Calcul du champ électrique total d'un plan et d'un demi-espace chargé avec le théorème de Gauss

[Marc_Benford]

Bonjour.

On considère un plan infini (z=0) de densité surfacique , et un demi-espace (s'étalant de z=0 à z->+infini) de densité volumique
Il faut utiliser le théorème de Gauss pour calculer le champs électrique total en tout point M d'altitude z0.

Donc j'ai pris comme surface de Gauss un cylindre d'axe Oz (avec M situé sur Oz). Comme tout plan passant par (OM) est plan de symétrie, E est dirigé selon .



Puis là j'arrive pas à le rédiger correctement. Je sais qu'il faut exprimer les trois en fonction de et de , mais chaque fois que je le fais l'intégrale de la surface du bas et celle de la surface du haut s'annule vu que pour l'intégrale du haut on a alors que pour l'intégrale du bas on a (car doit être orienté selon la normale qui sort de la surface de Gauss)
Mais bon, intuitivement j'imagine que l'intégrale de la surface latérale vaut zéro (car et sont perpendiculaires), et l'intégrale du bas doit être égale à l'intégrale du haut (aucune idée pourquoi par contre)... Donc finalement j'ai continué :




Je calcule la charge total intérieur au cylindre :

Et là, je n'ai pas la moindre idée de comment calculer ça. Je ne sais même pas si c'est juste. J'ai juste sortit ça au hasard, sans comprendre grand chose. Donc si vous pouvez m'expliquer comment on fait pour calculer ça...
J'ai continué comme ça mais c'est surement faux :




Puis on utilise le théorème de Gauss :



Et finalement je trouve :


Sauf que ça m'a l'air louche comme résultat. Je sais pas, j'ai comme l'impression que j'ai fait plein d'erreurs partout... Donc si vous pouvez m'aider un peu... merci d'avance.
-----

[LPFR]

Bonjour.
Vous ne pouvez rien tirer du théorème de Gauss si le volume choisi ne contient pas de charges. Vous ne trouverez que l'égalité 0 = 0, qui est correcte mais décevante.
Pour le plan, vous savez que vous avez un miroir de symétrie qui coïncide avec le plan. Donc, votre cylindre doit, lui aussi, être symétrique et avoir la base et le couvercle de chaque côté du plan et à la même distance.
Comme vous savez que la direction du champ est perpendiculaire au plan, l'intégrale de surface sur les côtés du cylindre est nulle. Etc., etc.

Pour le demi-espace, il faut le considérer comme une série de "plans" d'épaisseur 'dz' avec une charge de surface ρ.dz. Puis intégrer le champ produit dans un point par tous ces "plans" de charge.
Au revoir.

[Marc_Benford]

Bonjour et merci pour votre réponse.
En gros je dois calculer le champ créé par la plaque et calculer séparément le champ créé par le demi-espace, puis j'obtiens le champ total en faisant la somme des deux (théorème de superposition) ?
Je crois que j'ai réussi à calculer le champ créé par la plaque seule :


Par contre, pour le champ créé par le demi-espace, je ne vois vraiment pas. Puis-je avoir un petit peu plus d'aide ?

[LPFR]

Bonjour.
Le champ produit par la distribution de charge de surface est bon.
Pour le champ produit par la charge de volume dans le demi-espace, je vous l'ai dit: divisez le demi-espace en tranches d'épaisseur dz et calculez le champ (dE) produit par chaque tranche.
Puis faites la somme (l'intégrale) de tous ces différentiels de champ.
Au revoir.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Marc_Benford]

Oui je sais, vous l'aviez déjà dit, mais je ne comprends pas comment faire. Je suis vraiment vraiment nul avec les intégrales... Ca a l'air bien facile dit comme ça, "découpez votre demi-espace en tranches, faite l'intégrale, et hop", mais je suis complètement perdu là.
Je ne vois même pas comment calculer le flux ou la charge intérieur à la surface de Gauss pour ne serait ce qu'une seule des surfaces élémentaires (je ne parle même pas de quelle galère ça sera pour sommer toutes les surfaces élémentaires...)

[vaincent]

Oui je sais, vous l'aviez déjà dit, mais je ne comprends pas comment faire. Je suis vraiment vraiment nul avec les intégrales... Ca a l'air bien facile dit comme ça, "découpez votre demi-espace en tranches, faite l'intégrale, et hop", mais je suis complètement perdu là.
Je ne vois même pas comment calculer le flux ou la charge intérieur à la surface de Gauss pour ne serait ce qu'une seule des surfaces élémentaires (je ne parle même pas de quelle galère ça sera pour sommer toutes les surfaces élémentaires...)

Bonsoir,

La réponse de LPFR est inadéquate vu l'énoncé. Il est clairement demandé d'utiliser le théorème de Gauss et non un calcul direct comme il vous le propose. Premièrement la surface de Gauss cylindrique est un très bon choix(le flux passant à travers la surface latérale est bien nul) et elle contient bien une densité de charge(contrairement à ce qu'à dit LPFR). Le champs est effectivement dirigé selon (2ième bon point), sauf en z=0-. Ce qui implique que les flux "bas" et "haut" ne s'annulent pas, ils s'ajoutent car le champs en z=0(=0-) est dirigé suivant . Je te conseille de continuer sur tes calculs initiaux.

[vaincent]

Petit complément : Le flux que tu as calculer est correcte. On se fout du fait qu'il y ai un plan infini chargé, car si z=0 on retrouve . La densité volumique de charge suffit donc à décrire totalement la charge présente. Pour calculer Qint, tu auras besoin de l'élément de volume d'un cylindre(facile à trouver), dont la hauteur s'arrêtera à l'altitude z, l'altitude de M. Si tu sais calculer une intégrale triple(ce qui est très simple en fait, puisque la plupart du temps il suffit simplement de multiplier les intégrales, concernant chaque variable, entre elles), le tour est joué. Ah oui au fait, jette un coup d'oeil à la primitive de !

[LPFR]

Bonjour.
Je tiens à signaler que je ne discute pas avec Vaincent.
Donc, si vous préférez suivre ses indications, faites-le; et ciao ! Ca ne m’empêchera pas de dormir.

Le problème que vous avez est plus fondamental que je ne le pensais. Puisqu'il s'agit de la signification physique du théorème de Gauss et de son utilisation.
Je vous suggère de commencer par lire ces pages:
http://forums.futura-sciences.com/at...aire-nabla.pdf

Comme je vous l'ai déjà dit, le théorème d Gauss n'est utile que si on connait la forme et la dépendance du champ électrique que l'on veut calculer, déduites à partir des critères de symétrie.
Le volume et la surface de Gauss n'existent que pour un nombre très restreint de problèmes. Pratiquement seulement seuls ceux qui sont posés aux débutants en physique.

Su votre volume de Gauss englobe une partie du demi-espace avec des charges, vous n'aurez pas le miroir de symétrie et vous ne saurez pas la relation entre les champs électriques du "couvercle" et de la "basse" du cylindre. Vous ne pourrez pas dire que ces champs sont égaux, et le théorème de Gauss ne vous servira à rien.

Il faut donc décomposer le problème en une infinitude de problèmes de plan infini chargé, puis de faire la somme des champs obtenus.

Avez-vous fait un dessin ? (Le plan chargé, le cylindre, etc.)

Su le dessin, choisissez une tranche du demi-espace et le cylindre symétrique dont le "couvercle est situé au point où vous voulez calculer le champ. Puis appliquez le théorème de Gauss.
Au revoir.

[Marc_Benford]

Re-bonjour.


La prof nous a dit aujourd'hui même qu'il faut utiliser le théorème de Gauss exactement comme j'avais commencé (en prenant comme surface de Gauss un cylindre d'axe perpendiculaire au plan, et dont le couvercle du bas est sur la surface z=0). Donc apparement vaincent a raison (enfin, la méthode de LPFR marche aussi probablement, mais l'énoncé demande précisément qu'on utilise le théorème de Gauss alors bon...).


Mais j'avoue que LPFR a un bon point : le flux sur le couvercle du bas est complètement différent du flux sur le couvercle du haut. Donc j'ai l'impression qu'en réalité le flux que j'ai calculé n'est pas correcte, et je vois vraiment pas comment surmonter ce problème...
J'ai essayé en repartant de ma troisième ligne du calcul du flux dans mon premier post :





Et maintenant on est coincé... Et puis j'ai peut-être aussi fait une erreur de signe avec ces vecteurs normaux à la surface de Gauss, je sais pas...

A moins qu'on puisse déterminer E(0) avec une petite astuce... J'ai pensé à faire tendre z vers l'infini, dans quel cas on aurait E(z) = 0. Puis on voit aisément que la charge totale contenue à l'intérieur du cylindre de hauteur infini est nulle. Et donc d'après le théorème de Gauss on obtient :

Et donc on trouve E(0) = 0 ! Bon par contre je suis pas absolument certain que cette petite magouille soit vraiment juste...



Et quant à la charge intérieur, malheureusement non, je ne maîtrise pas bien du tout les intégrales triples...

[invite21348749873]

Bonjour
La symetrie du probleme lisse penser que le champ est partout normal au plan.
Si on prend un cylindre de hauteur dz à la cote z, le champ du à la distribution volumique sera tel que divE= Rho(z)/eps0 = dEz/dz
Le champ a la cote z du au plan vaut Sigma /eps0
Ez vaut donc -Sigma/eps0 exp(-z/a) et le total: sigma /eps0(1-exp(-z/a))
Ca me semble trop simple pour etre erxact, qu'en pensent les spécialistes?

[Marc_Benford]

Bonjour,
Je ne sais pas si c'est juste, mais en tout cas on a pas (encore) vu en cours l’équation de Maxwell-Gaus ou peu importe comment ça s'appelle le truc avec le divE... Il faudrait pouvoir résoudre le problème normalement avec le théorème de Gauss sans utiliser de trucs trop chelou.

[m236m]

Salut,

L'électromag remonte un peu loin, donc il faudrait vérifier ce que je vais dire...
Tu n'étais pas loin je pense... Quand tu arrives à:

PHI = S*[E(z) + E(0)]
(Je dirai que E(0) est orienté vers le bas...)

Tu as aussi PHI = Qint/Espilon0

Et tu connais Qint, il ssufit d'intégrer ta densité volumique de charge:

Qint = Integrale(rho*dx*dy*dz) = Integrale(rho*dz*dS)
Au passage, comme tu intègres sur x y et z, c'est une intégrale triple, rien de méchant. Comme dS et dz sont indépendantes, tu peux écrire:

Qint = Integrale(dS)*Integrale(rho*dz ) = S*Integrale(rho*dz)
Attention, rho dépend de z donc il doit rester dans l'intégrale sur z.

Je te laisse intégrer rho*dz (entre 0 et z)

Tu as donc au final:
PHI = S*[E(z) + E(0)] = S*Integrale(rho*dz)

Mets z=0 et regarde ce que tu trouves, ça devrait te donner la solution pour le champ magnétique du demi espace chargé

[m236m]

Dans mon post précédent, on trouve E(0)=0 mais ça n'a pas de sens en y réfléchissant...

Au contraire, c'est la que le champ devrait être le plus fort, vu que la densité volumique de charge décroît avec l'altitude. En fait je dirai même que E(0) = Sigma/(2*Epsilon0)

Je m'explique:
Si on prend la densité volumique de charge en z=0, on a:

rho = Sigma/a

Pour avoir la charge totale en z=0, il faut multiplier par un volume, soit S*a
Donc on se retrouve au sol avec une charge totale de Sigma*S (qui est donc une charge surfacique ici)
Ca revient donc à un plan infini chargé et donc

E(0) = Sigma/(2*Epsilon0)

Et c'est toi qui avait raison je pense, E(0) est orienté vers le haut, ça n'a pas de sens qu'il soit vers le bas (j'ai fait ça parce que ça m'arrangeait dans les calculs mais je pense que c'est faux )

Donc il faut bien repartir de l'équation:

PHI = S*[E(z) - E(0)] = S*Integrale(rho*dz)

mais cette fois-ci on sait que E(0) = Sigma/(2*Epsilon0)

[LPFR]

Bonjour.
Je vous déconseille de trop vous concentrer sur le champ pour z=0. Car dans ce plan, le champ à une discontinuité due au plan de charges.
Mais le champ est effectivement nul pour z = 0+. Mais cela aussi c'est du aux données du problème: la relation choisie entre la charge du volume dans le demi-espace et celle de surface dans le plan z=0.
La solution est le champ constant pour z <0 puis un saut du au plan de charge. Puis une exponentielle de constante alpha qui tend asymptotiquement vers la même valeur que le champ pour z <0 mais de signe opposé puisque dirigé vers les z croissants.
Au revoir.

[m236m]

Mais le champ est effectivement nul pour z = 0+.

Ah bon? Il ne devrait pas au contraire avoir une valeur maximale ici? Il est pourtant la somme du champ créé par le plan infini et de celui créé par le demi espace.

[Marc_Benford]

J'ai l'impression qu'il faut poser E(z=0) = 0
Puis on obtient :

Puis pour le demi-espace on trouve :
Pour la surface (plan infini z=0) on obtient :
Pour la charge intérieur total :

Puis pour le champ généré par le demi-espace :
Pour le champ général par la surface (plan infini z=0) :

Et finalement pour le champ total :
(cet expression n'est que valable en z>0)

Généralement pour un plan infini on a qui donne ensuite mais là comme on a prit (un peu arbitrairement) E(z=0) = 0 on ne retrouve pas ces "2" car le flux d'un des couvercles du cylindre de Gauss devient nul...

Je dois rendre ce devoir demain, alors je vais commencer à le rédiger au propre bientôt. Donc si quelqu'un pense que ce que je m'apprête à écrire est complètement faux, qu'il le dise maintenant ou ça sera trop tard.

[LPFR]

Re.
C'est faux. Mais je ne vous donnerais pas les calculs. Je vous ai donné des indication de comment le calculer.
Et même ce que vous devez obtenir.
A+

[Marc_Benford]

Ah non ! En fait je me suis laissé influencer par toutes les autres personnes de ma classe qui m'ont dit de prendre E(0) = 0. Finalement je suis convaincu à 95% que m236m a raison et que E(0) n'est en fait pas égal à zéro !

Reprenons l'expression final de mon dernier message :
En fait en ne prenant PAS E(0) = 0 on a plutôt :

On remplace par l'expression de E(0) qu'a trouvé m236m :


!!
Je pense que c'est ça plutôt la bonne réponse.



Bon par contre maintenant les quelques questions suivantes n'ont plus trop de sense... Puisqu'on demande d'abords "Que peut-on dire de en z=0 ?", puis un peu après ils demandent "Calculer l'intensité du champ électrique et la différence de potentiel entre [...]"
En prenant E(0) = 0, on pouvait répondre "E(0) = 0 et est orienté vers le haut" à la première question, et à la deuxième question on pouvait répondre ""
Mais maintenant je vois pas trop ce qu'on peut répondre à ces deux questions vu que maintenant on a

[Marc_Benford]

Oups, je me suis embrouillé dans mon post précédent. Je voulais seulement parler du champ engendré par le demi-espace (sans le plan infini chargé). Je recommence mes lignes de calculs :



On remplace par l'expression de E(0) qu'a trouvé m236m :



Et voila. Sauf qu'en fait, je crois qu'il y a un tout petit problème. Je crois qu'on devrait trouver 1/2 et non 3/2. Et donc soit on a en réalité pour l'expression de E(0) (avec un signe négatif au lieu d'un signe positif), soit on a en réalité pour l'expression du flux (avec un signe positif au lieu d'un signe négatif).
Qu'en dites-vous ?

[LPFR]

Re.
Je vous signale que le fait que le champ soit nul pour z = 0+ n'est pas une donnée "à priori" mais le résultat obtenu par le calcul que l'on vous demande de faire.
Et ici E(0+) = 0 uniquement parce que la densité volumique de charge vaut (sigma/alpha) exp(...).
Si cette densité avait une autre valeur par exemple (2. sigma/alpha) exp(...), le champ serait nul à un autre endroit que 0+.
A+

[Marc_Benford]

Et où est mon erreur de signe ?

Je crois qu'en fait elle est quelque part dans le calcul du flux...

En ne prenant que le champ engendré par le demi-espace (donc on utilise ce flux que pour calculer le champ créé par le demi-espace, je calculerai le champ créé par le plan séparément avec un différent calcul de flux, puis j'utiliserais le théorème de superposition pour obtenir le champ total) on a :



Et là je crois qu'en fait (contrairement à ce que j'avais fait avant) est orienté vers le bas (vu que, comme on ne prend pas le plan chargé dans ce calcul, toutes les charges qui existent sont positives et sont dans le demi-espace z>0, donc si on avait une particule chargé positivement en z=0 elle serait repoussé vers le bas).
Mais par contre, pour , je n'ai aucune idée de vers où il est orienté... ça dépend de z non ?
Je suis sûr que je suis sur le point de résoudre le problème là, il me faut juste savoir vers où sont orientés ces deux foutus vecteurs pour que je puisse corriger mon erreur de signe...

[invite21348749873]

Bonjour.
Le champ produit par la distribution de charge de surface est bon.
Pour le champ produit par la charge de volume dans le demi-espace, je vous l'ai dit: divisez le demi-espace en tranches d'épaisseur dz et calculez le champ (dE) produit par chaque tranche.
Puis faites la somme (l'intégrale) de tous ces différentiels de champ.
Au revoir.

Bonjour LPFR
J'ai deux questions.
1/ Pourquoi le champ du à la distribution surfacique sigma est il égal à -sigma/2eps0 si sigma est positif et Uz dirigé vers le haut?
2/ Dans le calcul en tranches que vous indiquez, comment justifier que la densité surfacique de chaque tranche à la cote z est égale à la densité volumique a la cote z?
Je comprends intuitivement, mais pas véritablement.
J'ai deux questions

[invite21348749873]

Pour calculer le champ produit à la cote z par le volume infini, on doit integrer (1/2 eps0)(Sigma/a) exp*-(z/a) de 0 à z
Puis integrer la meme expression de l'infini à z changée de signe.
Faisant cela , je trouve que E(M) du au volume est indépendant de z et égal à sigma/2eps0.
Cela vous semble t il correct?

[invite21348749873]

Bonjour
je me permets ce remonter ce sujet dont je souhaiterais connaitre la solution.

[invite21348749873]

Autre tentative..
Quelqu'un peut il me répondre?
Merci par avance.

[mariposa]

Autre tentative..
Quelqu'un peut il me répondre?
Merci par avance.

Bonjour,

Je répond a ton appel.

Ma réponse pourrait être lapidaire: Tout ce qu'a écrit LPFR est juste.

Je vais quand même donner quelques explications.

En pratique le théorème de Gauss peut-être appliqué quand le champ est constant par morceau sur la surface d'integration et ce pour des raisons de symétrie évidente. Il y a 2 cas classique:

1- la distribution sphérique d'une densité de charge cad ne dépendant que de r
2- Le volume parallélipédique infini dans 2 directions (la distribution de surface entre dans ce cas.

Quand on a pas ces 2 cas il faut faire une intégration numérique.

En fait il existe des cas intermédiaires oû l'on peut décomposer la répartition de charges en partitions de volumes "élémentaires" ou l'on peut appliquer a chaque volume élémentaire le théorème de Gauss (Autrement on fait appel a linéarité de la loi de Gauss.

C'est le cas du problème posé dans cet exercice. On découpe le problème en parallélipipèdes infinis suivant x,y et possédant une une charge rho(z).dz au point z ce qui donne un champ contant dEz = rho(z).dz/epsilon.

De là il suffirait d'integrer de 0 à à l'infini poue avoir la contribution Ez de volume,. et ce serait une erreur. En effet le signe de Ez change de chaque coté du plan et donc il faut tenir compte de cela. L'astuce qui m'apparait est de calculer la contribution des volumes vers l'avant que l'on notera Ez(+) en integrant de z à l'infini et la contribution arrière que l'on notera Ez(-) en intégrant de z à zéro.

Le champ sera E(z) = Ez(+) + Ez(-) + la contribution de surface.

[invite21348749873]

Bonjour,

Je répond a ton appel.

Ma réponse pourrait être lapidaire: Tout ce qu'a écrit LPFR est juste.

Je vais quand même donner quelques explications.

En pratique le théorème de Gauss peut-être appliqué quand le champ est constant par morceau sur la surface d'integration et ce pour des raisons de symétrie évidente. Il y a 2 cas classique:

1- la distribution sphérique d'une densité de charge cad ne dépendant que de r
2- Le volume parallélipédique infini dans 2 directions (la distribution de surface entre dans ce cas.

Quand on a pas ces 2 cas il faut faire une intégration numérique.

En fait il existe des cas intermédiaires oû l'on peut décomposer la répartition de charges en partitions de volumes "élémentaires" ou l'on peut appliquer a chaque volume élémentaire le théorème de Gauss (Autrement on fait appel a linéarité de la loi de Gauss.

C'est le cas du problème posé dans cet exercice. On découpe le problème en parallélipipèdes infinis suivant x,y et possédant une une charge rho(z).dz au point z ce qui donne un champ contant dEz = rho(z).dz/epsilon.

De là il suffirait d'integrer de 0 à à l'infini poue avoir la contribution Ez de volume,. et ce serait une erreur. En effet le signe de Ez change de chaque coté du plan et donc il faut tenir compte de cela. L'astuce qui m'apparait est de calculer la contribution des volumes vers l'avant que l'on notera Ez(+) en integrant de z à l'infini et la contribution arrière que l'on notera Ez(-) en intégrant de z à zéro.

Le champ sera E(z) = Ez(+) + Ez(-) + la contribution de surface.

Merci de me répondre.
Le champ elementaire crée par le parallelepipede d'épaisseur dz vaut il rho/ eps0 ou rho/2eps0?

[stefjm]

Merci de me répondre.
Le champ elementaire crée par le parallelepipede d'épaisseur dz vaut il rho/ eps0 ou rho/2eps0?

Je me souviens l'avoir appris par cœur lorsque j'étais petit, justement parce que je n'avais pas compris le raisonnement.
Évidement, depuis que je suis grand, j'ai oublié ce que j'avais bêtement appris par cœur...
Mais la réponse m'intéresse encore.

[invite21348749873]

Je me souviens l'avoir appris par cœur lorsque j'étais petit, justement parce que je n'avais pas compris le raisonnement.
Évidement, depuis que je suis grand, j'ai oublié ce que j'avais bêtement appris par cœur...
Mais la réponse m'intéresse encore.

Ben, le champ des deux cotés d'un plan uniformément chargé, en module, c'est Sigma /2 eps0, il me semble..

[invite21348749873]

...d'un plan infini, bien sûr.