la relativite et la rapidite

[banankerdi]

Bonjour,
Comment je peux calculer les transformations de Lorentz de l'enrgie et de l'impulsion d'un referentiel S a un referentiel S' d'une particule dont la vitesse est
V=v ez par rapport au referentiel S?

Merci d'avance.
-----

[mariposa]

Bonjour,
Comment je peux calculer les transformations de Lorentz de l'enrgie et de l'impulsion d'un referentiel S a un referentiel S' d'une particule dont la vitesse est
V=v ez par rapport au referentiel S?

Merci d'avance.

Bonjour,

Tu pars d'un referentiel au repos R°. Par une transformation de Lorentz parametrée par Vz tu as un nouveau repere qui estS dans tes notations. Le quadrivecteur de ta particule est : m.c2,0,0, Pz.

Pour aller dans ton repère S' tu appliques une transformée de Lorentz a ce quadrivecteur qui decrit ta particule dans le repère S'

[banankerdi]

merci pour votre explication
j'ai la reponse
E'=γ(E-Vpz)
p'=γ(pz-VE)
mais je ne les comprends pas!

[Amanuensis]

Déjà, le quadrivecteur énergie-impulsion d'une particule de masse m et de quantité de mouvement (non nulle) Pz ez dans un référentiel donné n'a pas usuellement pour coordonnées (mc², 0, 0, Pz). Passons...

Ensuite, étant données les coordonnées de l'énergie-impulsion dans système de coordonnées inertiel S (plutôt qu'un référentiel), ses coordonnées dans un autre système de coordonnées inertiel S' s'obtiennent en appliquant une matrice 4x4, représentant une transformation de Lorentz. Cette matrice dépend de la vitesse de S' exprimée dans S. Or dans la question telle que posée, il n'est pas précisé quelle est cette vitesse, ni même qu'elle soit colinéaire à ez.

Si on veut être plus précis, faudrait affiner la question, et préciser la relation entre S et S', ainsi que certaines conventions.

E'=γ(E-Vpz)
p'=γ(pz-VE)

Cette formule correspond au cas particulier où S' a V ez pour vitesse relative à S, et S et S' partagent les coordonnées x et y. (En particulier, la vitesse de la particule et celle de S' sont colinéaires quand exprimées dans le système S.)

De plus, les unités sont telles que c=1. En effet, on vérifie aisément que la seconde ligne n'est pas homogène (le produit d'une vitesse par une énergie n'est pas une quantité de mouvement), et donc n'est valide que s'il y a un coefficient homogénéisateur "caché" (ici un 1/c²) qui vaut 1.

gamma est alors tel que gamma² = 1/(1-V²).

La formulation correcte devrait être

E'=γ(E-Vpz)
pz'=γ(pz-VE)
px'=0
py'=0

ce qui fait apparaître toutes les coordonnées, ainsi que l'expression complète de la transformation de Lorentz.


Notons au passage que dans le système S E = gamma' m si m est la masse de la particule, et on a E²-Pz²=m² ; d'où gamma'² = 1/(1-Pz²/E²). (On a aussi gamma'² égal à 1/(1-vz²) avec vz ez la vitesse de la particule exprimée dans le système S).

[A voir en vidéo sur Futura]

[mariposa]

Déjà, le quadrivecteur énergie-impulsion d'une particule de masse m et de quantité de mouvement (non nulle) Pz ez dans un référentiel donné n'a pas usuellement pour coordonnées (mc², 0, 0, Pz). Passons...

Bonsoir,

Pourquoi passons......?

Ce que j'ai écrit là c'est une erreur que je n'ai pas pu corriger, a cause d'une coupure internet.[/QUOTE]

[mariposa]

merci pour votre explication
j'ai la reponse
E'=γ(E-Vpz)
p'=γ(pz-VE)
mais je ne les comprends pas!

Bonsoir,

Pour comprendre ce que tu fais il faut revenir a un problème plus simple:

Tu remplaces une transformation de Lorentz par une rotation dans un plan.

Ta question revient a dire:

Repère initiale x, y

j'ai un vecteur initial de composantes (1,0)

Si tu fais une premier rotation teta (changement de repère)

Le même vecteur a pour composante (a,b) = R(teta) (1,0)

R(teta) est une matrice 2*2 qui agit sur un vecteur colonne.

Si tu fais une deuxième rotation alpha (changement de repère)

le toujours même vecteur aura pour composante (c,d).R(alpha)(a,b)

C'est cela qu il faut comprendre: la différence est simple, il s'agit dans ton cas de rotations dans un espace a 4 dimensions avec une précision est que la norme d'un vecteur doit respecter la règle suivante:

[mc2]2 = E2- [P.P.c2]

P.P c'est la norme d'un vecteur P.

[Zefram Cochrane]

Soit un observateur stationnaire dans une station spatiale O
un observateur mobile dans un vaisseau O'
un observateur test dans un chasseur O''

au coordonnées x = x' =x'' = 0 ; t = t' = t'' = 0
Le chasseur s'écarte de la station à la vitesse w ;
le chasseur s'écarte du vaisseau à la vitesse w' ;
le vaisseau s'écarte de la station à la vitesse v ;

Du point de vue du chasseur sa vitesse relative par rapport à lui même étant nulle, w'' = 0 ,
son énergie est uniquement définie par son énergie de masse


du point de vue de O' (indice haut) du vaisseau, O'' (indice bas)va avoir une énergie de masse E' mais aussi une impulsion P' et d'après la loi de conservation du quadrivecteur Energie – Impulsion :

Du point de vue de O , O'' va avoir une énergie de masse E et une impulsion P , et donc :


La même loi donne également



Comme le vaisseau s'éloigne à vitesse constante de la station, il existe deux coefficients A et B qui vont dépendre de la vitesse d'éloignement du vaisseau par rapport à la station









Pour , .

Et :





En reprenant

on en déduit que












Nous avons finalement :



La démo mériterait qu'on démontre l'invariance du quadrivecteur Energie-impulsion en RR.

[azizovsky]

Bonjour , à ZC : on démontre l'invariance du pseudo-norme du quadi-vecteur énergie-impulsion non pas l'invariance du quadi-vecteur énergie-impulsion , tous ce que tu a démontré ,on peut l'avoir facilement en partant des TLs des quadri-vecteurs

E'=Y[E-vP(z)]
P'(z)=Y[P(z)-v.E]
P'(x)=P'(y)=0 , c=1

E'-P'(z)=V(1+v/1-v)(E-P(z))
E'+P'(z)=V(1-v/1+v)(E+P(z))

ET à partir du pseudo-norme ou la relation E²-P²=m² <==> Y²-p²/m²=1 ,on peut retrouver tes relations ...



en plus , ""dans un référentiel où la particule est au ropos"" , cette notion n'a de sens que pour des particules massives ,pour des particules de masses nulle (le photon) le référentiel propre n'existe pas puisque la particule n'est au repos dans aucun référentiel , sa vitesse valant toujours c .

je n'ai pas lu tous ..

[mariposa]

Soit un observateur stationnaire dans une station spatiale O
un observateur mobile dans un vaisseau O'
un observateur test dans un chasseur O''

La démo mériterait qu'on démontre l'invariance du quadrivecteur Energie-impulsion en RR.

Bonjour,

Je n'ais compris la philosophie de ton intervention.

Ta question est bien posée, tes calculs sont justes, mais je ne comprends pas la question finale a partir du moment ou tu as utilisé cette formule.

C'est comme si tu avais utilisé la loi de Newton et en clôture tu poserais la démonstration de celle-ci.

[azizovsky]

Bonjour, L`Invariance du pseudo-norme a partir de
E'-P'(z)=A(E-P(z))
E'+P'(z)=B(E+P(z))

(E'-P'(z))(.E'+P'(z))=(E-P(z)(E+P(z))===E'2-P'2=AB.E2-P2 ====>AB=I

[Zefram Cochrane]

Bonjour à tous,
Normalement on établit les TL pour en déduire la Loi de conservatation du quadrivecteur Energie-Impulsion.
Ici j'ai fait l'opération inverse pour aider banankerdi. Je voulais savoir s'il existait d'autres méthodes pour la déduire.
Quels considérations de base devrions nous avoir?

Cordialement,
Zefram

[Amanuensis]

Normalement on établit les TL pour en déduire la Loi de conservatation du quadrivecteur Energie-Impulsion.

TL et conservation n'ont rien à voir. Vous introduisez très inutilement de la confusion sur ce fil.

[mariposa]

Bonjour à tous,
Normalement on établit les TL pour en déduire la Loi de conservatation du quadrivecteur Energie-Impulsion.
Ici j'ai fait l'opération inverse pour aider banankerdi. Je voulais savoir s'il existait d'autres méthodes pour la déduire.
Quels considérations de base devrions nous avoir?

Cordialement,
Zefram

Decidemment il y a une épidémie de TL sur Futura. Il va falloir trouver un vaccin

[Zefram Cochrane]

DSL what's thé Dick Wirth TL?

[azizovsky]

TL et conservation n'ont rien à voir. Vous introduisez très inutilement de la confusion sur ce fil.

tu'as raison , dès le début j'ai dit à ZC .

[Zefram Cochrane]

Bonsoir,

Désolé si j'induis en erreur mais en partant de



on a :


Et donc


Après on pose
on a
et

d'où :

Reste à démontrer je crois pour obtenir la Loi de conservation du quadrivecteur Energie-Impulsion
qu'au repos,

Je veux bien que l'on m'explique
Cordialement,
Zefram

[banankerdi]

Bonjour,
je veux vous remercicier de cette explication mais je suis un petit peu perdu par les indices
Donc je veux essayer de calculer la rapidite comment je peux commencer?
grand merci.

[Amanuensis]

je veux vous remercicier de cette explication mais je suis un petit peu perdu par les indices
Donc je veux essayer de calculer la rapidite comment je peux commencer?

On voit bien "rapidité" dans le titre, mais ce concept n'apparaît pas dans le texte du message #1, qui parle d'énergie-quantité de mouvement.

Pourriez-vous reformuler le sujet de ce fil, et en particulier en fonction de quoi cherchez-vous à "calculer la rapidité"? En fonction des composantes de l'énergie-quantité de mouvement?

-----

Remarque: Mieux vous préciserez la demande, plus les réponses seront adaptées et ciblées. A contrario, une demande vague peut entraîner, surtout sur le sujet de la RR, des réponses dans tous les sens, reflétant plus les intérêts particuliers des répondeurs que la question posée.

[banankerdi]

Bonjour,
Oui exactement.
merci

[Amanuensis]

Si on garde les conventions mentionnées plus tôt (en particulier c=1), et en partant de (E, 0, 0, p_z) comme coordonnées pour l'énergie impulsion, la vitesse 3D a pour composantes (0, 0, v_z) avec v_z = p_z/E. On en déduit que la rapidité (angle hyperbolique entre (1,0,0,0) et (1,0,0,v_z)) est argth(v_z)=argth(p_z/E).

[banankerdi]

Y a t-il une definition qui dit que la rapidite η=1/2(ln(1+v)/(1-v)) ?

[Amanuensis]

Y a t-il une definition qui dit que la rapidite η=1/2(ln(1+v)/(1-v)) ?

Pas une question de définition. C'est une propriété mathématique générique que argth(z) = 1/2(ln(1+z)/(1-z)) pour z réel dans ]-1, 1[, cf. https://fr.wikipedia.org/wiki/Tangen....C3.A9ciproque

Définir la rapidité par argth donne une meilleure idée de sa signification (un angle hyperbolique...).

[banankerdi]

D'accord,
mais comment peut-on monter que la rapidite =argth(vz)?
y a t-il une methode?

[Amanuensis]

C'est la définition! (Cf. https://fr.wikipedia.org/wiki/Rapidi...tivit%C3%A9%29)

L'intérêt de la rapidité est que la composition de vitesses (u,v) -> (u+v)/(1+uv) se réécrit comme l'addition des rapidités. Ce qui se démontre mathématiquement.

[Géométriquement, l'angle hyperbolique entre (1, 0, 0, 0) et (1, 0, 0, (u+v)/(1+uv)) est la somme de l'angle hyperbolique entre (1, 0, 0, 0) et (1, 0, 0, u) et l'angle hyperbolique entre (1, 0, 0, u) et (1, 0, 0, (u+v)/(1+uv)), et ce dernier vaut argth(v).]

[banankerdi]

j'ai cherche sur Wikepedia
mais j'ai entre mes mains un cours qui definit:
E+Pz=m exp(η);
E-pz=m exp(η);
E=m cosh η; pz=m sinh η;
η=1/2ln(E+Pz)/(E-Pz);

[Amanuensis]

Toutes équations compatibles avec ce que j'ai indiqué (ainsi que, si oubliée, E²-pz²=m², physiquement "la pseudo-métrique carrée de l'énergie-impulsion est la masse au carré"). Les formules se déduisent les unes des autres mathématiquement.

Quelle est la question?

PS: Doit y avoir un - qui manque quelque part dans les formules...