Groupe C3

[invite2d0a4474]

Bonjour ,

je dois construire le tableau de caractère C3

le groupe C3 = {E, C3, C3²}
donc c'est un groupe d'ordre 3 , h=3.

On cherche maintenant les classes

- Pour E: On a que E dans la classe de E

- Pour C3 :
E.C3.E=C3
C3.C3.C3² = C3
Donc C3 est seule dans sa classe

- De même pour C3², il est seul dans sa classe.

On dénombre donc 3 classes



D'ou

Ainsi on a trois représentations irréductibles monodimensionnelles

On va passer au remplissage du tableau de caractères :



J'ai pris une première RI d'ordre 1 et totalement symetrique (1 ere ligne avec que des 1)

J'ai compris que donc et j'ai pu remplir la deuxième ligne

mais je ne sais pas comment remplir la ligne de , pourriez vous m'aider s'il vous plaît ?
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[invite7ce6aa19]

Bonjour ,

je dois construire le tableau de caractère C3

le groupe C3 = {E, C3, C3²}
donc c'est un groupe d'ordre 3 , h=3.

On cherche maintenant les classes

- Pour E: On a que E dans la classe de E

- Pour C3 :
E.C3.E=C3
C3.C3.C3² = C3
Donc C3 est seule dans sa classe

- De même pour C3², il est seul dans sa classe.

On dénombre donc 3 classes



D'ou

Ainsi on a trois représentations irréductibles monodimensionnelles

On va passer au remplissage du tableau de caractères :



J'ai pris une première RI d'ordre 1 et totalement symetrique (1 ere ligne avec que des 1)

J'ai compris que donc et j'ai pu remplir la deuxième ligne

mais je ne sais pas comment remplir la ligne de , pourriez vous m'aider s'il vous plaît ?

Bonjour,

Il faut utiliser le theoreme d'orthogonalité des characteres que tu as du apprendre dans ton cours.

[invite2d0a4474]

Re,

je fais donc le produit vectoriel de avec pour obtenir ?

[invite7ce6aa19]

Re,

je fais donc le produit vectoriel de avec pour obtenir ?

Pourquoi le produit vectoriel?

Le théoreme d'orthogonalité de dit que les 3 vecteurs doivent être orthogonaux. Il s'agit donc du produit scalaire qui doit être nul.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite2d0a4474]

J'ai regardé à quoi ressemblait le tableau de C3 sur google. Mais je comprends toujours pas la ligne de X2

[invite47ecce17]

Bonjour,
Tu n'as pas besoin des relations d'orthogonalité entre caractères ici.
Il suffit de remarquer qu'un carractere irreductible de C_3 est un morphisme dans S1 (ce qui n'est pas vrai en general) et le carractère est donc entierement determiné par l'image d'un generateur, qui peut etre 1,j, ou j², a partir de la on déduit facilement tout le tableau en utilisant le fait que ton carractere est un morphisme.

[invite2d0a4474]

C'est quoi S1 ? L'algèbre c'est pas ma tasse de thé en fait. Tu n'as pas une autre explication plus simple ?

[invite47ecce17]

S1 c'est l'ensemble des nombre complexes de module 1.
Sais tu qu'une representation irreductible d'un groupe fini abélien est de degré 1 (c'est essentiellement le lemme de Schur) ?
Si oui, alors il est facile de voir que le carractère d'une representation de degré 1 "est" la representation elle meme (ecrite dans une base la matrice de r(g) est une matrice 1x1 et sa trace c'est le nombre qu'il y a dedans). Tu as donc t(g)=r(g) et donc t(g^k)=t(g)^k (ou j'ai noté t le caractère de r).
Comme tous les elements du groupe cyclique d'ordre 3 s'ecrivent g^k, ou k=0,1 ou 2 avec g un generateur du dit groupe (ce que tu appelle C_3, enfin tu appelles C_3 deux choses differentes mais bon), il te suffit de te donner l'image de g par t, qui doit necessairemetn valoir 1,j ou j² (j etant e^{2i\pi/3}), a partir de là t(g^2)=t(g)^2 et t(g^0)=1, et tu as fini.

Le seul point a noter est donc le point que tes carractères sont en fait linéaires (i.e t(gg')=t(g)t(g') et ceci parce que ton groupe C_3 est abélien et que donc ses carractères irreductibles sont linéaires parce que ses representations irred sont de degré 1.

Est ce plus clair?

[invite47ecce17]

Tu peux (encore plus simple) remarquer egalement que g^2=g^{-1} (ou g designe toujours un generateur de C_3), et donc t(g^2)=t(g)^\bar.
Encore une fois tu n'as qu'a choisir l'image de g par t, et tu en deduis toutes les autres (les deux autres quoi, et en fait vraiment la seule autre parce que g^0, tu sais toujours son image).

[invite2d0a4474]

Oui merci mais ça je l'avais compris. C'est comme ça que j'ai construit X1. Mais pour X2 on fait pareil alors ?

[invite47ecce17]

Ben X2 correspond au dernier choix pour t(g)... j².

[invite2d0a4474]

Ah parce que pour la ligne de X1 j'avais pris t(g) = j . Donc t(g) = soit 1 soit j ou soit j² ?

Aussi , je remarque que les 3 vecteurs ne sont pas orthogonaux car le produit scalaire n'est pas nul entre ces vecteurs caractères , est ce normal ?

[invite47ecce17]

Ah parce que pour la ligne de X1 j'avais pris t(g) = j . Donc t(g) = soit 1 soit j ou soit j² ?

Bien sur puisque t(g)^3=1

Aussi , je remarque que les 3 vecteurs ne sont pas orthogonaux car le produit scalaire n'est pas nul entre ces vecteurs caractères , est ce normal ?

Soit tu fais mal ton calcul soit tu ne sais pas que 1+j+j²=0

[invite2d0a4474]

ben ( 1 , 1 , 1) . (1, e^(2i pi/3) , e^(-2i pi/3) ) = 3 , non ?

[invite47ecce17]

Non, ca fait 0. C'est ce que je viens de t'ecrire au dessus, ca vaut 1+j²+j, qui vaut 0.

[invite2d0a4474]

Ah oui pardon. j'ai effectivement mal fait mon calcul.

Mais (1, e^(2i pi/3) , e^(-2i pi/3) ) . (1, e^(-2i pi/3) , e^(2i pi/3) ) = 3 , non ?

[invite47ecce17]

M'enfin! Fais donc le calcul, ca fait 1+j²+j^4=1+j²+j=0.

[invite2d0a4474]

(1, e^(2i pi/3) , e^(-2i pi/3) ) . (1, e^(-2i pi/3) , e^(2i pi/3) ) = =1*1 + 2 * [e^(2i pi/3) * e^(-2i pi/3)] = 1 + 2 * e^0 = 3 ou alors je suis très fatigué

[invite47ecce17]

Le produit scalaire (x1,x2,x3).(y1,y2,y3) vaut somme des x_i y_i^\bar et pas somme des x_i y_i.
(parfois certains auteurs mettent la conjugaison sur les x au lieu des y).

[invite2d0a4474]

ah ok donc mon calcul irait pour calculer la norme du vecteur et on retrouverait bien 3 pour la norme de X1.
Merci bien pour ton aide ! ça m'a bien aidé à comprendre !