Ecoulement parfait et écoulement irrotationnel

[inviteddd26fb4]

Bonjour,

Dans un livre de physique que j'étudie actuellement, l'auteur envisage des écoulements parfaits qui ne soient pas irrotationnels : pourriez-vous m'indiquer si ces deux hypothèses sont cohérentes s'il vous plaît ? Il me semble en effet difficile de se représenter comment des tourbillons pouraient apparaître avec une viscosité nulle.

Bien cordialement,

Fjord

[invite6dffde4c]

Bonjour.
Pour avoir des tourbillons on n’a pas besoin de viscosité. Un certain type d’hélium liquide (je crois de c’est l’hélium 3) a une viscosité nulle et des tourbillons spontanées. (Ce n’est pas du tout mon domaine).
Prenez un tube serpentin et faites couler un fluide parfait. L’eau tourne dans les virages avec une vitesse angulaire uniforme. Comme la vitesse tangentielle est r.ω, le rotationnel n’est pas nul.
Au revoir.

[inviteddd26fb4]

Effectivement, en régime stationnaire.

Merci !

Bien cordialement,

Fjord

[invite93279690]

Bonjour,

Dans un livre de physique que j'étudie actuellement, l'auteur envisage des écoulements parfaits qui ne soient pas irrotationnels : pourriez-vous m'indiquer si ces deux hypothèses sont cohérentes s'il vous plaît ? Il me semble en effet difficile de se représenter comment des tourbillons pouraient apparaître avec une viscosité nulle.

Bien cordialement,

Fjord

Salut,

La formation de tourbillons n'est pas quelque chose de tres bien compris il me semble (peut etre qu'Obi76 en sait plus sur la question). Leur formation se produit souvent a haut nombre de Reynolds et le role des conditions aux bords, de l'histoire de la mise en mouvement du fluide ainsi que de leur modelisation respective reste un probleme d'actualite. Je me rappelle avoir lu un sujet de these en mecanique de fluide a l'universite de Montpelier ou le but etait de comprendre quelles etaient les conditions minimales pour lesquelles un tourbillon apparaissait lors d'une vidange d'un reservoir par exemple.

Ce qui est sur, c'est que rien dans les equations de Navier-Stockes ne previent l'existence de tourbillons a viscosite nulle; c'est d'ailleurs le contraire i.e. si un tourbillon existe a haut nombre de Reynolds alors son temps de vie sera tres tres long (c'est ce qui explique en partie, il me semble, pourquoi les tornades peuvent se deplacer sur des centaines voire milliers de kilometres). Si la viscosite commence a jouer un role, alors elle va induire une diffusion de la vorticite qui finira par devenir completement nulle partout au bout d'un certain temps.

[A voir en vidéo sur Futura]

[obi76]

Salut,

pour commencer non-irrotationnel ne veut pas forcément dire qu'il y a des tourbillons. Une couche limite laminaire a un rotationnel non nul (mais une divergence nulle si on prend les hypothèses ad-hoc : pas de termes source etc).

Ensuite, on comprend la formation des tourbillons (physiquement). Ce que l'on ne sait pas prédire, ce sont par exemple leur taille, leurs caractéristiques statistiques. On peut savoir à peu près quand ils apparaissent (via le Reynolds), mais pas de manière précise (sauf cas académiques).

Pour leur formation, il faut (sauf cas particulier comme les superfluides) du cisaillement. Si on reprend les équations "de base" de quantité de mouvement, on voit que le cisaillement, via la viscosité, provoque une déstabilisation des lignes de courant sur l'axe perpendiculaire au plan de cisaillement. Ca par exemple on l'observe, ce sont les instabilités de Kelvin-Helmholtz.

Pour les superfluides, là je ne connais pas grand chose. Qu'il y ait apparence de tourbillons "uniquement" dus à la convection (i.e. il n'y a pas de terme croisés comme ceux que l'on trouve dans le tenseur des contraintes, donc dépendantes de la viscosité), ça ne me parait pas impossible. Mais leurs caractéristiques doit être bien différente des turbulences déclenchées par la viscosité (décroissance dans le spectre plus faible je suppose, parce que pas de dissipation thermique de leur énergie cinétique par exemple).

[inviteddd26fb4]

Merci gatsu et obi76 pour vos explications intéressantes sur les tourbillons. Je me suis cependant mal exprimé : je ne voulais pas parler de tourbillons (qui est je crois un mouvement d'un ensemble de particules de fluides) mais du vecteur tourbillon, c'est-à-dire de la rotation des particules du fluide. Je crois avoir maintenant compris que pour faire tourner les particules, il faut du cisaillement et de la viscosité (inspiré de la remarque de obi76), mais que si cette rotation se trouve exister dans un fluide parfait, elle persistera indéfiniment (inspiré de la remarque de gatsu).

[obi76]

Re,

si cette rotation existe, physiquement ça créé du cisaillement. Or, le cisaillement, via le frottement ça convertit l'énergie cinétique du fluide en chaleur. En gros : une turbulence générée, si rien ne la force, finit par disparaître au profit d'une élévation de la température.

[invite6dffde4c]

Re.
C’est la première fois que j’entends « vecteur tourbillon ». Je me suis renseigné dans Wikipedia et je découvre qu’il s’agit du… rotationnel !
Encore un nouveau nom pour quelque chose connue de depuis toujours.

Et NON, pour avoir un rotationnel non nul, on n’a pas besoin de viscosité.
Je vous ai déjà donné l’exemple des liquides superfluides.

La viscosité et le rotationnel ne sont pas nécessairement liés. On peut avoir l’un sans l’autre, les deux, ou aucun des deux.
A+

[invite6dffde4c]

Re,

si cette rotation existe, physiquement ça créé du cisaillement. Or, le cisaillement, via le frottement ça convertit l'énergie cinétique du fluide en chaleur. En gros : une turbulence générée, si rien ne la force, finit par disparaître au profit d'une élévation de la température.

Bonjour Obi76.
Nous sommes d’accord : le cisaillement dissipe de l’énergie dans un liquide visqueux. Mais il n’implique pas nécessairement un rotationnel non nul, et vice-versa : un rotationnel non nul, n’implique pas nécessairement du cisaillement.
En fait, on peut avoir tous les cas avec un liquide visqueux, en remuant son café.
Si vous faites tourner (mettons vers la droite) votre café, et enlevez la cuillère, en surface, près du centre le café tournera à vitesse angulaire constante (pas de cisaillement) avec un rotationnel vers le bas. Près des bords la vitesse angulaire tends vers zéro et vous aurez un rotationnel vers le haut, avec cisaillement. Et entre les deux, le rotationnel sera nul, avec cisaillement.
Cordialement,

[obi76]

Re,

Nous sommes d’accord : le cisaillement dissipe de l’énergie dans un liquide visqueux. Mais il n’implique pas nécessairement un rotationnel non nul, et vice-versa : un rotationnel non nul, n’implique pas nécessairement du cisaillement.

Oui oui, tout à fait, nous sommes d'accord.

En fait, on peut avoir tous les cas avec un liquide visqueux, en remuant son café.
Si vous faites tourner (mettons vers la droite) votre café, et enlevez la cuillère, en surface, près du centre le café tournera à vitesse angulaire constante (pas de cisaillement) avec un rotationnel vers le bas. Près des bords la vitesse angulaire tends vers zéro et vous aurez un rotationnel vers le haut, avec cisaillement. Et entre les deux, le rotationnel sera nul, avec cisaillement.

Sauf sur un détail : entre le centre et le bord le rotationnel n'est pas nul et le cisaillement l'est pour moi...

[invite6dffde4c]

Re.
Entre le centre et le bord il y a un rayon où le rotationnel est nul (passe par zéro). Car il est vers le bas au centre et vers le haut au bord. C’est le rayon pour lequel la vitesse tangentielle diminue en 1/r de sorte qu’un bouchon tournerait autour du centre sans tourner autour de lui-même.
Et le cisaillement n’est pas nul à cet endroit car la vitesse angulaire n’est pas la même. Par contre, au centre, le cisaillement est nul.
Cordialement,

[obi76]

Entre le centre et le bord il y a un rayon où le rotationnel est nul (passe par zéro). Car il est vers le bas au centre et vers le haut au bord. C’est le rayon pour lequel la vitesse tangentielle diminue en 1/r de sorte qu’un bouchon tournerait autour du centre sans tourner autour de lui-même.

Oui, il y a un rayon sur lequel il est nul, mais ailleurs il ne l'est pas. Concernant le cisaillement ça dépend de la vitesse tangentielle sur r. Mais effectivement en général il ne doit pas l'être non plus. pour le centre on est d'accords

En fait c'est la présence du bord qui fait ça. S'il n'y en avait pas et qu'on avait un fluide infini en rotation, justement la viscosité fera qu'à un temps infini l'écoulement sera en u_angulaire = r.omega (omega la vitesse angulaire), auquel cas on retombe sur un rotationnel partout non nul et une cisaillement partout nul.

La présence de la paroi change tout ça (cisaillement presque partout non nul et rotationnel aussi).

[inviteddd26fb4]

Bonsoir,

Merci pour vos considérations sur la tasse de café, qui m'ont intéressées, mais ce qui me préoccupait initialement, c'est l'écoulement parfait, avec une viscosité nulle.
Dans ce cas :
frottements = 0 * cisaillement = 0, même si le cisaillement n'est pas nul ?

Ma question est : dans un tel écoulement, peut-on faire en sorte que le rotationnel devienne non-nul s'il est nul initialement ?

L'exemple d'un certain type d'hélium liquide pourrait répondre à la question, mais je me suis demandé si dans ce cas il n'y avait pas des effets quantiques qui modifieraient l'équation de Navier-Stokes : est-ce le cas ? Je souhaiterais rester dans le cadre de la physique classique ici.

[inviteddd26fb4]

En fait, pour qu'un certain type d'hélium liquide réponde à la question, il faudrait également que son écoulement soit à rotationnel nul au moment où dans son procédé de production sa viscosité s'annule.

[obi76]

frottements = 0 * cisaillement = 0, même si le cisaillement n'est pas nul ?

Oui

Ma question est : dans un tel écoulement, peut-on faire en sorte que le rotationnel devienne non-nul s'il est nul initialement ?

On vous a déjà répondu : oui aussi.

L'exemple d'un certain type d'hélium liquide pourrait répondre à la question, mais je me suis demandé si dans ce cas il n'y avait pas des effets quantiques qui modifieraient l'équation de Navier-Stokes : est-ce le cas ? Je souhaiterais rester dans le cadre de la physique classique ici.

Pas de viscosité en physique classique, ça n'existe pas. La superfluidité vient bien de phénomènes quantiques.