Calcul de contrainte dans un tube

[harmoniciste]

Bonjour,
Le calcul d'un tube du bâti moteur de mon autogire en construction me cause quelques soucis. Peut-être pourriez vous m'aider?
Ce tube en acier de diamètre 20 mm, d'épaisseur 1,5mm, de longueur 550, est malheureusement arqué selon une flèche de 40mm pour contourner un obstacle. Pourra-t-il supporter une charge de compression ultime de 190 daN entre ses extrémités?
Je peux facilement connaitre le moment fléchissant: 190 daN x 40 mm et la contrainte donnée en simple flexion plane: 21 daN/mm2. Mais la contrainte axiale bouleverse probablement ces résultats, non?
Merci par avance pour votre aide.
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[sitalgo]

B'jour,

Il suffit d'ajouter les deux contraintes de compression, par flexion et par compression simple..

[Jaunin]

Bonjour, Harmoniciste,
Pourriez-vous faire un petit croquis avec la position de la flèche de la forme arquée.
Cordialement.
Jaunin__

[harmoniciste]

Bonjour Jaunin.
Le tube est quasiment en arc de cercle et la flèche maxi est donc au milieu.

Sitalgo, L'addition des deux contraintes, quand la flèche en charge est connue, est sans doute correcte. Mais qu'en est-t-il du flambage ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[sitalgo]

Regarde déjà si ça passe avec suffisamment de marge.
Après si tu veux calculer la charge limite d'Euler, sachant que y"=M/EI, tu résouds y"=F(y+yo)/EI.

[harmoniciste]

La limite élastique de l'acier doux serait juste atteinte, puisque 3 daN/mm2 + 21 daN/mm2 = 24 daN/mm2. Mais je crois savoir qu'un tube élancé peut flamber bien avant. Comment savoir si ce n'est pas le cas ici ? Je ne saisi pas la démarche de ta deuxième phrase. Pourrais-tu me détailler avec E = 210.000 N/mm2, I= 0,38 cm4? (J'étais électricien !)
Merci.

[Jaunin]

Bonjour, Harmoniciste,
J'ai fais une petite simulation de votre tube acier de diamètre extérieur de 20 [mm].
Comme je ne connais pas les conditions de fixation de votre tube, j'ai admis un coté fixé et celui de la charge libre.
Dans ces premières conditions j'ai une contrainte de 222 [MPa] sur les surfaces courbées du tube et un déplacement de 10.5 [mm] du coté de la charge.
Cordialement.
Jaunin__

[sitalgo]

La valeur que tu trouves, ainsi que la simulation de Jaunin que je salue, montre que tu n'as pas de marge. Pas besoin d'aller plus loin.
Finalement, pour le flambage, pas besoin d'Euler, c'est déjà flambé.
Il faut préciser les fixations pour Jaunin.

[harmoniciste]

Merci, Jaunin
On peut considérer ce tube fixé par rotule à chaque bout. Que deviendrait alors la flèche sous charge? 40 + 10.5 ?

Sitalgo, Je ne saisi pas bien ta certitude concernant le flambage, celui ci n'étant lié qu'au module d'élasticité , si j'en crois mes souvenirs.

[sitalgo]

La méthode d'Euler sert pour les poutres droites. On obtient une charge critique dont on sait par expérience qu'elle est sous-estimée. Si ton tube était droit, ce serait la valeur maximum possible, mais ton tube est coudé.
A cause de ce coude le moment à encaisser devient dès le départ très important par rapport à la charge d'Euler et c'est surtout cela qui va limiter la charge.

Si on veut pinailler, il faut reprendre la formule que j'ai donnée au départ sachant que yo est en fait yo(x) c'est à dire l'équation de la forme de ton tube. S'il y a un volontaire, qu'il se manifeste !

[harmoniciste]

Bonsoir sitalgo
Si j'ai bien compris, le moment fléchissant important dû au coude initial détermine seul, par l'atteinte de la limite élastique du matériaux, l'effort de compression maxi admissible. Cela, et le résultat de Jaunin, me rassure de n'avoir pas à me préoccuper d'une éventuelle divergence de la flèche avant cette limite.
Merci beaucoup pour votre aide

[sitalgo]

Le calcul du flambement sert à déterminer une valeur au-delà de laquelle une instabilité s'installe, ce qui ne veut pas dire qu'il n'y a pas de déformation en-dessous.
Au départ de l'action on est censé avoir un moment nul. Ce n'est pas le cas s'il y a un coude, le moment rend le calcul d'Euler (ou d'un autre) plus secondaire voire négligeable. Difficile de fixer une limite mais on peut faire par approximation successives.

Cela étant, 222 MPa et 10,5 mm de flèche, c'est trop.

[Jaunin]

Bonjour, Harmoniciste,
Avec les très bonne explication de Sitalgo, que je salue, on ne voit pas bien votre flambage, en tout cas pour moi.
Vous dite que votre tube est maintenu par des rotules, on ne sait pas comment il peut se déplacer, si il maintenu "verticalement", dans ce cas il n'y a pas de flambage au sens propre comme l'a expliqué Sitalgo, on serait en compression simple.
Pour la simulation il faut peut être que je craie des butées
Cordialement.
Jaunin__

[harmoniciste]

Bonjour Jaunin,
Le tube est en appui simple sur une rotule à une extrémité (pas d'encastrement) et une rotule à l'autre extrémité le contraint en simple compression. Il n'est pas maintenu sur sa longueur et rien ne l'empèche donc de "flamber" si la contrainte s'avère trop élevé, eu égard à sa longueur . Sans aucune charge, il est coudé initialement et présente une flèche de 40mm. Ma question est: Résistera-t-il à une compression de 190 daN (Pas de déformation permanente)
Je crois comprendre de vos propos que ce tube tiendra, puisque la flèche atteinte restera stable sous l'effort et que la contrainte sera proche de la limite élastique (25 daN /mm2), sans toutefois la dépasser.