Parseval et dualité temps frequence

[legyptien]

Bonjour !

Bon je me demandais s'il y a pas une contradiction entre le concept de dualité temps/frequence et Parseval (conservation d’énergie) ? En effet supposons une "fonction" porte de largeur epsilon et de valeur l'inverse d'epsilon. L'aire de la fonction est égale à 1. La transformée de Fourier (TF) de ce truc est un sinus cardinal qui culmine à 1 en 0. Que se passe t'il si je fais tendre epsilon vers zero: La fonction porte va tendre vers un dirac et sa TF va tendre vers la fonction constante = 1 (un bruit blanc en quelque sorte).

Du coup "l'air" du dirac est égale a 1 et sa TF a une air infinie (théoriquement). Incompatibilité avec Parseval ?

Je sais que ca va faire hurler les matheux mais bon oublions la théorie des distributions et voyons ca comme une fonction dégénée...

Merci
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[ThM55]

Bonsoir. Attention, l'égalité de Parseval fait intervenir le carré de la fonction. Plus généralement d'ailleurs, elle affirme l'égalité des produits scalaires de deux fonctions et de ce produit scalaire pour leur transformée de Fourier (ce produit scalaire étant l'intégrale du produit du conjugué de l'une par l"autre). Cela exprime le fait que la transformée de Fourier est une transformation unitaire dans l'espace fonctionnel.

Bref, cela veut dire qu'il faudrait, dans la limite que vous considérez, prendre le produit de deux delta de Dirac, et non pas un seul. Or, le produit de deux distributions n'est pas défini, en général. Mais si on insiste vraiment, on peut le faire naïvement et on obtient une "aire" infinie, donc pas de contradiction patente.

[pseudoarallonge]

Bien joué,

le raisonnement est convainquant. C'est un jolie sophisme.

Mais bien évidemment, il manque une donnée importante et qui permet de "sauver" la conservation de l'énergie : la phase.

La Transformée de Fourier représentée en module simplement a une aire infinie, mais sa représentation en phase va nous dire que les ondes de différentes fréquences vont interférer destructivement pour éviter une sorte de "catastrophe ultraviolette"...

[legyptien]

Bonsoir. Attention, l'égalité de Parseval fait intervenir le carré de la fonction. Plus généralement d'ailleurs, elle affirme l'égalité des produits scalaires de deux fonctions et de ce produit scalaire pour leur transformée de Fourier (ce produit scalaire étant l'intégrale du produit du conjugué de l'une par l"autre). Cela exprime le fait que la transformée de Fourier est une transformation unitaire dans l'espace fonctionnel.

Bref, cela veut dire qu'il faudrait, dans la limite que vous considérez, prendre le produit de deux delta de Dirac, et non pas un seul. Or, le produit de deux distributions n'est pas défini, en général. Mais si on insiste vraiment, on peut le faire naïvement et on obtient une "aire" infinie, donc pas de contradiction patente.

L'histoire du carré ne change d'apres moi rien au raisonnement. J'avais proposé d'utiliser les fonctions degeneree. Je vais la jouer autrement, oublions le dirac et le fait de faire tendre epsilon vers 0. la fonction porte au carré, tres bien ca fait une constante egale a linverse de epsilon^2. le sinsus cardinal au carré donne une aire infini du coté des frequences. Pas de Dirac nul part.

Le premier qui prononce distribution je le...

[A voir en vidéo sur Futura]

[legyptien]

Bien joué,

le raisonnement est convainquant. C'est un jolie sophisme.

Mais bien évidemment, il manque une donnée importante et qui permet de "sauver" la conservation de l'énergie : la phase.

La Transformée de Fourier représentée en module simplement a une aire infinie, mais sa représentation en phase va nous dire que les ondes de différentes fréquences vont interférer destructivement pour éviter une sorte de "catastrophe ultraviolette"...

Desole ma
Que vient faire cette catastrophe dans la discussion... On parle pas de rayonnement d'une source chaude là ! Desole mais La temperature n'a rien a voir...

[invite02232301]

Bonjour,

Que se passe t'il si je fais tendre epsilon vers zero: La fonction porte va tendre vers un dirac et sa TF va tendre vers la fonction constante = 1 (un bruit blanc en quelque sorte).

Non, certainement pas dans L², qui est l'espace ou le theoreme de Plancherel (vous parlez de Parseval mais je pense que vous confondez avec Plancherel, parseval parle lui de series de Fourier, et parle de fonctions sur le cercle) s'applique.

Du coup "l'air" du dirac est égale a 1 et sa TF a une air infinie (théoriquement). Incompatibilité avec Parseval ?

Non plus, quand les hypotheses d'un theoreme ne sont pas respectées, rien n'indique que la conclusion doit tenir.

[albanxiii]

Bonjour,

Je sais que ca va faire hurler les matheux mais bon oublions la théorie des distributions et voyons ca comme une fonction dégénée...

Quel sans gêne

@+

[legyptien]

Bonjour,

Non, certainement pas dans L², qui est l'espace ou le theoreme de Plancherel (vous parlez de Parseval mais je pense que vous confondez avec Plancherel, parseval parle lui de series de Fourier, et parle de fonctions sur le cercle) s'applique.


Non plus, quand les hypotheses d'un theoreme ne sont pas respectées, rien n'indique que la conclusion doit tenir.

ouhhhh Parseval s'applique uniquement aux series de Fourier !! c'est noté. Parlons de Plancherel que je ne connais pas du tout !!

Plusieurs choses:

1) Si epsilon tend vers 0, la fonction porte tend vers un dirac et Plancherel n'y changera rien puisqu'on change pas d'espace. Vous etes d'accord ?

2) Bon si on d'accord sur 1) alors je suis sur que la TF d'un dirac est une constante egale à 1. Pour preuve, quand on parle de bruit blanc c'est parce que la fonction d'autocorrelation (qui est un dirac) est une constante egale a 1.

[acx01b]

la fonction : largeur , hauteur , surface

la fonction au carré : largeur , hauteur , surface

CQFD, la "surface" du Dirac est 1, la surface du Dirac au carré est l'infini (c'est donc plus ou moins interdit de mettre un Dirac au carré, ce n'est plus une distribution..)

ce qui concorde avec le fait que la TF du Dirac est la fonction constante 1, et l'égalité de Parseval

(et le carré ne change donc pas "rien")

EDIT: effectivement on dirait que pour wikipedia ce n'est pas Parseval pour les TF, mais je pense qu'en cours on appelle souvent ce théorème de Plancherel égalité de Parseval pour les TF

Au fait, quel est l'ensemble des distributions (comme limite d'une suite de fonction) "de carré sommable" ?

[invite02232301]

1) Si epsilon tend vers 0, la fonction porte tend vers un dirac et Plancherel n'y changera rien puisqu'on change pas d'espace. Vous etes d'accord ?

Pas vraiment, non. Tend en quel sens? Au sens L², certainement pas, au sens des distributions oui.
Dire la fonction porte "tend" vers un dirac, n'a pas de sens en soi si on ne precise pas pour quelle topologie on prend la limite.

2) Bon si on d'accord sur 1) alors je suis sur que la TF d'un dirac est une constante egale à 1. Pour preuve, quand on parle de bruit blanc c'est parce que la fonction d'autocorrelation (qui est un dirac) est une constante egale a 1.

La transformée de Fourier d'un Dirac est bien constante et vaut 1 (a une normalisation pres), oui. Mais cela ne viole pas le theoreme de plancherel qui dit que la tranformée de Fourier est une isométrie de L² dans lui meme (c'est la "conservation de l'energie" si vous voulez), le dirac n'est pas dans L², la fonction constante égale à 1 non plus... donc je ne vois pas trop où est le souci.

[legyptien]

la fonction : largeur , hauteur , surface

la fonction au carré : largeur , hauteur , surface

1) j'ai pas compris tout le message mais je commenter ce que j'ai compris. Si vous voulez elevé au carré et garder une surface egale à 1, il faut prendre une largeur egale a epsilon au carré.

2) "EDIT: effectivement on dirait que pour wikipedia ce n'est pas Parseval pour les TF, " vous avez voulu dire c'EST parseval ? parce qu apres vous mettez "mais"... J'ai moi meme oublié de rajouter "TF" dans mon precedent message. TF de l autocorrelation est egale a une constante egale a 1.

[legyptien]

Dire la fonction porte "tend" vers un dirac, n'a pas de sens en soi si on ne precise pas pour quelle topologie on prend la limite.


La transformée de Fourier d'un Dirac est bien constante et vaut 1 (a une normalisation pres), oui. Mais cela ne viole pas le theoreme de plancherel qui dit que la tranformée de Fourier est une isométrie de L² dans lui meme (c'est la "conservation de l'energie" si vous voulez), le dirac n'est pas dans L², la fonction constante égale à 1 non plus... donc je ne vois pas trop où est le souci.

quand je dis tends cest au sens de ce que j'ai appris au lycée. On parle pas de topologie au lycée. Par ailleurs, meme jusqu'à la fin de mon Master on m'a pas parlé de topologie. J'ai une vrai lacune que je veux combler au plus tot car j'ai l'impression qu'elle est à l'origine de plusieurs incomprehension dont celle de ce topic.

question de base : pourquoi le dirac ou la fonction constante egale à 1 n est pas dans L2 ? un exemple d'une fonction dans L2 ? peut etre une fonction dependant de 2 variable x, y ?

je connais l'entropie pour l'avoir étudié en thermodynamique, desordre, etc... J'ai étudié aussi la théorie de l'information et l'entropie associée à pas capacité du canal. J'arrive pas à lier les 2. je sais que les 2 sont dans le domaine statistique. j essaie de trouver des points communs mais... comment relier desordre (augmentation du desordre) et information... un lien ?

Merci !

[invite02232301]

Au lycée vous avez fait (un peu) de la topologie sans le savoir!
Au lycée vuos vous borniez a parler de limites de réels (ou complexes) au sens où une suite de réels (ou une fonction réelle) tendait vers un nombre réel (avait pour limite un nombre réel en un point). Vous ne parliez pas de fonctions qui tendent vers une autre fonction. Il faut des maths (légèrement) plus sophistiquées pour faire ça, et il y a plusieurs notion de convergence. Certaines de ces notions de convergence assurent la continuité de l'intrégrale (dit autrement la limite de l'intégrale est l'intégrale de la limite) d'autres non.
Le mode de convergence le plus simple est probablement la convergence "simple", si vous avez une suite de fonctions f_n, dire qu'elle converge simplement vers une fonction f cela veut dire que pour tout x alors f_n(x) tend vers f(x), dans ce cadre vous n'avez pas \int f_n qui tend vers \int f en general.

Bon la convergence L² elle assure une convergence des intégrales (plus precisement vous avez que \int f_n² tend vers \int f²), mais c'est une notion differente de la convergence simple que vous semblez evoquer.

La convergence au sens des distributions est encore autre chose, et en fait ce n'est que grace à elle que l'on peut justifier votre raisonnement, dit autrement votre suite de fonction f_n tend vers le dirac au sens des distributions. Cela veut dire que pour tout fonction g infiniement derivable et nulle hors d'un intervalle bornée \int f_n g tend vers g(0).
Dit autrement le processus de limite que vous utilisez vous force de facto a considerer des distributions et la convergence au sens des distributions.

Maintenant le theo de plancherel parle de fonction dans L2, c'est a dire de fonctions qui verifie \int f² est finie. Ca n'est bien sur pas le cas du dirac qui n'est deja pas une fonction.
La fonction constante et égale à 1 n'est pas de carré intégrable sur R, son intégrale est infinie, elle n'est pas dans L².
Enfin, un exemple de fonction dans L² vous avez par exemple x->e^{-|x|}.

[legyptien]

desole du delai, j'avais des trucs à finir...

Certaines de ces notions de convergence assurent la continuité de l'intrégrale (dit autrement la limite de l'intégrale est l'intégrale de la limite) d'autres non..

Au lycee on avait fait aussi les branches paraboliques mais on a pas parlé de convergences. La phrase en gras me derange parce que vous dites integrale mais vous precisez pas les bornes de l'integrale. j'imagine que c'est dans "la tranche" oú la fonction converge vers la limite ? Vous dites aussi "d'autres non": j'ai du mal à concevoir ca. Si 1 fonction tend vers une autre fonction (peu importe de quelle maniere elle tend (je sais que vous differencier les differentes manieres de tendre parce qu'il y a differentes convergences plus ou moins forte)) alors la limite de l'integrale de la fonction est egale l'integrale de la limite de cette fonction, vrai ?

je lirai la suite de votre message une fois que j'aurai eclairci ca autrement ca sert à rien je pense...

[invite02232301]

Si 1 fonction tend vers une autre fonction (peu importe de quelle maniere elle tend (je sais que vous differencier les differentes manieres de tendre parce qu'il y a differentes convergences plus ou moins forte)) alors la limite de l'integrale de la fonction est egale l'integrale de la limite de cette fonction, vrai ?

Non, c'est faux. Je peux vous donner plein de contre exemples si vous voulez.

[obi76]

1) j'ai pas compris tout le message mais je commenter ce que j'ai compris. Si vous voulez elevé au carré et garder une surface egale à 1, il faut prendre une largeur egale a epsilon au carré.

Dans ce cas la fonction originale n'a plus une aire de 1

[legyptien]

en ce qui concerne les bornes de l integrale svp ? pour qu'on soit d'accord sur la suite...

j avais pensais a la fonction : ax+b/x qui en l infini tend vers ax... pour evaluer l affirmation sur les integrales j ai besoin des bornes !

merci

[legyptien]

Dans ce cas la fonction originale n'a plus une aire de 1

c est vrai mais cette histoire est importante si on parle de dirac / distribution.

pk l air d une fonction porte de largeur epsilon serait egale a l aire du sinus cardinal au carré (air infini) car c est ca que dit parseval ?

[invite02232301]

en ce qui concerne les bornes de l integrale svp ? pour qu'on soit d'accord sur la suite...

N'importe lesquelles du moment qu'on a convergence sur l'intervalle en question.

j avais pensais a la fonction : ax+b/x qui en l infini tend vers ax... pour evaluer l affirmation sur les integrales j ai besoin des bornes !

? Qu'est ce que tu veux dire par la? Il te faut un paramètre en plus de ta variable x pour faire tendre ta suite de fonctions vers une autre.

[legyptien]

N'importe lesquelles du moment qu'on a convergence sur l'intervalle en question.


? Qu'est ce que tu veux dire par la? Il te faut un paramètre en plus de ta variable x pour faire tendre ta suite de fonctions vers une autre.

Donnez moi un exemple svp. je suis a coté de la plaque depuis le debut. Pour preuve voila ce que je croyais:
on a
f(x) = a/x + b/x et g(x) = a/x

dans ce cas on a f(x) tend vers g(x) quand x tend vers l infini. j ai compris ca parce qu au debut vous m avez dit qu'une fonction ne tend pas forcement vers un reel (lycee), elle peut temdre aussi vers une fonction. du coup dans mon cerveau est apparu cet exemple...

je pense vraiment qu un exemple rendrait moins abstrait. Maintenant que vous avez dit qu il manquait un parametre j imagine que mon raisonnement du dessus est vrai si je remplace les f(x) par f_n et b/x par b/n...

merci

[stefjm]

Exmple de suite de fonction convergent vers un dirac.
http://fr.wikipedia.org/wiki/Distrib...utres_exemples

[legyptien]

est ce qu on peut oublier le dirac svp.

merci

[invite02232301]

Donnez moi un exemple svp. je suis a coté de la plaque depuis le debut.

Comme exmple prenez par exemple la suite de fonction f_n:[0,1]->[0,1] défini par f_n(x)=x^n, elle converge simplement (ca veut dire que pour tout x, f_n(x) tend vers f(x)) vers la fonction nulle sur [0,1[ et vallant 1 en 1.
Ici on a

Autre exemple f_n l'indicatrice de l'intervalle [n,n+1] (c'est la fonction qui vaut 1 sur [n,n+1] et 0 ailleurs) alors elle converge simplement vers la fonction nulle, on a bien sur pas la convergence de l'intégrale de f_n sur [0, +oo[ (qui vaut 1) vers l'intégrale de 0 sur [0,+oo[ (qui vaut 0).
Je ne peux que vous conseiller d'ouvrir un fil sur partie maths du forum, et de lire un cours sur la notion de suite de fonctions, il en pullule sur le net.

[invite02232301]

Exmple de suite de fonction convergent vers un dirac.
http://fr.wikipedia.org/wiki/Distrib...utres_exemples

Etant donné qu'il n'y a pas marqué pour quelle topologie cette convergence tient... ce paragraphe ne vaut pas grand chose en l'etat (bien que les choses présentées soient juste, une fois qu'on precise la bonne notion de convergence).

[stefjm]

La physique est un joli terrain de jeux pour les mathématiques.

[legyptien]

Comme exmple prenez par exemple la suite de fonction f_n:[0,1]->[0,1] défini par f_n(x)=x^n, elle converge simplement (ca veut dire que pour tout x, f_n(x) tend vers f(x)) vers la fonction nulle sur [0,1[ et vallant 1 en 1.
Ici on a

J imagine que c est quand n tend vers l'infini. C est dit mais je pense que c'est évident...

Ok je vais regarder sur internet. Ceci dit si je me souviens bien on est rentré dans cette histoire de convergence parce qu'il y a plusieurs types de convergence, et la conversion vers une distribution en est encore une autre version. D'autre part on oublie parseval et on utilise plancherel.

Donc on a une fonction porte qui a une aire égale a 1, on fait PAS tendre quoi que ce soit. La TF est une sinus cardinal. Il y a bien une loi qui dit qu en vertu de la conservation d'énergie, l'aire du carré de la fonction temporelle est égalé a l'aire du carré de la TF de la fonction ? (On s'était un peu écartée du sujet à cause de moi parce que je voulais comprendre cette histoire de convergence même si elle intervient pas dans le raisonnement !)

Merci

[invite02232301]

Il y a bien une loi qui dit qu en vertu de la conservation d'énergie, l'aire du carré de la fonction temporelle est égalé a l'aire du carré de la TF de la fonction ?

Oui, cette loi c'est le theoreme de Plancherel, qui est valable dans le cas d'une fonction porte et de sa TF, qui est bien un sinus cardinal.

[legyptien]

Oui, cette loi c'est le theoreme de Plancherel, qui est valable dans le cas d'une fonction porte et de sa TF, qui est bien un sinus cardinal.

Très bien donc en temporel on a une aire fini et en fréquentiel elle est infinie à cause du carré. Il y a donc un souci non ?

Ps: on fait pas tendre quoi que ce soit !!! Y a PAS de Dirac ou notion de convergence la...

[pseudoarallonge]

Bonjour legyptien,

En relisant tranquillement votre premier message, il semble que dans votre raisonnement, vous fassiez une transformée de Fourier d'une transformée de Fourier.

TF(porte)=Sinc
TF(Sinc)=Bruit coloré (qui tend vers un bruit blanc quand la fonction Sinc tend vers un Dirac)

Donc comparer la fonction porte et le bruit coloré n'a pas de sens.

Par contre, un Dirac (temporel) peut être approximé soit par une fonction porte (temporel) ou un Sinc (temporel et pas fréquentiel)
Dans le premier cas, le Dirac est vu comme un choc ou une impulsion.
Dans le deuxième cas, il est vu comme une somme infinie de sinus de toutes les fréquences et de même amplitude.

[legyptien]

Bonjour legyptien,

En relisant tranquillement votre premier message, il semble que dans votre raisonnement, vous fassiez une transformée de Fourier d'une transformée de Fourier.

TF(porte)=Sinc
TF(Sinc)=Bruit coloré (qui tend vers un bruit blanc quand la fonction Sinc tend vers un Dirac)

Non je ne fais pas la TF d'un sinus cardinal. D'ailleurs ça n'a aucun sens physique. Cependant je crois comprendre ce qui vous a induit en erreur. Quand on parle de bruit, on parle de fonction aléatoire avec une densité de probabilité associée. Dans une très grande majorité on parle de bruit blanc gaussien additif. Chaque mot est important. Additif parce qu'il s'ajoute au signal qu'on veut transmettre (message). Gaussien car la distribution (probabilistique) en AMPLITUDE. Blanc est une propriété temporelle qui veut dire que l'auto corrélation du bruit est un Dirac. Si vous prenez la TF d'une auto corrélation (domaine temporel) (souvent pour un signal aléatoire comme le bruit) vous obtenez une densité spectrale de puissance (domaine fréquentiel). Si une auto corrélation est un Dirac ça veut dire que le signal ne RESSEMBLE pas du tout à lui même si on décale (en temporel) d'un chouilla le signal. Un bruit peut être blanc et pas gaussien ou inversement en théorie. Si on est numérique vous pouvez dire que que chaque échantillon est decorellé de l'échantillon d'après ou d'avant. (La corrélation est différente de la dépendance qui est une notion beaucoup plus forte / plus contraignante). Dans le cas particulier d'une gaussienne corrélation et dépendance peuvent être confondu a ma connaissance.

Alors j'ai pas sorti tout ça a mon premier message parce que le Dirac que j'ai obtenu n'est pas une auto corrélation d'un signal aléatoire mais un signal qui converge vers un Dirac.

Je n'ai pas lu la suite de votre message mais on était pas d'accord sur le début...