[MPSI][Elec]Filtres - calcul d'une bande passante

[inviteaeeb6d8b]

Bonjour, jusqu'à tard hier soir, j'ai été confronté à un gros problème ...

Après bien des calculs insignifiants (calcul d'une fonction de transfert avec 3 ampli ops un peu en série un peu en parallèle), j'ai :

H = -1 / (1 + j.a.w + b/j.w)

où a et b dépendent des paramètres du circuit (condensateurs et résistances)

on veut déterminer la pulsation de résonance :

Suffit-il de dire : pour w = pulsation de résonance, on a : j.a.w+ b/j.w = 0
ce qui me conduit à : w_0 = 1 / RC, ce qui semble très correct ... ! (cohérence des grandeurs)

après on veut obtenir la Bande Passante : (w_c pulsation de coupure – on en veut 2)

On a G(w_c) = G(w_0) / sqrt(2)

tout a été fait pour que G(w_0) = 1

je cherche w_c et j'aboutis à une équation du 4ème degré (ce qui ne me semble pas étonnant...),
donc 4 solutions.
La machine me dit que le résultat est non-réel. En fait, 2 solutions sont complexes, 2 sont réelles.

Malheureusement, les deux solutions (formes plutôt compliquées – voire même très compliquées) sont les mêmes au signe près. J'aurais un w_c négatif (...)

Trois problèmes :
- comment résoudre cette ... d'équation du quatrième degré sans machine ?
- la forme trouvée n'est-elle pas trop compliquée ?
- ma pulsation négative !

Ou alors, le problème est dans ma détermination de la pulsation de résonance (ce qui ne serait pas étonnant !)

On veut G max et G = 1 / sqrt[w^2 + (b – w^2.a)^2 ]

je dérive ? ... mouais...

je dérive, je cherche w_0 et je trouve : w_0 = «*un truc sans unité*» / 2.R.C (cohérent là aussi !)

je me lance dans la recherche du gain pour la pulsation de résonance : encore un calcul long et compliqué (...)

où ai-je bon en définitive ? Puisque là aussi, que de formes compliquées !!!

Le truc, c'est qu'il s'agit de deux questions insignifiantes extraites de je-ne-sais quel concours duquel elles doivent représenter un quart de vingt-cinquième de point et je ne vois pas l'intérêt de formes si bizarres...

Suffit-il de dire : pour w = pulsation de résonance, on a : j.a.w+ b/j.w = 0

Pourquoi visiblement cela ne suffit-il pas ?

Je vous remercie de m'aider,

Romain, un peu fatigué

[EDIT]confusion coupure/résonance[/EDIT]
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[invitebb921944]

Bonjour !
Il aurait été judicieux de factoriser par j ton dénominateur (on regroupe en général), et puis c'est plus joli !

Pour les équations du 4ème degré, tu te retrouves tjs à un moment ou à un autre sous une équation du type :

(a²+b)²=c
Plutot que de développer, il te suffit de prendre la racine de chaque côté (c'est possible car une pulsation est nécessairement positive). Ce qui te ramène à une équation du second degré plus facile à résoudre !

[inviteaeeb6d8b]

Bonjour !
Il aurait été judicieux de factoriser par j ton dénominateur (on regroupe en général), et puis c'est plus joli !

Ben ici, je donne la forme qu'on nous demande de trouver dans l'énoncé !
[EDIT] mais après dans les calculs je factorise évidemment ![/EDIT]

Pour les équations du 4ème degré, tu te retrouves tjs à un moment ou à un autre sous une équation du type :

(a²+b)²=c

Pas ici ... j'ai du w² + (b-aw²)² = un truc

merci quand même !

ma façon de trouver la pulsation de résonance est bonne dans quel cas ?

merci

[invitebb921944]

Ta façon de trouver la pulsation de résonance est toujours bonne mais il est parfois plus simple de calculer la dérivée et de voir pour quel valeur de w cette dérivée s'annule.

Pas ici ... j'ai du w² + (b-aw²)² = un truc

Perso j'ai :

(aw-b/w)²=1

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteaeeb6d8b]

Attends, il y a un problème ...

d'abord, je pense que l'une de mes deux méthodes est mauvaise.

quand je dis que je veux H max (et donc que je minimise son dénominateur), je n'ai pas l'impression que mon raisonnement soit juste puisque je minimise H et non le gain.
la deuxième méthode me semble elle correcte.

je ne trouve pas les mêmes résultats

tu trouves ce résultat en dérivant ou en minimisant H ?


je refais le calcul en minimisant H et je reviens


merci beaucoup

edit :
j'ai fait le calcul, je pose : j.a.w + b/jw = 0 et je trouve aw - b/w = 0

[inviteaeeb6d8b]

Bon, j'écris ma forme du gain :

G = 1 / sqrt( (b-w²a)² + w² )

je suis sûr maintenant que minimiser H ne conduit pas au bon résultat !

j'ai dérivé G,

G' = -w ( 2a²w² - 2ab + 1) / (a²w^4 - (2ab-1)w² + b² )^(3/2)

[invitebb921944]

Euh je pense qu'on ne calcule pas la même chose
Sinon au temps pour moi j'ai fait une erreur, c'est la valeur max de G qu'il faut trouver et non celle de H, cela dit, ça revient exactement au même ici et on trouve bien :

aw-b/w=0

Ensuite, pour trouver les pulsations de coupure :

G=Gmax/racine(2)

1/racine(1+(aw-b/w)²)=1/racine(2)

Si je ne m'abuse, on a :

(aw-b/w)²=1

[edit]Je ne comprends pas comment tu trouves G ![edit]

[inviteaeeb6d8b]

Ben G c'est le module de H ...

Tu es sûr que la méthode qui vise à minimiser H est correcte ?

Pourquoi on ne trouve pas pareil en minimisant H et en dérivant G ???

Tu as écrit :
G=Gmax/racine(2) ----> ça je suis complètement d'accord

1/racine(1+(aw-b/w)²)=1/racine(2)

je ne comprends pas comment tu arrives là ...


encore merci

Romain, qui doit être enquiquinant à la longue

[invitebb921944]

Bon alors attends, on va y aller doucement.

Hmax, tu trouves combien ?

[inviteaeeb6d8b]

H max = -1

Donc Gmax =1

[invitebb921944]

Bon en fait on se fout de Hmax !
Alors Gmax=1, je suis d'accord !

|H|=G=1/racine(1+(aw-b/w)²)

Hmax/racine(2)=1/racine(2)

On a donc :

1/racine(1+(aw-b/w)²)=1/racine(2)

Je ne vois pas ce qui te pose problème ici !

[inviteaeeb6d8b]

Bon en fait on se fout de Hmax !
Alors Gmax=1, je suis d'accord !

|H|=G=1/racine(1+(aw-b/w)²)

Hmax/racine(2)=1/racine(2)

On a donc :

1/racine(1+(aw-b/w)²)=1/racine(2)

Je ne vois pas ce qui te pose problème ici !

Bon écoute, je te demande toutes mes excuses,
je viens de refaire les calculs, je trouve tout comme toi
hier j'ai fait une stupide erreur de calcul ce qui faussait tout

je te remercie sincèrement de m'avoir aidé, surtout pour des bêtises pareilles !


Par contre, je ne comprends toujours pas pourquoi on ne trouve pas pareil en dérivant et en minimisant H.
Tu as dit que c'était plus simple parfois en dérivant, mais ici tu n'as pas dérivé ?

bon ben je crois que je tiens mes pulsations de coupure.

encore merci ... et

Romain, qui tient la preuve qu'il ne faut pas bosser pendant les vacances jusqu'à 1h du matin

[invitebb921944]

Pour être honnête, je crois qu'il n'est pas du tout bon de s'occuper de H, car tout d'abord, il me semble un petit peu abusif de dire qu'un complexe est plus grand qu'un autre, et qu'ensuite, même s'il existait, Hmax ne serait pas égal à -1 car du moment que le numérateur est négatif, la valeur maximum de H sera celle pour laquelle le numérateur est le plus grand (car 0>-1).

Par contre, essaie pour G et tu verras que dériver ou maximiser en trouvant le plus petit dénominateur revient exactement au même.

Bonne journée !

[inviteaeeb6d8b]

Pour être honnête, je crois qu'il n'est pas du tout bon de s'occuper de H, car tout d'abord, il me semble un petit peu abusif de dire qu'un complexe est plus grand qu'un autre, et qu'ensuite, même s'il existait, Hmax ne serait pas égal à -1 car du moment que le numérateur est négatif, la valeur maximum de H sera celle pour laquelle le numérateur est le plus grand (car 0>-1).

Par contre, essaie pour G et tu verras que dériver ou maximiser en trouvant le plus petit dénominateur revient exactement au même.

Bonne journée !

Merci de ces précisions,
je viens de constater qu'effectivement ça revient au même pour G.

Tant que des gens sympas comme toi seront sur le forum, tout ira bien

merci
(encore une victoire de FS )