Hein?Envoyé par legyptien
Ni l'un ni l'autre aire n'est infini.
L'intégrale votre fonction porte au carré reste finie, et un sinus cardinal au carré est aussi intégrable puisqu'en 1/t².
Le sinus cardinal lui n'est pas intégrable... mais son carré l'est.
La somme de moins l'infini à plus l'infini d'un sinc au carré est finie.
Le sinus cardinal est intégrable me semble-t-il...
Bonjour coussin,
Non, il n'est pas intégrable, mais l'intégraleest (semi) convergente, ce qui n'est pas la meme chose.
Dire que le sinus cardinal est intégrable cela voudrait dire que
Mais effectivement
Au sens de Lebesgue...Dire que le sinus cardinal est intégrable cela voudrait dire que
Mais au sens de Riemann?
Bref, l'intégrale converge quoi...On va pas recommencer avec des maths
Dernière modification par coussin ; 11/10/2014 à 20h36.
Je n'ai pas connaissance d'une theorie de l'intégrale de Riemann sur des intervalles non bornés.
J'ai enfin compris ce que vous avez écrit. Je me souviens avoir appris il y a longtemps l'intégration de 1/x^n. Pour n>1, il y a convergence (je crois au sens de rieman de souvenir mais pas sur). Pour le cas n=1 il y a litige mais d'après vos messages ça diverge. Je suis d'accord avec vous que la TF du carré est convergente car le sinus cardinal au carré est majoré par 1/x^2. Mais je suis quand même pas convaincu de l'égalité et je vais dire pk.
Prenez notre fonction porte, si on réduit epsilon (j'ai pas dit tendre vers 0 parce que sinon on tombe dans la distribution et mettre au carré une distribution, etc...), on va, dans le domaine fréquentiel repousser le premier nul du sinus cardinal vers les "hautes fréquences" (j'ai pas envi de dire l'infini parce qu epsilon ne tend pas vers 0). L'aire de la partie fréquentielle augmente et celle de la partie temporelle diminue. Et les carrés ne changent rien à cette TENDENCE. Donc c'est pour cette raison que je crois pas en l'égalité. Je suis d'accord que mon histoire d'intégraledu sinus cardinal au carré infini tombe à l'eau parce que ça converge mais il reste le raisonnement du dessus...
Bon juste par curiosité, comment vous faites pour savoir que la valeur absolue du sinus cardinal diverge alors le sinus cardinal converge ? On est rendu sur un topic math mais je pense que c'est ce qu'il faut défricher pour comprendre...
Quelques pistes :
http://serge.mehl.free.fr/anx/series.html
Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».
Pourquoi ne pas faire le calcul pour vous en assurer?
Prenons a un réel strictement positif quelconque et soit f la fonction valant 1 sur [-a, a] et 0 ailleurs (il est clair que si je prend la fonction vallant une constant positive arbitraire b sur [-a, a] et 0 ailleurs alors son intégrale au carré sera multipliée par b² de meme que sa transformée de Fourier sera multipliée par b et l'integrale du carré de cette derniere par b² de sorte qu'on peut prendre b=1).
Alors
Reste à calculer
et
où j'ai fait un changement de variable dans la dernière intégrale et que je ne vais pas calculer.
Dans tous les cas on trouve que
où C est une certaine constante qui ne depend pas de a (et qui vaut en fait \pi) et donc le fait de modifier a ne change rien à cette relation... Dite autrement pour tout largeur a de votre fonction porte vous aurez toujours
(où C je le rappelle ne depend pas de a) et égalité des aires sous les carrés des fonctions (à la constante de normalisation pres qui depend de mon choix de normalisation pour la TF).
J'imagine que vous parlez des intégrales.
L'intégrale de |sin(t)|/t diverge parce que vous pouvez la minorer par la série des intégrale sur [n\pi, (n+1)\pi] de |sin(t)|/t, la dessus vous pouvez minorer 1/t par 1/(n+1)\pi et donc la série elle meme est minorée par celle des C/(n+1) où C est une constante (valant l'intégrale sur [0,\pi] de |sin(t)|/\pi) et cette série diverge.
Pour voir que l'intégrale du sinus cardinal converge, ramener vous a un intervalle de la forme [0,M], intégrez par parties (en derivant le 1/t) et faites tendre M vers l'infini, en utilisant ensuite qu'une intégrale en O(1/t²) converge et comme le reste tout intégré converge, vous avez fini.
Salut,si tu veux compliquer la vie
la page 271 et la page 286 ,III-3-8 exemples
Salut, d'autres méthodes : http://fr.wikipedia.org/wiki/Int%C3%...e_de_Dirichlet.
Salut,Au sens de Lebesgue...
Mais au sens de Riemann?
Bref, l'intégrale converge quoi...
http://fr.wikipedia.org/wiki/Int%C3%...27une_fonction
Dernière modification par azizovsky ; 12/10/2014 à 14h56.
Si, c'est définie tout bêtement en tant qu'intégrale de Riemann impropre.
Je reviens au message 6...
Vous êtes pas d'accord sur le fait que la TF d'un Dirac c'est une fonction égale à 1 sur toutes les fréquences... ?
Heu... si, je l'ai meme dit plus haut.
Et là, il va vous répondre qu'un Dirac est d'aire 1 alors que la fonction 1 a une aire infinie
On tourne en rond... Vous ne pouvez pas "passer à la limite" à partir du couple porte/sinc. Le Dirac n'est pas une fonction.
ce qui signéfie que le terme IMPROPRE est bêtement rajouter par les mathémariciens.(impropre par rapport à quoi?)
Dernière modification par azizovsky ; 12/10/2014 à 19h55.
Peu importe le terme consacré. Les intégrales impropres de Riemann ont un sens bien précis et définie. L'intégrale de 0 à l'infini du sinus cardinal est convergente et vaut pi dans ce sens.ce qui signéfie que le terme IMPROPRE est bêtement rajouter par les mathémariciens
la précision des maths est dans(passee par) son vocabulaire .
Dernière modification par azizovsky ; 12/10/2014 à 20h27.
En effet. Une intégrale impropre de Riemann n'est pas à proprement parler une intégrale de Riemann. D'où le nom.
Non Coussin je vais pas répondre ça. Vous devriez lire le message 6 au lieu de faire des suppositions sans fondement...Et là, il va vous répondre qu'un Dirac est d'aire 1 alors que la fonction 1 a une aire infinie
On tourne en rond... Vous ne pouvez pas "passer à la limite" à partir du couple porte/sinc. Le Dirac n'est pas une fonction.
Le message #6 vous indique que vous ne pouvez pas appliquer Plancherel au couple dirac/1.
Quelle est votre question?
Le message 6 est une réponse à:
"
Envoyé par legyptien
Que se passe t'il si je fais tendre epsilon vers zero: La fonction porte va tendre vers un dirac et sa TF va tendre vers la fonction constante = 1 (un bruit blanc en quelque sorte). "
J'affirme donc que la TF d'un Dirac est une fonction constante égale a 1.
La réponse est: Non, certainement pas dans L2...(message 6)
C'est pour ça que je suis revenu sur ce message...
Dernière modification par legyptien ; 12/10/2014 à 21h25.
Le message 6 répond à cette affirmation
Ce qui est, je le repète, faux dans L².La fonction porte va tendre vers un dirac
Le fait que la TF d'un dirac soit une constante, est vrai... mais n'est pas impliqué par ce que vous ecrivez, qui est faux.
Je rejoins Coussin, quel est votre question?
Il me semble avoir répondu à toutes vos interrogations.
Oh je pensais pas que le pb était dans la limite de la fonction porte vers le Dirac. Ma question était de confirmer que la TF d'un Dirac est une constante égale a 1. Elle n'a donc plus lieu d'être (plus de question).
Parfait donc
En fait si j'en ai une. Le Dirac peut pas être vu comme une fonction dégénérée. Je vous jure que je le fait pas exprès. En fait je veux bien vous croire sur le fait que la fonction "porte" ne peut pas tendre vers un Dirac car on est dans L2 (ou peut importe la raison), mais quand on fait tendre epsilon vers zéro, le sinus cardinal tend bien vers la constante 1. Et ça se fait progressivement en plus (le premier nul du sinc tend vers l'infini)... C'est pas un hasard ? Mais je vous crois pour le Dirac mais c'est juste que c'est bizarre en tout cas pour moi...
Tant que vous persisterez à employer le terme "tend vers" sans preciser pour quelle topologie ou quelle norme... vous ne pourrez pas y voir clair.
Voyons l'intégrale comme une application, que je note disons T sur l'espace des fonctions de carré intégrable.
Vous avez une application qui à f associe T(f) l'intégrale de f² (pour f² intégrable).
Bon, T est continue pour la converge L² dit autrement si vous avez f_n qui tend vers f pour la norme L² alors T(f_n) tend vers T(f).
Le sinus cardinal de paramètre a quand vous faites tendre a vers 0 ne tend pas vers 1 en norme L²...
Le sinus cardinal de paramètre a tend vers 1 "simplement", ceci n'implique pas que T(sinc_a)->T(1) quand a tend vers 0.
Le theoreme de Plancherel dit que pour tout fonction f dans L² vous avez T(f)=T(f^hat) où f^hat est la TF de f (pour une normalisation convenable).
Il ne dit rien de T(dirac) qui n'est pas défini, ni de T(1) qui n'est pas défini non plus.
Si on note p_n votre suite de fonction porte de plus en plus etroite alors vous avez p_n qui tend vers dirac au sens des distributions mais pas en norme L² donc rien ne vous assure que T(p_n) tende vers T(dirac) (ce dernier terme n'etant en plus pas défini).
