Dirac' * H = Dirac

[invitea3bd7c5f]

Bonjours, moi et ma classe on a un petit soucis.
Notre enseignant nous a demander de démontrer ceci : Dirac' * H = Dirac
Après nous avoir laissé cogiter, il nous a donné le choix suivant : Soit il nous donne la correction, et on a une autre question a l'examen, soit il ne la donne pas et nous pose la même question durant celui ci.
Trop heureux de connaître une des questions à l'avance nous avons choisi la seconde solution.
Seulement, la tuile, impossible de trouver la solution dans un bouquin.

On sait que Dirac' * H = H' et que la dérivé de l'hamiltonien donne une fonction nul en tout point sauf en zéro où l'on a l'infini.
Or on sait que l'impulsion de Dirac est une sorte de fonction rectangulaire de hauteur infiniment grande et de largeur infiniment petite.

Seulement c'est insuffisant.

Donc si quelqu'un pouvais nous donner la réponse, cela nous aiderai grandement.
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[inviteca4b3353]

Dirac' * H = Dirac

Tu peux décrire un peu mieux ce tu as écrit, parce que la c'est un peu trop hieroglyphique pour moi

[invitea3bd7c5f]

La dérivé de Dirac multiplié par l'hamiltonien est égale à Dirac

[invite9c9b9968]

Hum. Connais-tu un peu les distributions ? Sais-tu ce que donne la dérivée d'une distribution de Dirac ? Ensuite il serait bon de préciser fortement de quoi dépend H ainsi que la distribution de Dirac, parce que dans l'absolu, comme le dit Karibou c'est trop hiéroglyphique (ne croyez pas que je sois contre les hiéroglyphes ceci dit )

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea3bd7c5f]

Je sais que l'impulsion de Dirac n'est pas une fonction mais une distribution.
(Après savoir exactement ce que sa veut dire... Je ne comprend pas grand chose au math donc j'admets que j'apprends par coeur ce que l'on me donne sans toujours comprendre.)
Ensuite pour la dérivé d'une distribution de Dirac, tout ce que je sais, c'est que lorsqu'on la multiplie à une fonction, elle donne la dérivé de cette fonction.

[invite9c9b9968]

Alors pour t'aider sans trop rentrer dans les détails, on définit la distribution de Dirac comme étant une forme linéaire agissant sur l'espace des fonctions C-infinies à support compact (pour les puristes, je sais parfaitement que l'on peut faire mieux mais ça suffit pour la suite ), tel que

que l'on peut aussi noter comme

Par définition, la dérivée d'une distribution agit ainsi :



EDIT : je ne pourrai pas continuer à t'aider ce soir, car je dois y aller. Mais nul doute que d'autres viendront prendre le relais, sûrement bien mieux que moi

Bonne soirée,

G.

[invite43537534]

a chanceux, si j'avais eu la reponse à une question d'exam!
alors voyons de façon général
si T est un distribution alors
<Tprim,phi> = -<T,phiprim> pas besoin de comprendre c'est une définition!
(d'ailleur on peut de monter!)
Venons en à notre démonstration, dans la cas de la fonction d'heaviside;
<H',phi>=-<H,phi'> (notre définition)
or integral(o a +l'infini)phi'dx (définition d'une distribution)=[phi](o à l'infini) ca s'intégre par partie et on trouve phi(o) or d'apres la définition de la dsitribution de dirac
<&,phi>=phi(o) d'ou <H',phi>=<&,phi> cqfd a+

[invitea3bd7c5f]

Oups, boulette (j'suis fatigué moi)
H ce n'est pas l'hamiltonien mais la fonction de heaviside.
Par contre, je sens que dans ce que tu m'a donné, il y a tout mais ce n'est pas très clair. (du moins dans ma tête)
Est ce que tu pourrais me le refaire en plus détaillé?
(sinon c'est pas grave, je vais continué a réfléchir jusqu'à que je comprenne tout)
En tout cas, merci !

[invitea3bd7c5f]

En faite c'est bon je viens de comprendre.
Encore merci !

[invite43537534]

pas grave je reprends, ce qui est entre<> est l'ecriture d'une distribution apliquée à une fonction, exemple si j'applique ma distribution surf j'ecrie:
<&,f>, voila
dans la cas d'une distribution sa derivée est:
<&',f>=-<&,f'> jusque l'a je pense que c'est bon en fait la derivee d'un distribution c'est la derivee de la fonction sur laquelle s'applique la distribution!
ensuite pour ton exercice:
<H',f>=-<H,f'>(je derive!)=-integral(de 0 a l'infini)f dx(definition d'une distribution revois ce que te donne le moderateur, l'integral)
d'ou en integrant par partie cette integrale tu trouve:
<H',f>=-<H,f'>=f(o)=<&,f> (par definition de la distribution de dirac) ok?