Qu'est ce qu'essayait de faire Dirac?

[invite02232301]

Bonjour,
Je me pose une question reliée à la notion de variété spinorielle semi-historique, semi-physique.
Quand Dirac a introduit la notion de variété spinorielle, qu'est ce qu'il essayait de faire exactement? Notement d'un point de vue physique il essayait de répondre à quelle question exactement? (je sais qu'il s'est interessé à tout cela en essayant de mettre au point l'equation qui porte son nom, et je connais les considerations usuelles qui conduisent à l'introduction de variété spinorielle, mais Dirac lui, pourquoi a t il introduit ses notions? Im me manque une "pièce du puzzle".)

Merci d'avance.
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[mariposa]

Bonjour,
Je me pose une question reliée à la notion de variété spinorielle semi-historique, semi-physique.
Quand Dirac a introduit la notion de variété spinorielle, qu'est ce qu'il essayait de faire exactement? Notement d'un point de vue physique il essayait de répondre à quelle question exactement? (je sais qu'il s'est interessé à tout cela en essayant de mettre au point l'equation qui porte son nom, et je connais les considerations usuelles qui conduisent à l'introduction de variété spinorielle, mais Dirac lui, pourquoi a t il introduit ses notions? Im me manque une "pièce du puzzle".)

Merci d'avance.

Bonjour,

Comme tu le sais Dirac cherche a fabriquer une équation de Schrodinger relativiste.

Il prend la relation de RR E2-P2 = m2

En remplaçant E et P par les générateurs de Translation temporel et spatial ce qui donne l'équation de Klein-Gordon (KG)

Il en résulte des probabilités négatives dont l'origine tient a la dérivée du seconde ordre par rapport au temps

Son idée est d'écrire E2-P2 =(E-P) (E+P) qui introduit des dérivées premières par rapport au temps.

Il a donc 2 équations de Schrodinger:

(E+P + m).F = 0

(E-P + m).F = 0

qui évident ne tiennent pas sous cette forme: (additionner un scalaire et un vecteur!!!!!!.

Il est introduit des "coefficients" qui ne commutent pas (cad des matrices) devant E et P qui doivent assurer l'invariance de Lorentz.

En reconstituant l'équation de KG avec ces "coefficients" il trouve que ces coefficients obéissent a une algébre reconnue comme algébre de clifford.

Comme ces coefficients sont des matrices 4*4 il trouve une fonction d'onde a 4 composantes!!!

C'est donc en suivant une logique physico-mathématique "ordinaire" qu il établit son équation.

Si Clifford n'avait pas découvert son algébre cela reviendrait a Dirac ( néanmoins ses matrices, qui sont une représentation de l'algébre de Clifford portent son nom).

J'espère que cela répond a ta question sur la démarche de Dirac

[invite02232301]

En partie, enfin, pas completement, mais je pense pouvoir intuiter ce qu'il me manque.
En fait, ce que je savais c'est que Dirac cherchait a determiner un opérateur dont le carré donne le Laplacien (ou le D'alembertien) scalaire, et comment cela conduit naturellement a introduire l'algèbre de Clifford associée à la forme quadratique associée. Mais je ne voyais pas pourquoi il cherchait à faire cela.
A lire ce que tu ecris j'ai l'impression que c'est pour ecrire ce découplage de E²-P².

[mariposa]

En partie, enfin, pas completement, mais je pense pouvoir intuiter ce qu'il me manque.
En fait, ce que je savais c'est que Dirac cherchait a determiner un opérateur dont le carré donne le Laplacien (ou le D'alembertien) scalaire, et comment cela conduit naturellement a introduire l'algèbre de Clifford associée à la forme quadratique associée. Mais je ne voyais pas pourquoi il cherchait à faire cela.
A lire ce que tu ecris j'ai l'impression que c'est pour ecrire ce découplage de E²-P².

Tu en fais une lecture avec tes connaissances mathématiques d'aujourd'hui, mais Dirac ne pensait pas comme çà (il faut lire sous livre de MQ). Ce qui posait problème était que la solution de KG devait avoir pour interprétation physique en termes de probabilité (donc nécessairement postive). Comme il trouve des probabilités négatives, il cherche a s'en débarrasser très pragmatiquement.

Dans ce genre de démarche il y avait un précédent qui est celui de Heisenberg qui en interprétant les spectres d"'hydrogène et en essayant de codifier les régles de composition de celles-ci redécouvre les règles de multiplication des matrices qu il ignorait complètement.

C'est donc en partant de considération physiques que Heisenberg et Dirac ont redécouvert l'un l’algèbre des matrices l'autre l’algèbre de Dirac.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite02232301]

Bon je vais aller jeter un oeil sur les papiers originaux du monsieur.
Merci.

[chaverondier]

Je me pose une question reliée à la notion de variété spinorielle semi-historique, semi-physique. Quand Dirac a introduit la notion de variété spinorielle, qu'est ce qu'il essayait de faire exactement? Notment d'un point de vue physique il essayait de répondre à quelle question exactement?

Il essayait de trouver une équation d'évolution de "la" "fonction d'onde" respectant à la fois:

• le principe de superposition (donc la linéarité des évolutions quantiques)
• la relativité via la relation (E/c)² - p² = (mc)²
• le principe de correspondance (impulsion = (-i hbar) opérateur translation spatiale ; énergie = (i hbar) opérateur de translation temporelle
• une équation aux dérivées partielles qui soit d'ordre un seulement vis à vis du temps (1)

Il est à noter que l'introduction d'une représentation spinorielle n'est pas requise. Une représentation qualifiée de tensorielle (a covariant complex four-vector representation), développée par Mayeul Arminjon et objet de publications dans des revues à comité de lecture, est possible et permet d'éliminer des problèmes d'unicité mis en évidence par Mayeul Arminjon quand on s'efforce de trouver une généralisation covariante de l'équation de Dirac dans les espace-temps de la Relativité Générale.

Four-vector vs. four-scalar representation of the Dirac wave function
Mayeul Arminjon, Frank Reifler (last revised 13 Oct 2011) http://arxiv.org/abs/1012.2327v2
version accepted for publication in Int. J. Geom. Meth. Mod. Phys., Vol. 9, 1250026 (2012)

Classical-quantum correspondence and wave packet solutions of the Dirac equation in a curved spacetime,
Mayeul Arminjon, Frank Reifler (Submitted on 29 Sep 2011) http://arxiv.org/abs/1109.6649v1
Text of a talk given at the "Geometry, Integrability & Quantization" Conference, Varna (Bulgaria), June 2011
Journal reference: J. of Geometry & Symmetry in Physics 24 (2011) pp. 77-88

A solution of the non-uniqueness problem of the Dirac Hamiltonian and energy operators
Mayeul Arminjon (last revised 25 Jul 2011) http://arxiv.org/abs/1107.4556v2
Journal reference: Ann. Phys. (Berlin) 523, No. 12, 1008-1028 (2011)

(1) Cette limitation à l'ordre un de la dérivation temporelle permet de faire rentrer, dans l'équation de Dirac, l'hypothèse d'un écoulement du temps unidirectionnel (en correspondance, donc, avec à ce que nous sommes en mesure d'observer à ce jour à notre échelle macroscopique) et d'une évolution future de l'état quantique totalement déterminée par la seule donnée de l'état quantique présent.

[azizovsky]

Bonsoir , l'opérateur de Dirac a un lien avec le théorème d'indice d'Atiyah-Singer:
http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A...e_l'indice.
http://seminariomatematico.dm.unito....o/44-3/317.pdf

[invite02232301]

• une équation aux dérivées partielles qui soit d'ordre un seulement vis à vis du temps (1)

Merci pour cette réponse complete! En fait, j'aimerai revenir la dessus, parce que c'est fondamentalement ce qui m'interesse, et ce que je comprenais à la base aussi.
Pourquoi vouloir un opérateur diff seulement d'ordre 1. J'ai beau chercher, je vois pas ce qui motive cette recherche en fait, j'imagine que c'est pour avoir une equation "de type schrodinger", mais ca reste encore flou pour moi.
Pourquoi vouloir trouver un operateur de Dirac qui soit un operateur differentiel d'ordre 1 en fait, cela correspond à quel imperatif physique, ou autre.

[stefjm]

Il me semble que c'est pour que la seule donnée de l'état permette de prédire la suite?

[mariposa]

Merci pour cette réponse complete! En fait, j'aimerai revenir la dessus, parce que c'est fondamentalement ce qui m'interesse, et ce que je comprenais à la base aussi.
Pourquoi vouloir un opérateur diff seulement d'ordre 1. J'ai beau chercher, je vois pas ce qui motive cette recherche en fait, j'imagine que c'est pour avoir une equation "de type schrodinger", mais ca reste encore flou pour moi.
Pourquoi vouloir trouver un operateur de Dirac qui soit un operateur differentiel d'ordre 1 en fait, cela correspond à quel imperatif physique, ou autre.

Bonjour,

c'est ce que j'ai expliqué dans ma premier reponse.

Une reponse plus courte:

le fondement de la MQ non relativiste c'est:

i.hd/dt F (r,t) = H F(r,t)

Vis a vis de la RR l,operateur translation du temps ,n'est pas traité sur le même pierd que l'opearateur translation spatial. Donc il s'agit de trouver une equation ou ces 4 operzteurs se transforment les uns dansles autres dans une transformation de Lorentz. Dirac etait parti de l'equation de KG et donc...

Voir les travaux originaux de de Monsieur:

les principes de la MQ' chapitre XIII' theorie relativiste de l'electron

edition jacques Gabay


C'est donc d'une part une necessité physique ( une probabilité ne peut-etre negative) et une necessité de coherence mathematique: les operateurs doivent se transformer les uns dans les autres selon les transformation s de Lorentz
'

[ordage]

Bonjour,

c'est ce que j'ai expliqué dans ma premier reponse.

Une reponse plus courte:

le fondement de la MQ non relativiste c'est:

i.hd/dt F (r,t) = H F(r,t)

Vis a vis de la RR l,operateur translation du temps ,n'est pas traité sur le même pierd que l'opearateur translation spatial. Donc il s'agit de trouver une equation ou ces 4 operzteurs se transforment les uns dansles autres dans une transformation de Lorentz. Dirac etait parti de l'equation de KG et donc...

Voir les travaux originaux de de Monsieur:

les principes de la MQ' chapitre XIII' theorie relativiste de l'electron

edition jacques Gabay


C'est donc d'une part une necessité physique ( une probabilité ne peut-etre negative) et une necessité de coherence mathematique: les operateurs doivent se transformer les uns dans les autres selon les transformation s de Lorentz
'

Salut
L'histoire dit que c'est cette possibilité de probabilité négative (le courant de probabilité) qui a motivé Dirac à écarter l'équation de KG et à créer son équation , mais il semble que ce soit un faux problème qui se résout en considérant le que les excitations du champ quantique de l'équation de KG peuvent être un nombre arbitraire de particules (et non pas une seule, ce qui est d'ailleurs curieux si on considère qu'elle obéit au principe d'exclusion).
Par ailleurs, dans sa "linéarisation" de l'équation de KG où les solutions sont des matrices 4x4, le caractère spinoriel (1/2) du champ de matière n'apparait pas explicitement, à moins que ce soit implicite?

Y-a-il une justification physique au fait que les champ de matière (fermions) soient de spin +- 1/2 alors que les champs d'interaction (bosons) sont de spin entiers +-(0,1,..)?
As-tu des précisions là-dessus?

Cordialement

[Ludwig]

Bonjour,

Il a donc 2 équations de Schrodinger:

Salut,

Et pour cause, Schrödinger en avait déjà deux, mais ici on en à éliminé une pour d'obscures considérations sur des énergies négatives.

Cordialement

Ludwig

[azizovsky]

Y-a-il une justification physique au fait que les champ de matière (fermions) soient de spin +- 1/2 alors que les champs d'interaction (bosons) sont de spin entiers +-(0,1,..)?
As-tu des précisions là-dessus?

Cordialement

Salut , une justification physique je ne sais pas , mais il y'a des justification mathématiques ,les symétries spatiales et les symétries temporelles .

[azizovsky]

Salut , une justification physique je ne sais pas , mais il y'a des justification mathématiques ,les symétries spatiales et les symétries temporelles .

les symétrie spatiales consernent les charges du spin : sous ou sans certaines conditions mathématiques ,on leurs attribut +-(n)ou +-(n/2) , et la syméyrie temporele endendre les charges électriques (on attribut un concept mathématique a une entité physique).

[azizovsky]

il y'a deux sémytries spatialles s et S qui engendrent les entités (-n;n) et (-n/2,n/2) et une temporelle T qui donne q.(-,+) , il y' une certaine manière de composer s et T ou S et T,on manipulent toujours un quadriplet :bispineurs ou bi-quaternions ..., c'est une question de représentation des entités physiques .

[azizovsky]

ah oui , j'ai oublié, on peut dire que les nombres quantiques (m)=[degré (de l'equation differentielle)/2]xn (n apprtient à Z/),si deg(eq d)=2 (équation de Klein-Gordon) on'a m=2/2xn=+-1x(n),les equations de Dirac est de degré 1,on'a m=+-1/2x(n), pour une eq di de degré 0 on'a m=0??

[ThM55]

Y-a-il une justification physique au fait que les champ de matière (fermions) soient de spin +- 1/2 alors que les champs d'interaction (bosons) sont de spin entiers +-(0,1,..)?

La distinction "champ de matière" et "champ d'interaction" n'est pas très pertinente. Rien n'empêche de considérer certains bosons comme des "champs de matière". Les pions par exemple sont composés de deux quarks et sont des bosons. Tous les noyaux à nombre pair de nucléons sont des bosons. Par exemple les noyaux des isotopes 2 et 3 de l'hélium sont respectivement des bosons et des fermions. En théorie quantique des champs, on expose parfois la théorie avec comme champ de matière chargée électriquement un champ scalaire, donc un boson de spin 0 (électrodynamique scalaire). Pour des raisons pédagogiques, car on ne doit pas se préoccuper des indices de polarisation de spin dans les amplitudes et les section efficaces, ce qui permet de se concentrer sur l'essentiel de la physique, ou plutôt de séparer ces aspects des autres, jugés accessoires. Ce boson scalaire joue un rôle analogue à celui de l'électron et du positron.

Par contre, il y a bien une classe particulière de bosons: les bosons de jauge, qui sont liés à une exigence de symétrie de jauge locale. C'est ceux là qu'on pourrait appeler champs d'interaction.

Et du point de vue physique, il y a le fait que les états d'une assemblée de fermions sont totalement antisymétriques (deux fermions ne pouvant être exactement dans le même état), alors que ceux d'une assemblée de bosons sont totalement symétriques. Cela a des conséquences macroscopiques, par exemple si le champ électromagnétique peut être observé en tant que champ macroscopique classique, c'est au fond parce que les photons sont des bosons de masse nulle: on peut en avoir un nombre arbitraire qui coexistent dans un état quasiment commun entre eux pour contribuer de manière cohérente à former par exemple une onde progressive.

[ordage]

La distinction "champ de matière" et "champ d'interaction" n'est pas très pertinente. Rien n'empêche de considérer certains bosons comme des "champs de matière". Les pions par exemple sont composés de deux quarks et sont des bosons. Tous les noyaux à nombre pair de nucléons sont des bosons. Par exemple les noyaux des isotopes 2 et 3 de l'hélium sont respectivement des bosons et des fermions. En théorie quantique des champs, on expose parfois la théorie avec comme champ de matière chargée électriquement un champ scalaire, donc un boson de spin 0 (électrodynamique scalaire). Pour des raisons pédagogiques, car on ne doit pas se préoccuper des indices de polarisation de spin dans les amplitudes et les section efficaces, ce qui permet de se concentrer sur l'essentiel de la physique, ou plutôt de séparer ces aspects des autres, jugés accessoires. Ce boson scalaire joue un rôle analogue à celui de l'électron et du positron.

Par contre, il y a bien une classe particulière de bosons: les bosons de jauge, qui sont liés à une exigence de symétrie de jauge locale. C'est ceux là qu'on pourrait appeler champs d'interaction.

Et du point de vue physique, il y a le fait que les états d'une assemblée de fermions sont totalement antisymétriques (deux fermions ne pouvant être exactement dans le même état), alors que ceux d'une assemblée de bosons sont totalement symétriques. Cela a des conséquences macroscopiques, par exemple si le champ électromagnétique peut être observé en tant que champ macroscopique classique, c'est au fond parce que les photons sont des bosons de masse nulle: on peut en avoir un nombre arbitraire qui coexistent dans un état quasiment commun entre eux pour contribuer de manière cohérente à former par exemple une onde progressive.

Bonjour
Je suppose que la distinction que tu fais entre bosons et fermions est fondée sur la statistique à laquelle ils obéissent (soit Bose-Einstein soit Fermi-Dirac?). J'ignorais que les noyaux à nombre pair de nucléons pouvaient être considérés comme des bosons. J'avais réduit la notion de boson aux bosons de jauge.
En tout cas merci pour la précision.

Cordialement

[ThM55]

Oui, il s'agit bien de la statistique: fermions <=> statistique de Fermi-Dirac (découverte par Dirac et attribuée par lui à Fermi) et bosons <=> statistique de Bose-Einstein (découverte par Einstein et attribuée par lui à Bose ).

Il existe un théorème fondamental en théorie quantique des champs, qui dit que les particules de spin entier sont des bosons, et les particules de spin "demi-entier" (on devrait plutôt dire "demi-impair": 1/2, 3/2, ...) sont des fermions. C'est un des grands succès de la théorie quantique des champs relativistes, ce théorème est dû pour l'essentiel à Wolfgang Pauli. La nature du spin décrit en fait le comportement de la fonction d'onde sous les rotations, et plus généralement sous l'action du groupe de Poincaré. Il s'agit de représentations linéaires de ces groupes, et c'est pourquoi la notion de spineur était déjà connue longtemps avant la mécanique quantique, grâce à Elie Cartan.

Ce que Dirac essayait de faire, c'est d'obtenir une équation d'onde de type Schrödinger avec comme corollaire une équation de continuité pour une grandeur définie positive. Schrödinger avait déjà essayé de faire cela en postulant d'abord l'équation de Klein-Gordon. Mais c'était avant le postulat de Born sur la densité de probabilité de présence, et Schrödinger pensait (à tort) que cette équation décrivait la conservation de la charge électrique de l'électron. Il fallait qu'elle conserve le même signe, et selon l'interprétation de Born, qu'elle reste positive. Klein-Gordon a bien une équation de continuité, mais elle ne garantit pas le signe, ce qui était gênant pour Schödinger, puisque pour décrire un électron il faut que la charge garde toujours le même signe (ou pour Dirac une probabilité qui doit rester positive). Donc Schrôdinger a abandonné l'équation de Klein-Gordon et a proposé une équation non relativiste dont on connait le succès.

Dirac a déterminé que la cause de cet échec de Klein-Gordon venait du fait qu'elle était d'ordre 2, et il a "deviné" qu'une équation matricielle d'ordre 1 lui permettrait de trouver une équation de continuité correcte. D'où l'idée de factoriser l'opérateur. Mais on sait que cela ne règle pas le problème des énergies négatives, d'où son idée des "trous" décrit comme des positrons. Un remarquable processus de découverte conduit par l'intuition et le génie.

A notre époque on considère cette approche de la mécanique quantique relativiste comme obsolète. Elle reste toutefois utile pour décrire le spectre relativiste de l'atome d'hydrogène. Mais la façon dont on considère l'équation de Dirac par exemple dans le modèle standard est qu'elle est celle d'un champ classique, covariant, dont on procède à la quantification: la solution n'est donc plus une fonction d'onde, mais un opérateur de création et d'annihilation qui crée des états quantique à nombre quelconque de particules, autrement dit un champ quantique. Les états sont tous d'énergie positive, mais ils comportent à la fois des électrons et des positrons qui sont mis sur un même pied (c'est une symétrie).

[ordage]

Merci pour ces précisions
Cordialement