Mécanique Analytique : quelques questions

[BioBen]

Salut,
alors j'ai eu mon premiers cours de physique théorique, où l'on a introduit les équations d'Euler Lagrange et cie, puis ensuite en TD on a fait un exo (assez courant je crois) sur une corde entre deux points, la question finale étant bien sur de retrouver que la corde a l'allure d'un ch.

Précédemment en cours on avait vu un probleme très legerment différent, qui est comment minimiser l'aire d'une surface de révolution, et l'on avait déja trouvé le fameux ch (le deux problèmes sont assez similaires).

Bon pour des raisons inutiles à préciser ici, j'aimerai juste que vous me corrigiez/m'expliquiez certains passage de la résolution du problème de la corde (disons pour etre bref qu'en TD on a fait assez...laborieusement).

Un fil mince pesant de longeur l est fait d'un matériau homogène de masse volumique . Ses extrémités sont fixes au point O(0,0,0) et A(a,0,B), avec a et b >0, et
Le fil est soumis au champ de pesanteur terrestre, il prend à l'équilibre une forme telle que sont centre de gravité soit le plus bas possible. On se propose de trouver le profil z(x) correspondant

avec

Don avec
On a

On l'injecte dans l'équation d'Euler-Lagrange :

D'où

Ce qui à ce qui parait n'est pas la bonne méthode pour résoudre (pourquoi ? trop difficile ?) (1)

En fait comme F est indépendant de x, on sait qu'on peut ecrire :
où k est une constante.
D'où :


On mettant au meme dénominateur, on obtient :

Qui après manipulation nous donne :

D'où en intégrant


Mais bon le problème c'est que ce que je raconte ne prend pas en compte le fait que le fil soit de longueur fini... en plus y'a quelques bug genre en d'après les conditions initales quand x=0, z=0... et la fonction ch elle vaut 0 a des endroits pas trop trop cool

Voila ca peut vous paraitre débile comme message mais comme je l'ai dit j'ai eu que 1 cours et j'ai jamais vraiment fait d'exo...

Pourquoi arrete-t-on le développement (1) ?
Comment prend-on en compte la taille de la corde ? Je crois qu'il faut utiliser un coef de contraire lambda en posant I = F + lambdaG et G c'est....
Comment on fait pour éviter le bug en 0 ?
Ah oui aussi une question car j'ai jamais eu de défintion : c'est quoi une fonctionnelle ? D'après ce que j'ai pour voir c'est un scalaire que l'on obtient à partir d'une fonction (style une intégrale).

Merci d'avance.
Benjamin

PS : Si vous avez des pdfs qui recouvrent certains chapitres de ce programme, je prends ! : http://lmd.upmc.fr/baf.aspx?id=LPHY3...d=LPHY&lang=fr
J'en ai déja quelques uns mais je les trouves pas "géniaux".
Je pense que j'e vais aussi très vite devoir aller consulter le Landau...
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[invite43ae9925]

salut bioben,
te casses pas la tête pour la longueur de la corde,
le principal c'est qu'elle soit assez longue pour l'esperience .

[BioBen]

te casses pas la tête pour la longueur de la corde,
le principal c'est qu'elle soit assez longue pour l'esperience .

J'aimerai que ce soit aussi simple mais je sais pas si mon prof apprecierait...

[BioBen]

Bon je veux bien croire que ca interesse pas grand monde de revoir tout l'exo, donc si vous avez juste des pdfs de cours/exo sur ce chapitre où ceux donnés en fin de message #1, ca m'interesse vraiment.

[A voir en vidéo sur Futura]

[gatsu]

Bon je veux bien croire que ca interesse pas grand monde de revoir tout l'exo, donc si vous avez juste des pdfs de cours/exo sur ce chapitre où ceux donnés en fin de message #1, ca m'interesse vraiment.

Je suis pas très fort dans ces trucs là mais par contre je sais que tu trouveras un bon cours à cette adresse http://www.lkb.ens.fr/cours/notes-de...magnetisme.htm

PS: sinon pour ton problème tu peux essayer de demander à ton prof je le connais et il est super sympa.

[BioBen]

Merci pour le lien, je ne l'avais pes celui là, j'ai celui de P.Amiot et L.Marleau où il y a des bons exemples mais pas celui que je cherche .
Et puis dans leur cours ils utilisent directe les degrés de liberté (coordonnée q ) que je n'ai pas encore vu.

PS: sinon pour ton problème tu peux essayer de demander à ton prof je le connais et il est super sympa.

Oui oui je n'ai pas dis le contraire

[Makalu]

Mais bon le problème c'est que ce que je raconte ne prend pas en compte le fait que le fil soit de longueur fini...

Il faut rajouter pour cela une contrainte dans ton Lagrangien :



où est un multiplicateur de Lagrange que tu détermines après variation en imposant que la longueur de la corde est égale à l.

[BioBen]

Salut

Il faut rajouter pour cela une contrainte dans ton Lagrangien :



où est un multiplicateur de Lagrange

Oui c'est ce que j'avais cru comprendre en cours, mais comment arrives-tu à ce terme ? (pas le lambda, l'intégrale - l). D'ailleurs dans le peu qu'on avait fait en TD il n'y avait pas le -l...

Merci,
Benjamin

[Makalu]

Lorsque que tu vas faire la variation de ton Lagrangien par rapport au multiplicateur tu obtiens que



donc



C'est une méthode générale pour restreindre l'espace des variations : il suffit de rajouter la contrainte dans le Lagrangien.

Ce n'est pas possible que la solution de l'équation soit un cosh puisque la fonction doit au moins s'annuler à l'origine par hypothèse et lorsque la corde est suffisamment longue la fonction doit présenter un deuxième noeuds.

[BioBen]

Ce n'est pas possible que la solution de l'équation soit un cosh puisque la fonction z(x) doit au moins s'annuler à l'origine par hypothèse

C'est ce que j'ai dit dans mon post 1 mais je comprends pas pourquoi je tombe dessus je dois me gourrer en oubliant une constante en terme suplémentaire ce qui résoudrait mon problème lol...
Je suis quasiment sûr que la fonction à toruver est un cosh, mais par contre il doit effectivement manquer un terme.

Ok pour la facon dont on trouve le G (F+lambdaG), mais ce que je comprends pas en réalité (chui compliqué hein ?) c'est pourquoi est ce que cette contrainte n'était pas pris en compte dans mon message #1. Je m'explique :

Je pars en disant ca :

avec
Donc je dis déja sur quoi j'integre et que l est finie non ?

C'est ca que j'ai du mal à comprendre : pour moi la contrainte est déja prise en compte dans la premiere intégrale ( déja dans le F alors pourquoi rajouter +lambdaG )...

Merci pour ton aide et de ta patience.
Benjamin

[Makalu]

Je pars en disant ca :

avec
Donc je dis déja sur quoi j'integre et que l est finie non ?

Non tu dis simplement que la fonction est définie de à mais cela ne fixe pas sa "normalisation".

Dans l'intégration de ton équation différentielle, tu as aussi supposé que est toujours positif or si la longueur de la corde est suffisamment grande, la fonction ne sera pas monotone!

En fait il existe une solution triviale, c'est la corde tendue. Lorsque que , la solution est simplement .

[BioBen]

Non tu dis simplement que la fonction est définie de à mais cela ne fixe pas sa "normalisation".

Ok je vois ce que tu veux dire, c'est plus clair maintenant.

Dans l'intégration de ton équation différentielle, tu as aussi supposé que est toujours positif

Ah bon...où ca ? A chaque fois que z' apparait c'est dans un carré donc je vois pas trop où j'ai imposé son signe...
D'ailleurs si c'est le cas c'est vrai que c'est pas super "réaliste" puisque très vite la corde se "courbe" (décroit pui croit) donc clairement ca ne serait valable que pour des a petit.

Merci,
Benjamin

[Makalu]

Ah bon...où ca ? A chaque fois que z' apparait c'est dans un carré donc je vois pas trop où j'ai imposé son signe...

Juste avant la dernière intégration lorsque tu écris

[Coincoin]

Salut,
Intégrer de 0 à a te donne juste les limites de ta corde, mais ça ne dit pas qu'elle est de longueur finie. Physiquement, la solution optimale (d'un point de vue énergétique), c'est une corde infiniment longue, qui descend à z=-infini (tout en restant accroché en 0 et a).
Du coup, tu rajoutes à la main la contrainte en utilisant les multiplicateurs de Lagrange (cf message de Makalu). C'est clair pour toi ?

Bon, sinon j'ai déjà fait cet exo, et j'essayerai d'y jeter un coup d'oeil demain si j'y pense.

[BioBen]

Juste avant la dernière intégration lorsque tu écris

Je l'avais pas vu le bougre !
Supposons que je veuille faire un petite corde, alors ce que je vais obtenir ca va etre un truc du style :
z(x) = k*cosh(x/k) + k'
où k' est une constante qui me permet de retomber sur zéro pour x=0.
Non ?
Désolé si je tiens à mon cosh mais en cours on m'a dit qu'il était dans la solution donc...

Du coup, tu rajoutes à la main la contrainte en utilisant les multiplicateurs de Lagrange (cf message de Makalu). C'est clair pour toi ?

Oui oui ca l'est bien plus, j'ai bien fait de poser la question c'était assez obscur ces histoire de lambdaG pour imposer une longuer à nore corde, maintenant je vois mieux l'interet et le pourquoi du comment.

Bon, sinon j'ai déjà fait cet exo, et j'essayerai d'y jeter un coup d'oeil demain si j'y pense.

A ce qu'il parait c'est un classique mais j'arrive pas à le retrouver sur google, ni sur sciences.ch, ni sur les pdfs que j'ai.
C'est pas super urgent de toute facon je le remettrais au propre demain avec ce que vous m'avez dit, faut bien que j'y arrive non ?!

Benjamin

[Makalu]

Si tu inclues la contrainte dans le Lagrangien, les équations d'Euler-Lagrange conduisent à l'équation différentielle

.

En supposant que la solution est de la forme et en remplaçant dans l'équation précédente, tu trouves que c'est une solution si

et .

Tu fixes ensuite les trois autres constantes par les conditions :

1)

2)

3)

[Makalu]

NB Tu peux intégrer l'équation différentielle en la réécrivant sous la forme



puis en multipliant les deux membres par ...

[Makalu]

Par rapport à ce que j'ai écrit hier, j'ai recherché ce matin les solutions en remplaçant les conditions 1), 2) et 3). Ce qui est curieux c'est que la fonction (limite de la corde tendue) n'est pas une solution de l'équation différentielle!

Cette solution est seulement atteinte de façon asymptotique lorsque puisqu'alors en simplifiant les conditions précédentes, on trouve l'équation suivante pour le coefficient :

en posant . La solution de cette équation est soit . Après un peu d'algèbre, on peut alors montrer que la solution est bien ...

[BioBen]

Oubliez tout le début j'ai résolu mon problème (je viens d'avoir mon cours), je vous remercie de m'avoir aidé, avec en plus l'aide de mon prof tout va beaucoup mieux et tout est beaucoup plus clair.

Mais c'est pas pour ça que je ne pose plus de questions.
J'ai demandé à mon prof, mais bon c'était pendant le cours et donc je pense qu'il a pas trop voulu empieter, mais comment démontres-t-on :
où k est une constante (l'Halmiltonien de mon système d'apres ce que j'ai compris) à partir d'Euler-Lagrange mais sans postuler le résultat pour remonter à Euler-Lagrange (très simple).

De Euler-Lagrange au résultat c'est beaucoup plus compliqué puisqu'il manque deux termes (qui s'annulent mais bon faut les trouver !), comment Euler et Lagrange ont-ils fait pour le faire ??!!!!! [C'était des oufs ? ]

---------

De plus on a vu comment écrire l'équation d'EL pour plusieurs variables, et aussi pour les cas où la dérivée n-ième apparait (en pratique suffit de n=2).
D'ailleurs pour n=2 on obtient une équation d'ordre 4 qui sert par exemple en physique(elesaticité) des materiaux puisque on étudie comment ils se courbent (dépendant de y").
Faisant une analogie je lui ai demandé si la RG s'exprimait aussi en fonction de y" (donc aussi en ordre 4), puisqu'en RG on s'interesse aux courbures de l'espace-temps et cie.
Il m'a répondu que non parce que là on parlait de materiaux donc que c'était différent, que pour la RG suffisait de la dérivée premiere...mais j'avoue avoir du mal à comprendre.

Si vous pouvez m'aider à eclaircir ces deux points, ca seerait sympa (dites moi si vous voulez que je formule mieux une de mes questions, je fais ce que je peux )

Benjamin
Et encore merci pour votre aide sur mes précédentes questions.

[gatsu]

mais comment démontres-t-on :
où k est une constante (l'Halmiltonien de mon système d'apres ce que j'ai compris) à partir d'Euler-Lagrange mais sans postuler le résultat pour remonter à Euler-Lagrange (très simple).

Si j'ai bien suivi F est ta fonction de Lagrange qui vérifie l'équation d'Euler Lagrange pour le parametre :
En fait ta fonction F ne dépend pas explicitement de x et c'est cette propriété qu'il faut utiliser (dérivée partielle de F par rapport à x est nulle).
Tu écris :


en modifiant un peu en utilisant la relation de leibnitz on a:


On reconnais l'équation d'Euler Lagrange pour F dans le membre de droite:

L'équation devient donc:


Ce qui nous amene à :


En ésperant avoir répondu à ta question, bon courage

[BioBen]

Ouep c'est exactement ce que je voulais !
2 petites questions :

en modifiant un peu en utilisant la relation de leibnitz on a:

Le signe moins qui apparait dans le dernier terme de l'équation qui suit la citation, tu le mets parce qu'en réalité les termes étant nuls, ca change rien c'est ca ?

Dans l'avant-dernière équation, tu fais apparaitre -F, et tu peux le rajouter car dF/dx= 0 (donc tu le rajoutes "juste" pour retrouver la bonne équation).

C'est ca ?
En en tout cas merci (je reviens à la fin du match )
Benjamin

[gatsu]

Le signe moins qui apparait dans le dernier terme de l'équation qui suit la citation, tu le mets parce qu'en réalité les termes étant nuls, ca change rien c'est ca ?

Non en fait j'ai juste écrit que (j'ai juste appliqué "à l'envers" la relation qui donne la dérivée d'un produit de fonction; appelée relation de Leibnitz)

Dans l'avant-dernière équation, tu fais apparaitre -F, et tu peux le rajouter car dF/dx= 0 (donc tu le rajoutes "juste" pour retrouver la bonne équation).

En fait comme je l'ai dit, dans le terme de droite on retrouve l'équation d'Euler-Lagrange pour (je l'ai mis entre parentheses pour que cela soit explicite)
c'est à dire :



On a donc
En passant le dans le membre de gauche, on obtient bien :

Par linéarité de la dérivation on peut alors écrire:


Désolé je n'avais peut être pas assez développé les calculs j'espere que maintenant ça ira

[BioBen]

Désolé je n'avais peut être pas assez développé les calculs j'espere que maintenant ça ira

Oui maintenant qu'il y a tout ca va lol
Pour Leibniz je la connaissais pas sous ce nom la

Pour le deuxième point j'avais dit une très très grosse connerie (c'est ca de bosser à la mi-temps d'un match aussi !), je trouvais plus le dF/dx alors qu'il était sous mes yeux pour le factoriser !

Merci beaucoup !!
Et effectivement comme tu me l'avais dit mon prof de cours est vraiment génial
Trop content je vais enfin pouvoir remplir le trou dans ma démonstration, je l'avais que dans un sens, et maintenant c'est arrangé youpi
C'était effectivement par impossible à faire seul, mais comme toujours faut trouver comment bien démarrer sinon ca coince (surtout en méca analytique j'ai l'impression !).

[gatsu]

C'était effectivement par impossible à faire seul, mais comme toujours faut trouver comment bien démarrer sinon ca coince (surtout en méca analytique j'ai l'impression !).

C'est clair qu'il faut l'avoir vu une fois et puis apres c'est bon, surtout que ce genre de "truc" est assez fréquent comme tu l'as bien pensé en méca analytique surtout lorsqu'on parle d'invariances du Lagrangien ou du Hamiltonien sous certaines opérations de symétries...

[BioBen]

Oui oui je commence à voir de mieux en mieux les petits bidouillages à faire pour parvenir au but, enfin ca viendra au fur et à mesure des exos de toute façon.

Par contre je viens de remarquer un truc absolument hallucinatoire : si je mets une métrique de minkowski pour le ds dans la toute premiere intégrale.... je retrouve toute la RR en quelques lignes C'est puissant ce truc
Je doutais un peu donc je suis allé voir dans le D'Inverno et effectivement c'est aussi simple que ca ! (j'avais pas rédigé exactement comme eux mais j'en étais pas loin du tout, et je retrouvais très vite le facteur de lorentz et compagnie).
On m'avait dit que le principe de moindre action c'était utile mais quand même...

Enfin je n'ai plus qu'à m'habituer aux notations et compagnie ca à l'air super utilisé et moi je mets toujours trois plombes à voir clairement ce que ca représente (je sais comment ca fonctionne mais je suis pas habitué).

[BioBen]

Pour ceux que la mécanique analytique et le principe de moindre action interesse, je rapelle un lien que m'avait donné mtheory :
http://www.eftaylor.com/leastaction.html
absolument génial, qui renvoie vers tout plein de cours dont certains de Harvard super bien fait Je suis en train de fait chanter l'imprimante lol.
J'y ai notammen retrouvé le fameux problème de la chainette, et des diznes d'autres.

[ http://forums.futura-sciences.com/sh...ad.php?t=57211 ]