[Mécanique analytique] Signification du lagrangien

[Seirios]

Bonjour à tous,

Je commence à faire mes premiers pas en mécanique analytique, et j'aurais quelques problèmes d'interprétation physique.

Pour l'hamiltonien, je pense avoir compris qu'il représentait en quelque sorte l'énergie mécanique du système (la somme de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle).

Mais pour le lagrangien, j'ai un peu plus de mal, parce qu'il serait apparemment égal à la différence entre l'énergie cinétique et l'énergie potentielle.

Quelqu'un pourrait-il m'aider ?

Merci d'avance
Phys2
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[mamono666]

oui, c'est bien cela. En fait on définit le L par l'intermediaire du principe de moindre action. L'action est:



ici q et sa dérivé sont les coordonnees et vitesses généralisé. Le principe de moindre action nous dit que S est stationnaire.

[Seirios]

Oui mais malheureusement c'est une définition que ne saisi pas vraiment. Peut-être à cause de la définition d'action que je ne comprends pas tout à fait

[mamono666]

J'ai trouver ce site qui explique ca:

http://jac_leon.club.fr/Zooms/action/action1.htm

En 1744 Pierre-Louis Moreau de Maupertuis[1] se posa cette question. Intuitivement il pressentit que les phénomènes physiques répondaient à un principe premier, fondamental, selon lequel la nature choisissait toujours, entre toutes les possibilités qui s’offraient à elle, celle qui était la « plus efficace ». En l’occurrence, dans le cas du mouvement, cette efficacité s’exprimait par un minimum de vitesse pour un minimum de chemin parcouru. Il baptisa ce principe, le principe de moindre action.

Donc il existe une fct qui va relier la vitesse la position et le temps. Pour trouver les extremums (de vitesse et de chemin) on cherche une différentielle nul.

Et comme on voit ensuite que L = Ec - Ep on voit que l'on regarde quand l'energie cinétique est minimum et quand le travail des forces est minimum.

C'est tres intuitif, mais ca parrait logique que la nature prenne des chemins ou l'energie necessaire est la plus petite possible.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invité576543]

C'est très intuitif, mais ca paraît logique que la nature prenne des chemins ou l'énergie nécessaire est la plus petite possible.

Sauf que ce n'est pas "l'énergie nécessaire" (quoi que cela veuille dire) qui est minimisée, mais quelque chose (l'action) qui a pour dimension une énergie multipliée par une durée, comme une intégrale d'une grandeur énergétique par le temps.

Et la deuxième difficulté pour l'intuition est que le Lagrangien, dont la dimension est bien l'énergie, ne correspond pas à une "quantité" d'énergie très claire, du moins en mécanique classique.

Cordialement,

[mamono666]

mmy, est ce que la nature prend des chemins qui minimise l'energie necessaire?

[gatsu]

Oui mais malheureusement c'est une définition que ne saisi pas vraiment. Peut-être à cause de la définition d'action que je ne comprends pas tout à fait

De manière générale, l'action est une quantité qui contient toute l'information sur le système du point de vue de ses symétries et qui en outre est invariante par changement de référentiel (que l'on soit en RR ou en relativité galiléenne). On suppose ensuite que l'action peut s'écrire comme l'intégrale d'un lagrangien qui habituellement est une fonction dont la forme est directement associée aux symétries du système mécanique. Comme l'action S est ce qu'on appelle une fonctionnelle, l'idée est que via un principe variationnel sur S on doit retrouver la mécanique de Newton. Et cela implique formellement que le lagrangien s'écrira usuellement comme l'energie cinétique moins l'énergie potentielle.
Tout ça pour dire que a priori il me semble qu'il n'y a aucune raison pour que l'on mette un - et pas un + entre l'Ec et l'Ep du point de vue des symétries mais c'est juste que dans un cas on retrouve Newton et pas dans l'autre .

Ensuite, à part cette définition implicite associée aux symétries, si on imagine un système à deux degrés de liberté (q,p) et que l'on trace la trajectoire du système dans l'espace (q,p) (appelé espace des phases) on a une jolie courbe entre un point (qA,pA) et (qB,pB).
Laissons ça de coté deux secondes et regardons l'action du système (où ici l'action est prise comme étant celle qui est déjà le minimum puisqu'on a tracé la trajectoire physique) on a la trivialité:

De plus si l'orbite est périodique (on peut se représenter la trajectoire comme un cercle dans l'espace des phases) on a :

Or, si la fonction q(t) est celle de l'équation de trajectoire alors elle vérifie les equations d'Euler-Lagrange et on a :

Ce qui donne :

En intégrant par parties on trouve alors :

On obtient donc que pour une trajectoire périodique, l'action n'est rien d'autre que l'aire de l'orbite fermée dans l'espace des phases !

[invitefa5fd80c]

Je commence à faire mes premiers pas en mécanique analytique, et j'aurais quelques problèmes d'interprétation physique.

C'est un sujet qui est vaste et plutôt abstrait mais passionnant !

Pour l'hamiltonien, je pense avoir compris qu'il représentait en quelque sorte l'énergie mécanique du système (la somme de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle).

Oui, c'est l'énergie totale du système.

Mais pour le lagrangien, j'ai un peu plus de mal, parce qu'il serait apparemment égal à la différence entre l'énergie cinétique et l'énergie potentielle.

C'est vrai seulement dans la limite non-relativiste. Le lagrangien d'une particule relativiste est :



À la limite des faibles vitesses, cela donne:



Le lagrangien n'est pas défini de façon unique: deux lagrangiens qui diffèrent par la dérivée totale par rapport au temps d'une fonction quelconque des positions et du temps sont équivalents: ils mènent aux mêmes équations différentielles du mouvement. Par conséquent, le terme ci-haut peut être éliminé car c'est la dérivée par rapport au temps de et on obtient donc comme lagrangien équivalent:



Si l'hamiltonien a un sens physique plus intuitif c'est surtout (peut-être même uniquement) parce que c'est une quantité habituellement conservée alors que le lagrangien n'a pas de telle propriété.

Il est à remarquer que l'hamiltonien est mathématiquement défini à partir du lagrangien. Pour une particule, en coordonnées cartésiennes, l'hamiltonien est donné par :



Par contre, il est important de noter ici que l'hamiltonien est une fonction des positions, des moments généralisés et du temps alors que le lagrangien est une fonction des positions, des vitesses et du temps. Lorsque les potentiels ne dépendent pas de la vitesse, les moments généralisés se réduisent à la quantité de mouvement habituelle .

[Seirios]

On obtient donc que pour une trajectoire périodique, l'action n'est rien d'autre que l'aire de l'orbite fermée dans l'espace des phases !

Je crois que je me suis perdu en route

C'est vrai seulement dans la limite non-relativiste.

Existe-t-il une écriture "générale" du laplacien ?

Le lagrangien n'est pas défini de façon unique: deux lagrangiens qui diffèrent par la dérivée totale par rapport au temps d'une fonction quelconque des positions et du temps sont équivalents: ils mènent aux mêmes équations différentielles du mouvement.

Donc si on a les lagrangiens (avec a et c des expressions quelconques) et , alors , c'est bien ça ?

Par contre, il est important de noter ici que l'hamiltonien est une fonction des positions, des moments généralisés et du temps alors que le lagrangien est une fonction des positions, des vitesses et du temps.

Qu'entends-tu par "moments généralisés" ? Je suppose que tu ne parles pas uniquement de la quantité de mouvement.

[mamono666]

Pour l'air: gatsu partait de l'hypothese que l'on savait que S est minimum. Cette hypothese s'ecrit:




donc

Ensuite tu utilises et tu fais une integration par partie sur le second terme, du coup:



c'est l'equation d'euler lagrange (qui est equivalente à F=m.a). Gatsu part donc de cette hypothese et arrive à une intégrale de p.dq .

Or une intégrale est en realité une somme continue. Donc si tu prends un repere avec p en ordonnée et q en abscisse. cela correspondra bien à l'aire.
Puisque tu sommes sur chaque valeur de p.

Puis pour les lagrangiens dont tu parles, cela ne signifie pas que L1=L2. mais que: que tu prennes L1 ou L2 pour décrire le systeme alors est equivalent à

Pour le mot "généralisé", c'est juste pour dire qu'il y a plusieurs dimension. Par exemple si la position est décrit par q1, q2, q3, ....etc alors qi est une coordonnée généralisé.

[invité576543]

Pour le mot "généralisé", c'est juste pour dire qu'il y a plusieurs dimension. Par exemple si la position est décrit par q1, q2, q3, ....etc alors qi est une coordonnée généralisé.

J'ai de gros doutes... Et la question était sur les moments généralisés...

Cordialement,

[mamono666]

je ne sais pas ce que tu entendais par moment généralisé. Mais d'habitude on dit généralisé pour des coordonnees qi, lorsque (par exemple) la position est décrite par les qi

[gatsu]

je ne sais pas ce que tu entendais par moment généralisé. Mais d'habitude on dit généralisé pour des coordonnees qi, lorsque (par exemple) la position est décrite par les qi

Je pense que le Moment généralisé conjugué de c'est juste :


c'est vrai qu'on dit plutot moment conjugué mais bon c'est une question d'appellation c'est tout .

[gatsu]

Pour l'air: gatsu partait de l'hypothese que l'on savait que S est minimum. Cette hypothese s'ecrit:




donc

Ensuite tu utilises et tu fais une integration par partie sur le second terme, du coup:



c'est l'equation d'euler lagrange (qui est equivalente à F=m.a). Gatsu part donc de cette hypothese et arrive à une intégrale de p.dq .

Or une intégrale est en realité une somme continue. Donc si tu prends un repere avec p en ordonnée et q en abscisse. cela correspondra bien à l'aire.
Puisque tu sommes sur chaque valeur de p.

Puis pour les lagrangiens dont tu parles, cela ne signifie pas que L1=L2. mais que: que tu prennes L1 ou L2 pour décrire le systeme alors est equivalent à

Pour le mot "généralisé", c'est juste pour dire qu'il y a plusieurs dimension. Par exemple si la position est décrit par q1, q2, q3, ....etc alors qi est une coordonnée généralisé.

Merci d'avoir un peu plus détaillé mon raisonnement

[invitefa5fd80c]

Existe-t-il une écriture "générale" du laplacien ?

Je suppose que tu voulais dire le lagrangien et non le laplacien ?

Si on laisse de côté la mécanique quantique et la relativité générale et qu'on laisse de côté aussi les densités lagrangiennes associées à des champs classiques, le lagrangien le plus général est le lagrangien relativiste (dans le sens de la RR) d'une particule soumise à des forces généralisées qui dérivent d'un potentiel généralisé V (je reviendrai sur le mot "généralisé" plus bas). Ce lagrangien s'écrit:

Donc si on a les lagrangiens (avec a et c des expressions quelconques) et , alors , c'est bien ça ?

Pas tout à fait. Le lagrangien est une fonctions des positions, des vitesses et du temps. Ta fonction s'écrit donc : . Ta fonction quant à elle doit être une fonction uniquement des positions et du temps et s'écrit donc . Pour les lagrangiens et , on a:


.

Comme te l'a expliqué mamono666, on n'a pas . Par contre et sont dits équivalents car ils mènent tous les deux aux mêmes équations différentielles du mouvement.

Qu'entends-tu par "moments généralisés" ? Je suppose que tu ne parles pas uniquement de la quantité de mouvement.

L'utilisation du terme "généralisé" en mécanique analytique est très...généralisée

Avant l'introduction de la mécanique analytique, la description du mouvement s'effectuait en coordonnées cartésiennes. Avec la mécanique analytique, la description du mouvement est effectuée avec des coordonnées arbitraires: ces coordonnées peuvent êtres des fonctions quelconques des coordonnées cartésiennes et du temps. La seule contrainte qui leur est imposée est d'être indépendantes les unes des autres. On les appele coordonnées généralisées.

Le taux de variation temporel d'une coordonnée généralisée est appelée une vitesse généralisée.

La quantité:



est quant à elle appelée moment généralisé. La raison en est que lorsqu'on utilise les coordonnées cartésiennes comme coordonnées généralisées et que le potentiel ne dépend pas de la vitesse, la quantité p associée à la coordonnée cartésienne , par exemple, est la quantité de mouvement habituelle
Ce moment généralisé est aussi appelé moment canonique ou encore moment conjugué.

La quantité:



est quant à elle appelée force généralisée. En fait ce n'est pas tout à fait la définition de la force généralisée, mais dans le cas des systèmes conservatifs cela revient au même.

Lorsque la force généralisée peut être écrite sous la forme:



la quantité est appelée potentiel généralisé.

[Seirios]

Merci à tous pour vos réponses aussi complètes (pour le reste j'irais potasser quelques documents de mécanique analytique )

Je suppose que tu voulais dire le lagrangien et non le laplacien ?

Oui effectivement, petite erreur de vocabulaire