis qui disait "dans tel type d'équation mettre une exponentielle et ça marche" , mais effectivement il y a soit de l'intuition (et physiquement on peut comprendre le fait qu'on tente le coup avec une exponentielle décroissante) soit une analyse plus en profondeur de l'équation (et donc effectivement chercher à déterminer le comportement asymptotique des solutions), bref nous sommes d'accord.

  13. #10
    DarK MaLaK

    Re : Equation de Schrödinger dans un atome

    Merci pour votre aide, j'ai essayé d'avancer un peu dans mes calculs mais je suis encore loin de la solution. Je n'ai pas trop le temps de détailler (car j'ai "perdu" beaucoup de temps à essayer de résoudre toutes les équations dans mon cours et je dois avancer un peu plus vite du coup), alors je vais écrire l'équation que je trouve après le changement de variable et l'astuce pour u :




    Si quelqu'un a un livre avec la démonstration (ou la connaît par coeur ), j'aimerais savoir si ça ressemble à ce qu'on doit obtenir à ce stade.

    Ensuite, je suppose que dire que g est développable en série entière revient à poser : pour obtenir une suite récurrente linéaire du second ordre à coefficients non constants. Comme j'ai un peu oublié mes cours sur les séries, j'ai trouvé une formule sur internet et j'aimerais savoir si elle s'applique ici :


  14. #11
    Armen92

    Re : Equation de Schrödinger dans un atome

    Citation Envoyé par DarK MaLaK Voir le message


    Si quelqu'un a un livre avec la démonstration...
    Messiah, Tome I, p. 350
    Aslangul,Tome II, section 19.2
    etc., etc.,
    L'impossible, nous ne l'atteignons pas, mais il nous sert de lanterne. (René CHAR)

  15. #12
    DarK MaLaK

    Re : Equation de Schrödinger dans un atome

    Merci Armen92 mais si je pose la question sur le forum, c'est bien sûr parce que je n'ai pas de livre à ma disposition pour l'instant mais également parce que j'apprécie d'avancer par moi-même dans la mesure du possible, mais en demandant l'aide de gens intéressés par ce problème et prêts à m'aiguiller si je ne vois plus comment avancer.

    Cependant, parmi les livres cités dans cette discussion, lequel est selon vous le plus complet pour présenter la physique quantique ? Y a-t-il des livres qui la présentent dans un ordre chronologique, c'est-à-dire en posant dans l'ordre les problèmes qu'ont dû affronter les premiers scientifiques à avoir mis au jour cette nouvelle physique et en proposant leurs solutions ?

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  17. #13
    mariposa

    Re : Equation de Schrödinger dans un atome

    Citation Envoyé par DarK MaLaK Voir le message
    Cependant, parmi les livres cités dans cette discussion, lequel est selon vous le plus complet pour présenter la physique quantique ?
    Le premier est plus ancien (il y a 2 tomes) le deuxième est très récent (3 tomes) et donc plus "complet" à supposer que cela a un sens.



    Y a-t-il des livres qui la présentent dans un ordre chronologique, c'est-à-dire en posant dans l'ordre les problèmes qu'ont dû affronter les premiers scientifiques à avoir mis au jour cette nouvelle physique et en proposant leurs solutions ?
    Tous les livres de MQ introduisent plus ou moins longuement les aspects historiques, mais l'histoire de la MQ est en soi un objet d'étude.

  18. #14
    Armen92

    Re : Equation de Schrödinger dans un atome

    Citation Envoyé par DarK MaLaK Voir le message
    .....

    Cependant, parmi les livres cités dans cette discussion, lequel est selon vous
    1) Le plus complet pour présenter la physique quantique ?
    2) Y a-t-il des livres qui la présentent dans un ordre chronologique, c'est-à-dire en posant dans l'ordre les problèmes qu'ont dû affronter les premiers scientifiques à avoir mis au jour cette nouvelle physique et en proposant leurs solutions ?
    1) Aucun ne peut être complet, la matière est trop riche. Je vous ai indiqué des livres de base, niveau L3 et M1-M2.
    La résolution détaillée des équations propres pour l'atome hydrogénoïde, l'oscillateur harmonique, etc., exige des pages de calcul qu'il est hors de question de reproduire ici.
    2) Oui, les livres d'Aslangul présentent les problèmes dans la perspective historique et chronologique.
    En particulier, la première partie du tome I retrace les étapes cruciales suivies par les pères-fondateurs de la MQ pour en arriver à la théorie que nous connaissons aujourd'hui (et qui marche !).
    L'impossible, nous ne l'atteignons pas, mais il nous sert de lanterne. (René CHAR)

  19. #15
    DarK MaLaK

    Re : Equation de Schrödinger dans un atome

    Ok merci à vous deux, mais que pensez-vous du livre de Feynman cité plus haut ? Et de celui de Dirac ?

  20. #16
    mariposa

    Re : Equation de Schrödinger dans un atome

    Citation Envoyé par DarK MaLaK Voir le message
    Ok merci à vous deux, mais que pensez-vous du livre de Feynman cité plus haut ? Et de celui de Dirac ?
    Tout ce qu'écrit Feymann est excellent. il est moins scolaire que les autres et certains ne l'apprécient pas.

    Le livre de Dirac est vraiment dépassé bien que tous les premiers de MQ se sont inspirés du livre de Dirac (notamment Messiah).

    Un livre que je trouve excellent et actuel est le livre de Basdevant et Dalibard. Il a ma préférence et s'il faut acheter un seul livre c'est celui-ci que je recommanderais

  21. #17
    DarK MaLaK

    Re : Equation de Schrödinger dans un atome

    Ok merci, ça va être dur de choisir... Je ne cherche pas un livre particulièrement scolaire puisque de toute façon quand je vais l'acheter j'aurai déjà passé mes examens. Mon but est plutôt de comprendre vraiment la physique, pas d'apprendre un millier de formules que j'aurai oubliées dans une semaine. Par contre, j'aimerais un livre qui contienne des "valeurs sûres" car je crois savoir que la mécanique quantique est sujet à de nombreuses interprétations et je ne sais pas si tous les livres sont objectifs sur ce point, si tous les physiciens sont en accord sur l'interprétation de la physique quantique (je ne voudrais pas qu'on m'impose un point de vue à mon insu, même si c'est celui d'un éminent physicien (point de vue qui n'engage que lui)...).

    J'en profite pour demander conseil sur d'autres matières. Je pense acheter le livre Callen, Thermodynamics pour comprendre la thermodynamique. Est-ce un bon choix ? Et pour la physique des matériaux, j'aurais voulu acheter le Traité des matériaux de Jean-Paul Issi et Maurice Gerl, mais j'ai vu que c'était en fait en une quinzaine de tomes et je n'ai pas vraiment les moyens, d'autant plus qu'ils ne se trouvent pas dans la première librairie de campagne... Y a-t-il de bons livres qui présentent cette science et qui soient un peu plus courts (et qui parlent de la liaison chimique, des états des corps avec diagrammes de phases, des défauts dans les cristaux, déplacements des dislocations, des conséquences sur leurs propriétés mécaniques, thermiques, électriques, magnétiques, et éventuellement de la matière amorphe mais c'est secondaire pour l'instant) ? Ou bien dois-je me diriger vers certains tomes en particulier de ces auteurs qui contiennent ce que je désire savoir ?

  22. #18
    Magnétar

    Re : Equation de Schrödinger dans un atome

    Merci pour votre aide, j'ai essayé d'avancer un peu dans mes calculs mais je suis encore loin de la solution. Je n'ai pas trop le temps de détailler (car j'ai "perdu" beaucoup de temps à essayer de résoudre toutes les équations dans mon cours et je dois avancer un peu plus vite du coup), alors je vais écrire l'équation que je trouve après le changement de variable et l'astuce pour u :
    Je te fais juste une petite remarque en passant (je n'ai pas vérifier les détails) mais tu n'a pas terminé le travail "d'adimensionnement" et honnêtement ça va te rendre les calculs moins lourd de le finir avant de te lancer dans les dérivations...

    Voir ici :

    http://fr.wikipedia.org/wiki/Rayon_de_Bohr

    http://fr.wikipedia.org/wiki/Constante_de_Rydberg

    en particulier tu peux exprimer les termes moches comme :


    et


    Et sinon oui ta "formule" pour les séries marche (elle est quand même particulièrement triviale )

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  24. #19
    DarK MaLaK

    Re : Equation de Schrödinger dans un atome

    Ok, je me disais bien que cet adimensionnement ne simplifiait pas beaucoup les calculs. Je vais bien m'amuser à reprendre les calculs depuis le début !

  25. #20
    Magnétar

    Re : Equation de Schrödinger dans un atome

    D'ailleurs je vais corriger une coquille de ma part :


  26. #21
    DarK MaLaK

    Re : Equation de Schrödinger dans un atome

    Bonjour, j'ai laissé la fin du calcul de cette première équation en attente pour l'instant. J'essaie de résoudre la seconde :



    Comme j'ai vu qu'on devait obtenir comme solution un polynôme de Legendre, j'ai fait le changement de variable qui me ramène quasiment à l'équation que je cherche, sauf que le au dénominateur du second terme laisse un coefficient non constant. L'équation est-elle plus compliquée que je ne le pensais ou bien ai-je fait une erreur ou un mauvais changement de variable ??

    Merci d'avance pour l'aide et si c'est encore une démonstration de 5 pages, merci de me le faire savoir une fois de plus !

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