Principe fondamental de la dynamique assez urgent...

[inviteab336e12]

Bonjour à tous !
Alors voilà j'ai un petit problème avec notre très cher ami Newton !
But de la démonstration : ΔP=ρgh
En vertu du principe fondamentale de la dynamique nous avons dP + dF = ρdVa avec dP=ρdVg=poids du fluide et dF=force de surface=dFex + dFey + dFez
Or on considère un fluide statique donc seule la composante selon z n'est pas nulle, et sa masse volumique est en tout point la même donc constante
Soit ρdVg + dfFez = ρdVa

Et puis la je bloque un peu... de plus je ne sais pas ce que représente e dans la force de surface

Indice : étape intermédiaire :
p(z) + ρgz = cste = p0 + ρgz0
p(z) = p0 + ρg(z0-z)
et p(h) = p0 + ρgh (je ne peux pas ajouter l'image mais en gros z0 est au dessus z en bas sur un axe vertical avec h séparant z de z0)

J'espère avoir été clair ... et je m'excuse de cette présentation médiocre et bonne chance !
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[invite716e812e]

Salut snoopy70,

est-ce que tu as vu ce qu'était une particule de fluide ? on commence généralement la statique des fluides en introduisant ce modèle; c'est très pratique au sens où ça facilite un peu l'étude (notamment sa représentation dans un repère cartésien)
Quand tu exprimes Fex Fey Fez ainsi que ta force volumique, tu exprimes en fait des forces s'exerçant sur une particule de fluide, faut bien comprendre ça pour la démo (c'est pour cela qu'on exprime ces forces en ex ey ou ez, c'est-à-dire dans un repère (ici cartésien) associé à ta particule de fluide selon des vecteurs unitaires ex ey et ez)
Pour la démonstration, il faut effectivement travailler avec le PFD sur ces relations, en projetant donc trois fois la relation selon ex ey et ez (et avec un poil de bidouille dans les calculs)
(indice: pression = force/surface )
Tu démontreras alors la relation fondamentale de la statique des fluides: Fv = grad(P) (en imaginant les vecteurs aux bons endroits dans mon écriture ^^)
Ensuite, en appliquant cette relation dans le champ de pesanteur au poids volumique pg (bien lire "rho" masse volumique), tu en déduiras la formule de ta démonstration

[inviteab336e12]

Ce qu'il faut comprendre c'est que ce n'est pas un exercice mais mon cours ! ^^

Le prof a écrit simplement : Avec la poids du fluide (dP=ρdVg) et la force de surface (dF=dFex + dFey + dFez) et en vertu du principe fondamentale de la dynamique on a p(z) + ρgz = cste = p0 + ρgz0, p(z) = p0 + ρg(z0-z) et p(h) = p0 + ρgh d'où ΔP=ρgh

Bon nombre de mes camarades se contentent d'apprendre ces formules et de les appliquer bêtement mais j'aurais voulu comprendre
Ps : normalement pas besoin de grad (puisque nous ne l'avons pas abordé)
Et puis je consens bien qu'il serait plus judicieux pour moi de trouver la réponse seul mais je n'ai pas vraiment le temps (les cours vont vite et la masse de travail est importante) donc même si vous ne m'apporter pas clairement la réponse j'aimerais plus d'indice ...
Merci dans tous les cas d'avoir pris le temps de me répondre

[invitee27c7201]

Bonjour,

Je ne sais pas si c'est ce que tu attends, mais si tu veux simplement comprendre ce qu'il se passe là dessous, voici ma version des faits

On considère le fluide incompressible et statique.
Je suppose qu'il s'agit d'un tube de section S constante, contenant de l'eau, avec la section supérieure maintenue à pression atmosphérique P0 (ou quoi que ce soit d'autre qui pourrait se mettre sous cette forme).

La force s'appliquant sur une tranche de fluide à une profondeur z est, par principe de superposition, la somme de la contribution de l'atmosphère et du fluide au dessus de cette profondeur.

Soit F(z) = P0*S + rho*g*S*z.
Sympathiquement, on peut appliquer P = F/S afin d'obtenir la pression appliquée à la profondeur z, soit P(z) = P0 + rho*g*z.
Et donc, pour deux profondeurs z1 et z2 différentes, on obtient ΔP = rho*g*(z2-z1), avec z2-z1 = h dans ton cas.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite716e812e]

ΔP=ρgh

si tu veux démontrer cette relation, qui est une conséquence directe de la relation fondamentale de la statique des fluides, tu peux soit partir justement de la relation fondamentale de la statique des fluides (en gros t'as une ligne de calcul), mais j'imagine que tu souhaites aller plus en profondeur:
je te propose donc cette démonstration (c'est celle que j'ai vu en cours ) :
on considère une particule de fluide (faut s'imaginer un pavé de dimensions quelconques, et qui représente une partie du volume total de fluide que tu étudies); on associe à cette particule de fluide un repère cartésien orienté selon le coin du pavé (en gros les trois vecteurs de la base sont orientés selon les arrêtes du pavé) ; L'étude se fait dans le référentiel terrestre qu'on suppose galiléen, et le système étudié est celui formé par la particule de fluide.
Les forces qui s'exercent sur la particule de fluide sont : -1 force volumique (force s'exerçant sur le volume lui-même) -6 forces surfaciques (forces s'exerçant sur les parois de ta particule de fluide);
D'après le PFD: m*a = sommeForces = 0 car le fluide est étudié à l'équilibre
projettons la relation suivant l'axe Ox:
on a alors: F1-F2 - Fx = 0 avec : F1 et F2 les forces surfaciques s'exerçant sur les parois de la particule de fluide normales au vecteur unitaire ex (il y en a bien une dans le même sens que ex et une dans le sens opposé puisque les parois en question se font face) - et Fx la force volumique selon ses coordonnées en x
On rappelle alors que la pression correspond à un force s'exerçant sur une surface, soit: P=F/S
on peut définir les dimensions de la particule de fluide comme: dx dy et dz (soit des petites variations de distances par rapport à la base qui est situé sur un des coins de la particule de fluide)
on a donc: P(x)*dy*dz-P(x+dx)*dy*dz + Fx*dx*dy*dz = 0 soit: P(x) - P(x+dx) + Fx*dx = 0 ( relation (a) )
or P(x+dx) = P(x) + (drondP/drondx)*dx (les drond correspondent aux dérivées partielles) (ici cela signifie que la pression au point de coordonnée x+dx correspond à celle en x plus une petite variation)
d'où: P(x) - P(x+dx)=-(drondP/drondx)*dx
on a alors (en reprenant (a) ) : 0 = -(drondP/drondx)*dx + Fx*dx soit Fx=drondP/drondx
on procède alors de la même manière pour les autres coordonnées en y et en z (on projette selon Oy etc..... et pareil pour z....)

on obtient alors: Fy=drondP/drondy et Fz=drondP/drondz

ainsi, si on rassemble les trois relations, on peut exprimer la force volumique: Fv = gradP (où gradP correspond à la somme des dérivées partielles de P selon x, y et z) (c'est une relation vectorielle, donc on indique bien les vecteurs au dessus de l'écriture Fv et gradP )
Cette relation est donc la relation fondamentale de la statique des fluides.

Appliquons là au poids volumique:

Pv (poids volumique) = mg/V = µg = -µg*ez (avec des vecteurs au dessus de Pv, ez et les g des deux premières parties) (on note µ: masse volumique) (on oriente le vecteur selon -g (càd on pourrait prendre ez orienté vers le "haut" et g vers le "bas", d'où le signe - )

Donc, d'après la relation fondamentale de la statique des fluides:

-en la projetant selon Ox: dP/dx = 0
-en la projetant selon Oy: dP/dy = 0
-en la projetant selon Oz: dP/dz = -µg

D'où: dP= -µg*dz

on intègre la relation;
on obtient alors au final: ΔP = µgΔz = µgh avec h= Δz
cqfd

Pour t'aider à mieux saisir la démonstration, je te conseille de faire un schéma représentant la particule de fluide avec le repère qui lui est associé, tu te représentera alors mieux l'histoire des 6 forces surfaciques s'appliquant sur les parois de la particule de fluide

[inviteab336e12]

Merci pour vos réponses je vous en suis très reconnaissant !!