Paradoxe (apparent) en RR

[invitee0f120c8]

Bonjour,

Voici un problème pour lequel j'aimerais avoir des avis extérieurs:

Premier problème : aller simple :
Deux stations spatiales A et B sont en mouvement rectiligne uniforme. Elles sont au repos l'une par rapport à l'autre et espacées d'une distance de D = 4 AL.

A t_A = t_B = t_C = 0, un vaisseau C part de A pour rejoindre B, à une vitesse de V=0,8 c .

Lorsque C rejoindra B, quelles seront les temps t'_B et t'_C affichés par les horloges embarquées par B et C ?

Du point de vue de B, C parcours une distance de 4 AL à une vitesse de 0,8c, il met donc t'_B = 4/0,8 = 5 années pour arriver sur B.
Du point de vue de C, il y a une contraction des longueurs, et la distance à parcourir est :
D_C = D×sqrt(1− V²/c²) = 4×sqrt(1−0,64) = 4×0,6 = 2,4 AL
Pour C, le voyage dure donc t'_C = D_C/V = 2,4/0,8 = 3 ans.

Au moment de l'arrivée de C sur B, l'horloge de B indique t'_B =5 ans, et celle de C t'_C =3 ans.


Maintenant, nous allons analyser un problème similaire, mais du point de vue de la Terre :
Les stations A et B, ainsi que la Terre T sont au repos les unes par rapport aux autres. La station A est située à 4 AL de T, et la station B est située à 8 AL de T, les trois objets étant alignés.

A t_A=t_B=t_T=0 , les deux stations entament leur voyage en direction de la Terre, à V=0,8 c .
Les deux stations ne s’arrêteront pas sur Terre, elles ne feront que passer à coté.

Du point de vue de T, A doit parcourir 4 AL pour le rejoindre, et ce à une vitesse de 0,8c. A passe donc à coté de T à t_T = 4/0,8 = 5 ans.
Du point de vue de A, il y a une contraction des longueurs, et la distance à parcourir est :
D_A=D×sqrt(1 − V²/c²) = 4×sqrt(1−0,64) = 4×0,6 = 2,4 AL, A passe à coté de T à t'_A = 2,4/0,8 = 3 ans.

Maintenant supposons qu'au moment où A passe à coté de T, C entame son voyage vers B à une vitesse V=0,8c par rapport à A.

Plaçons nous dans le référentiel de A et B :
Lors du départ de C, son horloge indique t'_C = t'_A = t'_B = 3 ans.
La situation est similaire à celle du problème précédent, la seule différence étant que les horloges sont décalées de 3 ans.
Nous n'avons pas besoin de refaire les calculs : au moment de l'arrivée de C sur B, l'horloge de B indique t''_B = 3+5 = 8 ans, et celle de C t''_C = 3+3 = 6 ans.

Calculons maintenant les valeurs des horloges de T et B au moment où B passe à coté de T :
A t_B=t_T = 0 , la distance entre B et T est de 8 AL.

Du point de vue de T, B parcours une distance de 8 AL à une vitesse de 0,8c, il met donc t''_T = 8/0,8 = 10 années pour atteindre T.
Du point de vue de B, il y a une contraction des longueurs, et la distance à parcourir est :
D_B = 8×sqrt(1 − V²/c²) = 8×sqrt(1−0,64) = 8×0,6 = 4,8 AL .
Pour B, le voyage dure donc t''_B = D_B/V = 4,8/0,8 = 6 ans.

Au moment où B croise T, l'horloge de B indique 6 ans, et celle de T indique 10 ans.

Analyse des données :
La vitesse de C par rapport à A est la même que celle de T par rapport à A : même direction et même valeur : 0,8c. On peut donc en conclure que T et C sont au repos l'un par rapport à l'autre.
C entame son voyage vers B lorsqu'il est à coté de T, donc C reste à coté de T jusqu'à l'arrivée de B.
Ainsi, pour B, le moment où il rejoint T coïncide avec le moment où il rejoint C.

Au moment où C décolle de A, c'est à dire au moment où A passe devant T, nous avons vu que l'horloge de C indiquait t'_C =3 ans, et que celle de T indiquait t'_T = 5 ans.
Puisque C et T sont au repos l'un par rapport à l'autre, leurs temps propres s'écoulent à la même vitesse. Ainsi, du point de vue de B, et comme de tous les points de vue inertiels d'ailleurs, ce décalage de 2 ans persiste jusqu'à l'arrivée de B.

Que vont observer B et T lorsqu'ils seront cote à cote ?
Si l'on s'en tient au premier raisonnement, lorsque B passe à coté de C, t''_B = 8 ans, et t''_C = 6 ans.
Puisqu'il y a un décalage de 2 ans entre C et T, l'horloge de T indique t''_T = 6+2 = 8 ans.
On a donc t''_B = 8 ans et t''_T = 8 ans.

Si l'on s'en tient au second raisonnement, on a t''_B = 6 ans et t''_T = 10 ans.



Quel est le bon raisonnement ? Ou plutôt, quel est le mauvais raisonnement et où est l'erreur ?


NB : dans le raisonnement, j'utilise plusieurs fois le terme « à coté ». Par « à coté », j'entends
« aussi proche que l'on veut », de sorte qu'on peut considérer que le passage d'un objet à coté d'un
autre objet constitue un événement et que si deux objets sont « à coté » l'un de l'autre, l’événement
« passer à coté de l'un » coïncide avec l'événement « passer à coté de l'autre ».


Bonne journée,
Thibault.
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[Amanuensis]

Bonjour, et bienvenue sur le forum,

Voici un problème pour lequel j'aimerais avoir des avis extérieurs:

Pas regardé tout en détails (faudrait faire un diagramme de Minkowski, qu'on s'y retrouve...), mais:

Premier problème : aller simple :

Pas de problème.

Maintenant, nous allons analyser un problème similaire, mais du point de vue de la Terre :
Les stations A et B, ainsi que la Terre T sont au repos les unes par rapport aux autres. La station A est située à 4 AL de T, et la station B est située à 8 AL de T, les trois objets étant alignés.

A t_A=t_B=t_T=0 , les deux stations entament leur voyage en direction de la Terre, à V=0,8 c .

Là un signal d'alarme retentit. Si le départ de A et B est simultané vu de T, il ne le sera pas dans le référentiel de A et B en mouvement après départ. L'égalité t_A=t_B est correcte jusqu'au départ, mais devient fausse après, car pour A et B dans leur référentiel après le départ, B démarre bien avant A.

Je ne sais pas si cela joue dans le calcul ensuite (pas analysé), mais c'est fort probable! En particulier

Lors du départ de C, son horloge indique t'C = t'A = t'B = 3 ans.

indique une égalité entre datations de A et B, qui est ambigüe (cela ne peut pas être les mêmes datations que celles indiquant l'égalité de l'instant de départ vers la Terre).

[invitee0f120c8]

Bonjour Amanuensis et merci pour ta réponse,

Là un signal d'alarme retentit. Si le départ de A et B est simultané vu de T, il ne le sera pas dans le référentiel de A et B en mouvement après départ. L'égalité tA=tB est correcte jusqu'au départ, mais devient fausse après, car pour A et B dans leur référentiel après le départ, B démarre bien avant A.

Pour moi, du point de vue de T, si le départ de A et B est simultané dans le référentiel de T, alors les horloges de A et B, vues depuis T, avanceront à la même vitesse car les vitesses de A rapport à T et de B par rapport à T sont toujours identiques. Ainsi, vu de T, les horloges et A et B afficheront toujours des valeurs identiques (après correction du temps de propagation de la lumière). Tu es d'accord?

En particulier
"Lors du départ de C, son horloge indique t'C = t'A = t'B = 3 ans."
indique une égalité entre datations de A et B, qui est ambigüe (cela ne peut pas être les mêmes datations que celles indiquant l'égalité de l'instant de départ vers la Terre).

En effet il y a une erreur ici. t'_C = t'_A = 3 ans, mais dans le référentiel de A et B, t'_B ne peut pas être égal à 3 ans.

[Amanuensis]

Pour moi, du point de vue de T, si le départ de A et B est simultané dans le référentiel de T, alors les horloges de A et B, vues depuis T, avanceront à la même vitesse car les vitesses de A rapport à T et de B par rapport à T sont toujours identiques. Ainsi, vu de T, les horloges et A et B afficheront toujours des valeurs identiques (après correction du temps de propagation de la lumière). Tu es d'accord?

"Vu de T", oui. Mais le problème n'est pas là. Le problème est l'horloge de B vu de A et réciproquement: ils ne considèrent pas (dans le référentiel post démarrage) avoir démarré "simultanément".

(Le paradoxe est lié à celui de la "ficelle de Bell" [même cas de démarrage "simultané"], et l'anecdote veut que quand il a été présenté originellement à un panel de physiciens, la moitié se seraient plantés...)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitee0f120c8]

Je n'arrive pas à comprendre comment vu de T les horloges de A et B affichent la même chose: cela n'est pas en contradiction avec l'inclinaison du temps?

[Amanuensis]

En analytique, dans le système de coordonnées de T (t en années, x en a.l.), les trajectoires de A et B pour t>0 sont A: (t, 4-0.8t), B: (t, 8-0.8t), il est clair que la durée propre pour A entre (0, 4) et (t, 4-0.8t) est la même que la durée propre pour B entre (0, 8) et (t, 8-0.8t), puisque dans les deux cas c'est la norme de (t, -0.8t), soit 0.6t.

En géométrique: la ligne d'Univers de B est la translatée de celle de A dans la direction des x pour les coordonnées de T => à t (terrestre égal), même datation pour A et B.

Quand j'indique même valeur pour A et B il s'agit des horloges propres, indiquant 0 aux instants locaux respectifs de départ.

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Mais dans le système de coordonnées de A post départ c'est différent: la translation n'est pas // à l'axe de x, elle a une composante spatiale et, point important, une composante temporelle (décalage temporel du point de départ).

C'est simplement que la translation // x terrestre est "tournée" ("inclinaison"), et donc prend une composante temporelle dans le système de A.

Le décalage temporel du départ s'obtient simplement en appliquant la TL à la translation, soit de (0,4) en terrestre on passe à (16/3, 20/3), soit un décalage de date de départ de 5 ans 1/3.

Autrement dit, juste après le départ de A, son horloge indique 0, mais dans le nouveau système de coordonnées de A, l'horloge de B vaut 5 1/3 ans (B a démarré à -5 1/3 ans) ; pour A il y a eu un "trou" de 5 1/3 dans la chronologie de B, trou dû au changement de système de coordonnée. De même pour B, le départ de A ne se produira qu'à t (horloge locale à B) = +5 ans 1/3.

En conséquence, parler de la datation pour A et B est ambigu, faut choisir entre A et B, puisqu'il y a une différence (fixe) de 5 1/3 ans entre les deux une fois tous les deux démarrés.

[Amanuensis]

Je n'arrive pas à comprendre comment vu de T les horloges de A et B affichent la même chose: cela n'est pas en contradiction avec l'inclinaison du temps?

Je pense que vous prenez les horloges de A et B comme indiquant la même valeur dans leur système de coordonnées communs après le départ. Dans ce cas, oui vous avez raison, elles n'affichent pas la même chose "vu de T".

Mais si on prend les horloges de A et B "sans correction" elles n'indiquent pas la même valeur dans leur système de coordonnées communs, mais "vu de T" elles indiquent la même valeur.

L'ambiguïté est entre les horloges de A et B synchronisées après le départ (ce qui demande d'en décaler une de 5 1/3 an), et entre les horloges, synchronisées avant le départ et sans correction ensuite (donc indiquant le temps propre sans discontinuité).

[invitee0f120c8]

Comme l'idée de base était que T, A et B soient synchronisés au départ, c'est sous entendu dans le référentiel de T, et donc, comme vous le dites, A et B ne peuvent etre synchronisés dans le référentiel de A et B en mouvement. Dans mon raisonnement, c'est donc quand je passe dans le référentiel de A et B en mouvement que je me trompe:

Lors du départ de C, son horloge indique t'C = t'A = t'B = 3 ans.

Je corrigerai ce soir, merci pour votre aide