[RDM] Contrainte dans les parois d'un réservoir hexagonal

[kidpaddle2]

Bonjour,

Je dois calculer la contrainte maximale expérimentée par un réservoir hexagonal (une simple extrusion hexagonale creuse) en fonction de la pression du gaz contenu. Après plusieurs essais de 1ère loi de Newton+free body diagram je n'arrive toujours pas à trouver un résultat cohérent (je trouve une contrainte égale ou inférieure à celle d'un cylindre qui est pourtant normalement l'optimum).

Quelle est la bonne méthode pour trouver l'équivalent du bien connu sigma=pr/e des réservoirs cylindriques pour ce prisme hexagonal? Pouvez-vous la détailler?

Merci d'avance.

Bien cordialement,
Kidpaddle2

P.S: Je suis persuadé que cette réponse profitera à quelqu'un d'autre aussi, il n'y a aucune piste sur tout internet...
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[LPFR]

Bonjour.
Je pense que cela dépend au diamètre du cylindre auquel vous comparez.
Si le diamètre est celui entre le centre des côtés, alors la contrainte est la même.
Si vous comparez avec un diamètre égal à la distance entre arêtes la contrainte est divisée par cos(30°).
Au revoir.

[kidpaddle2]

Merci de votre réponse. C'est exact, j'ai oublié de préciser, je comparais avec un cylindre inscrit.
Comment la contrainte maximale peut-elle être la même alors que les coins sont des interfaces qui subissent très certainement une concentration de contrainte (intuitivement, les coins s' "ouvriront" sous la pression) ? Comment calculer cette contrainte?

[LPFR]

Re.
C'est vrai qu'aux arêtes il y a une contrainte d'un autre type que la simple traction.
Mais c'est un problème pour "grandes personnes" comme Jaunin , que je salue.
Peut-être qu'il lira votre question et qu'il se penchera dessus.
Ce n'est aps mon domaine et je ne saurais pas par où commencer à modéliser le "redressement des coins".
Au "pif", la contrainte de traction va se concentrer du côté interne de la pliure ou soudure ce qui diminuera la résistance globale.
A+

[A voir en vidéo sur Futura]

[Jaunin]

Bonjour, LPFR,
Heu, oui, oui,

"grandes personnes" comme Jaunin

,
Je vais essayer de voir ce que cela donne, mais je pense que je vais obtenir une représentation comme celle que vous avez décrite.
Cordialement.
Jaunin__

[Jaunin]

Bonjour, LPFR, Kidpaddle2,
Désolé, quelques soucis de connexion à FS.
N'ayant quasiment pas d'information et de données, je suis parti sur un tube octogonal de 400 [mm] de diamètre intérieur avec une épaisseur de parois de 2 [mm] en acier et de 500 [mm] de haut.
J'ai mis une pression interne de 1 [bar].
J'ai simplement bloqué les extrémités.
J'ai des contraintes très élevées dans les jonctions des parois ~5 fois la limite élastique.
J'ai aussi un gonflement au centre des parois de 5 [mm].
Je ne connais pas non plus comment est fermé ce réservoir, donc je n'ai pas de pression dans ce sens et comment il est fabiqué.
Cordialement.
Jaunin__

[kidpaddle2]

Merci de vos réponses, en particulier d'avoir réellement modélisé le problème!

Entre temps j'ai aussi simulé avec SolidEdge Express FEM et obtenu ceci:
- Cas: Extrusion hexagonale creuse de côté 15mm, épaisseur 1mm de hauteur 50mm, fermée à ses extrémités par deux couvercles d'épaisseur 2mm. Matériau Aluminium 6061-T6, pression intérieure 2bars et extrémités encastrées.
- Résultats: Contrainte maximale, 17MPa, renflement des parois de 3micromètres (ça, ça me paraît bizarre).
En modifiant le problème avec votre cas, j'obtiens le même ordre de grandeur (4 fois la limite élastique).

Est-ce que ce genre d'étude est véritablement représentatif de la réalité? N'y a-t-il pas de méthode analytique relativement simple pour éviter les itérations?

[Jaunin]

Bonjour, Kidpaddle2,
Je vais essayer, dans un moment, de refaire votre réservoir hexagonal de 15 [mm] par coté, il est tout petit.
Cordialement.
Jaunin__

[LPFR]

Bonjour.
Sans faire de simulation et simplement au "pif", je suis près à parier un café, qu'un tel dispositif tient plusieurs bars avant de dépasser la limite élastique.
Prenez une cornière en alu de 15 mm, 50 mm de long et 1 mm d'épaisseur. Essayez de l'ouvrir à la main jusqu'à la déformer. Quelle force faudra-t-il faire ? Moi, j'ai besoin d'un étau et d'une pince.
Au revoir.

[Jaunin]

Bonjour, Kidpaddle2,
J'ai refait votre réservoir, comme il est extrudé, j'ai mis un petit rayon sur les angles intérieurs et extérieurs.
J'ai un peu plus que vous sur la contrainte, soit 23.8 [MPa] et une déformation de même grandeur, soit 3.45*10^-3 [mm].
Bonjour, LPFR,

Moi, j'ai besoin d'un étau et d'une pince.

Moi, pas.
Non, je rigole.
Cordialement.
Jaunin__

[LPFR]

Bonjour.
J'ai fait un calcul "à la louche" et je trouve aussi le même ordre de grandeur (33 MPa).
Par contre, d'après Wikipedia la limite élastique d'un alliage d'aluminium se situe au delà de 400 MPa.
C'est à dire, très loin des tensions que vous avez trouvé.
Il n'y a pas de déformation plastique.
Cordialement,

[chaverondier]

Quelle est la bonne méthode pour trouver l'équivalent du bien connu sigma=pr/e des réservoirs cylindriques pour ce prisme hexagonal?

Vous pouvez bien sûr considérer les parois planes du réservoir comme des plaques encastrées dans les angles de l'hexagone. En effet, la tangente à la déformée de la paroi reste horizontale par raison de symétrie hexagonale de la géométrie et du chargement du réservoir. On a donc :

• des plaques de portée R, R désignant le rayon du cercle circonscrit à l'hexagone
  (l'hexagone tracé à l'intérieur du réservoir si on veut pinailler puisque l'on applique une pression interne)
• se comportant comme des poutres encastrées de module de flexion I/v = Delta_H e²/6
  (où Delta_H désigne une petite fraction de hauteur de réservoir soumise à la pression p)
• soumises à une charge répartie F = p R Delta_H

D'où la contrainte de flexion dans la paroi du réservoir au niveau où la pression s'élève à p

• dans les angles sigma_f_angle = (FR/12)/(Delta_H e²/6) = (1/2) p(R/e)²
• à mi-distance entre les angles sigma_f_milieu = (FR/24)/(Delta_H e²/6) = (1/4) p(R/e)²

On peut fignoler un peu en calculant les petites contraintes de traction et de cisaillement obtenues par équilibre d'effort suivant la direction radiale (et prise en compte du fait que la résultante effort tranchant + effort normal aux extrémités des parois planes est perpendiculaire au rayon du cercle par raison de symétrie), mais ces contraintes sont faibles.

• effort tranchant T = F/2 dans les angles, d'où la contrainte de cisaillement dans les angles : tau = F/(2 Delta_H e) = pR/(2e)
  (il s'agit de la contrainte de cisaillement moyennée dans l'épaisseur, sinon application du facteur habituel de majoration 3/2 pour les poutres cisaillées de section rectangulaire)
• effort normal N = T/tg(30°) = T 3^(1/2) d'où sigma_n = T 3^(1/2)/(2 Delta_H e) = 3^(1/2) pR/(2e) soit : sigma_n = pR/e - 13%

La contrainte de von Mises dans les angles prenant en compte ces 3 contraintes vaut donc :
sigma = ((sigma_f_angle + sigma_n)²+3 tau²)^(1/2) donc sensiblement égale à sigma_f_angle + sigma_n, soit

sigma = 1/2 p (R/e)² + 0.87 p R/e

Pour

• Rext = 15 mm,
• e = 1 mm,
• p = 0.2 MPa,
• E = 72 000 MPa
• R = Rext - e = 14

sigma = 0.5 x 0.2 x 14² + 0.87 x 0.2 x 14 = 22 MPa au lieu de votre résultat de 17 MPa
(Vous avez 22% de moins que moi pour une raison que j'ignore)

Flèche f des parois correspondant à celle d'une poutre uniformément chargée encastrée à ses deux extrémités
f = FR^3/(384 E I)
f = (1-nu²)p R^4/(384 E e^3/12) ((1-nu²) rigidification due à l'effet plaque)
f = (1-0.33²)x 0.2 x 14^4/(32 x 72 000 x 1^3) = 3 microns, comme vous.

Pour le couvercle, vous avez sensiblement un disque uniformément chargé en appui sur son bord. En effet, seuls les angles donnent lieu à un effet d'encastrement (les parois du réservoir sont fines donc souples donc peu d'effet d'encastrement et au contraire un effet de concentration dans les angles).

Vous trouverez la bonne formule d'un disque uniformément chargé en appui sur son bord dans le Roark (accessible via Mathcad par exemple quand cette option y est installée).
Un ordre de grandeur très grossier de la contrainte de flexion du couvercle devrait être je pense : p (R/e')² = 0.2 (14/2)² = 11 MPa (sans prise en compte des effets de concentration dans les angles du couvercle qui peuvent peut-être plus élevés que cette estimation grossière)

[Jaunin]

Bonjour, Chaverondier,
C'est toujours un plaisir de vous lire.
Cordialement.
Jaunin__

Pur information:
http://www.ptc.com/product/mathcad/free-trial/

[Jaunin]

Re-Bonjour, Chaverondier,
Quelque petites questions.
nu est bien le coefficient de Poisson de l'alliage de l'alu.
J'ai redessiné plus précis dans le rayon de 15 [mm] et j'ai une contrainte de 22.3 [MPa].
Par contre j'ai beaucoup plus dans les couvercles, le double, car il sont encastrer dans le réservoir et pas en appui simple.
Cordialement.
Jaunin__

[geagea]

bonjour,
pour votre réservoir,il y a une pression,mais qu'elle est cette valeur,d'autre part la géométrie optimum,c'est le cylindre qui est soumis par cette pression que de l'effort de membrane,concernant l'hexagone,,vous allez avoir des moments de flexion en travée,et au droit des noeuds( a l'encastrement)Pour le calcul c'est un cadre,et de ce fait a défaut de l'ordinateur,vous pouvez calculer les sollicitations par la méthode de Hardy Cross

cordialement

géagéa

[chaverondier]

nu est bien le coefficient de Poisson de l'alliage de l'alu.

Oui, 0.31 à 0.33 .

J'ai redessiné plus précis dans le rayon de 15 [mm] et j'ai une contrainte de 22.3 [MPa].

Donc là on est en phase.

Par contre j'ai beaucoup plus dans les couvercles, le double, car il sont encastrés dans le réservoir et pas en appui simple.

Je n'ai pas fait de calcul de la liaison couvercle/parois verticales (un calcul EF est plus rapide et plus précis pour calculer ce point), mais ça fait quand même beaucoup il me semble. Je suppose que c'est dans les angles que vous trouvez cette valeur ? Vous avez bien 2 d'épaisseur pour les couvercles ?

[Jaunin]

Bonjour, Chaverondier,
Oui, j'ai bien une épaisseur de 2 [mm].
Au centre du couvercle je doit avoir ~11.2 [MPa], je n'ai pas mesuré précisément, le contraintes plus élevée sont bien entre la liaison entre le réservoir et le couvercle.
Cordialement.
Jaunin__

[chaverondier]

Au centre du couvercle je doit avoir ~11.2 [MPa], je n'ai pas mesuré précisément, le contraintes plus élevée sont bien entre la liaison entre le réservoir et le couvercle.

OK, c'est au centre que j'avais estimé les contraintes comme étant de l'ordre de p(R/e')². A la réflexion, un facteur 4 dans les angles ne me choque pas tant que ça. En effet, le moment de flexion à l'encastrement sur ces 6 angles se reprend ainsi sur 6 "points", avec une zone du couvercle fortement contrainte sur une distance autour de ces angles qui devrait être de l'ordre de 2 (à 3) fois l'épaisseur e'=2mm du couvercle dans la direction circonférentielle (e' à 1.5 e' de chaque côté de l'angle).