Quelques questions en MQ sur le cohen tanoudji

[coussin]

Psi(x)=<x|psi> et psi(p)=<p|psi>, etc...
Voilà pourquoi le ket psi est plus général. Y a un niveau d'abstraction en plus.
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[invite47ecce17]

Encore une fois ca depend de ta définition de l'espace de Hilbert du systeme (ou de l'espace des états du systeme).
A la base en MQ, on considère que l'espace des etats c'est L²(R^3). donc \psi c'est toujours la fonction qui à x associe \psi(x). Il se fait que L²(R^3) possède une isométrie qui est la transformée de Fourier, et qui te permet d'associer à psi, un autre fonction, disons, phi qui est la "représentation de psi en impulsion", mais ca n'est plus \psi, meme si ca represente le meme objet quantique. C'est pour cela qu'on peut passer à une autre vision plus abstraite, ou l'espace des etats est un espace de Hilbert, et le choix de la representation en impulsion ou en position (ou autre) donne une isométrie de cet espace de Hilbert sur L²(R^3) (vu comme espace des fonctions de x) ou sur L^2 de R^3 (vu comme espace des fonctions de p), l'isométrie faisant commuter le triangle
étant la transformée de Fourier.

Edit:
Bon le diagramme ne passe pas, je le laisse si tu sais lire du tex dans le texte.
Il faut aussi savoir que ce point de vue n'est pas non plus le point de vue moderne, pour qui l'espace de Hilbert n'est qu'un avatar.

[invite8f6d0dd4]

D'accord, c'était ce qu'il me semblait (j'adoptais le point de vue "général").

Mais en gros tu dis que mtn, on a tendance à oublier la représentation "générale" et abstraite du ?

On considère que et .

C'est la même chose; à distinguer de la transformée de Fourier .

Car à ce moment là, la notation n'a plus vraiment de sens vu que = ?

Merci.

[invite47ecce17]

Non, la vision \psi(x) est plus ancienne. La vision "espace de Hilbert" abstrait est meilleure. Je disais qu'il existe encore d'autre visions plus modernes.
Mais la vision espace de Hilbert abstrait est a preferer à celle de voir un etat comme une fonction (d'onde) de L²(R^3).

[invite8f6d0dd4]

Ok, merci

Une autre question en passant (oui je sais j'ai beaucoup de questions... :S ) : il s'agit du calcul d'une valeur moyenne d'observable.

Il est définit comme ceci (moyenne de l'observable A sur un état PSI normé) :



Dans mon cours il est écrit le calcul suivant :

(pas de soucis, on injecte juste les fermetures)

Mais c'est ce passage là que je ne comprends pas :



D'où sort le dirac ??

Car pour moi : sans la présence du Dirac
(A(r,r') correspond à une matrice "généralisée" avec des bases continues, il s'agit de l'élément de ligne "continue" r et de colonne "continue" r').

Merci beaucoup !

[chaverondier]

Ben pas vraiment puisqu'on peut aussi très bien dire que c'est la fonction qui à p associe en se plaçant dans la base des impulsions (ou ici psi représente la TF de ). Et comme la transformée de Fourrier d'une fonction et la fonction ne sont pas égales, ce n'est pas la même chose.

Ce sont deux représentations de l'état quantique dans deux "bases hilbertiennes" (qui ne sont, en fait, pas tout à fait des bases hilbertiennes d'un point de vue mathématique, mais pour ce qui nous intéresse, la physique, ce n'est pas important):

• dans la base des déplacements, l'état quantique se représente par la fonction d'onde qui, à chaque position x, associe l'amplitude de probabilité
• dans la base des impulsions, ce même état quantique se représente par la fonction d'onde qui, à chaque impulsion p, associe l'amplitude de probabilité "" (qui n'est pas la même fonction malgré sa désignation par la même lettre ).

Physiquement :

• représente la probabilité de trouver le système entre les positions x et x+dx à l'issue d'une mesure de sa position x
• représente la probabilité de trouver l'impulsion du système entre les impulsions p et p+dp à l'issue d'une mesure de son impulsion p.

[chaverondier]

Mais c'est ce passage là que je ne comprends pas :



D'où sort le Dirac ??

de

[invite8f6d0dd4]

Salut.

Pour les fonctions d'ondes, espaces de Hilbert & co je pense avoir compris l'essentiel, merci.


En revanche pour ton explication sur mon calcul de moyenne je comprends pas trop...

On part de là :


Et tu fais ceci :


En fait je serais d'accord avec toi si tu disais :



et que tu injecte ceci dans l'intégrale (mais ça ne résolverai pas notre pb).

En effet, si on prends :

: Il s'agit de la somme de tous les éléments de la matrice "généralisée" (sous entendu matrice infinie continue).

Et :

: Il s'agit de la somme de tous les éléments de la diagonale de la matrice (j'ai fait la même opération que toi en remplaçant le r' par le dirac et le r, puis j'ai supprimé l'integrale superflue).

Physiquement on a pas la même chose, dans le premier cas on somme tous les éléments et dans le second seulement la diagonale.

Du coup je comprends pas trop le paradoxe.

Merci.

[coussin]

Le Dirac ne serait-il pas <r|r'> ?

[invite8f6d0dd4]

Bonjour,

En effet mais je ne comprends pas où vous voulez en venir :S

Aussi, dans le cours de ma prof il est écrit qu'un opérateur est hermitien ssi sa valeur moyenne sur un état est réelle.

Mais ça ne suffit pas non ?

Il faut que pour tout non ?

En effet, supposons :



Alors :




En posant :



On a :



Comme c'est vrai pour tout , nécessairement (car orthogonal à n'importe quel vecteur de l'espace)

Et comme c'est vrai pour tout , U=0, donc A hermitien.

On est obligé dans la démo d'avoir un pout tout psi ET pour tout phi.
Ma prof a elle fait une erreur dans son poly ?

Merci.

[invite47ecce17]

Bonjour,
Pour ta second question (je change un peu de notation pour qqch de plus simple) si (u,Au) est réel pour tout u alors certainement (x+ty, Ax+ty) est réel pour tout x,y et tout complexe t, et tu devrais facilement en déduire ta relation (use du fait que (x+ty, Ax+ty)=(Ax+ty, x+ty) et developpe).
Pour ta premiere question, c'est juste un jeu de notation (qui sont de toute façon toutes plus ou moins incorrectes).
Le point étant que ton opérateur A agit par convolution avec un noyau lisse noté <x|A|y>, toutes tes relations en découlent.
La trace de ton opérateur est alors effectivement \int <x|A|x> (la restriction du noyau à la diagonale), ca c'est un vrai theoreme (qui est trivial si tu te place en dimension finie, et qui necessite un peu de travail sinon, ).
Mais il existe en MQ des operateur qui ne sont pas à noyau, la derivation par exemple.

[invite47ecce17]

Une petite remarque metaphysique au passage, si tu veux eclaircir d'un point de vue mathématique, toutes les notions utilisées en MQ, jusqu'a qu'elles soient parfaitement rigoureuse, cela va te demander un temps considerable (bien plus grand que l'etude de la physique sous jacente proprement dite), ca n'est pas ininteressant, c'est meme passionnant (c'est mon domaine de recherche en fait), mais si c'est les phénomènes physiques qui t'interessent en eux meme, il va te falloir tolerer un certains laxisme mathématique dans le traitement usuel de la MQ.

[invite8f6d0dd4]

Salut.

Pour ta première réponse :

Le but est de montrer que <u,Au> réel pour tout u implique <x,A,y> = <y,A,x>* pour tout x et y et d'après ma démo ceci montre que A hermitien n'est ce pas ?

J'ai fait ceci :

<x+ty, A(x+ty)> réel car <u,Au> réel pour tout u.

En développant on a :

<x,Ax>+t<x,Ay>+t* <y,Ax> + |t|²<y,A,y> (t* est le conjugué de t)

<x,Ax> et |t|²<y,A,y> sont réels par hypothèse.

On a donc : t<x,Ay>+t* <y,Ax> réel.

Mais de là je ne vois pas comment continuer.

Je rappelle qu'on ne peut pas utiliser le fait que A est hermitique vu que c'est ce qu'on veut montrer.


Sinon pour la seconde remarque, je suis désolé mais je n'ai absolument rien compris :S

Il faut savoir que j'ai vraiment de toutes petites bases sur les espaces hilbertien, juste ce qu'on nous donne avec le cohen.

Par exemple le fait que l'opérateur agisse par convolution sur un noyau lisse je ne comprends pas ce que ça signifie.

Merci

[edit] Concernant ta remarque : Mon but n'est pas forcément de tout comprendre rigoureusement du point de vue maths (je ne pense pas être assez bon en maths pour ça de toute façon), mais au moins de savoir exactement ce que j'ai le droit ou pas de faire.

Histoire que je puisse repérer mes erreurs et pas être bloqué par une incohérence que je ne saurais résoudre...

[invite47ecce17]

Tu as (Ax+ty,x+ty)=(x+ty, Ax+ty), donc (Ax,x)+t*(Ax,y)+t(Ay, x)+|t|²(Ay,y)=(x,Ax)+t*(x,Ay)+ t(y, Ax)+|t|²(y,Ay) soit t*(Ax,y)+t(Ay, x)=t*(x,Ay)+t(y, Ax)
pour t=1, on obtient (Ax,y)+(Ay, x)=(x,Ay)+(y, Ax) puis pour t=i, -i(Ax,y)+i(Ay, x)=-i(x,Ay)+i(y, Ax) ou encore -(Ax,y)+(Ay, x)=-(x,Ay)+(y, Ax) en sommant on obtient 2(Ay, x)=2(y, Ax), ce qui assure la symétrie de A.

[invite8f6d0dd4]

Merci, mtn c'est ok !

En revanche, si quelqu'un a une explication "à mon niveau" sur mon ""paradoxe"" du msg #38 ?

Merci !!!!

[invite8f6d0dd4]

Je me permet aussi de vous demander :

Où s'enseigne la "physique mathématique", je veux dire apprendre les théories physique avec la rigueur des maths (il me semble que c'est ce que vous faites) ?

Car je suis à la fac à Orsay (normalement je suis en école d'ingé mais je me réoriente car cette voie ne me plait pas) et il n'existe pas de cursus de ce genre, j'ai l'impression qu'il faut tout apprendre par soit même ?
Car il y a les facs de maths mais on y fait pas de Physique.

Peut être à l'ENS alors ??

Et pour suivre cette voie là, il faut vraiment être excellent en maths ? (par exemple je n'ai pas énormément d'intuition en maths mais en revanche je pense être apte à comprendre les structures en prenant mon temps, est-ce suffisant ?)

(je suppose qu'il est difficile de répondre à ma dernière question).

[invite47ecce17]

Où s'enseigne la "physique mathématique", je veux dire apprendre les théories physique avec la rigueur des maths (il me semble que c'est ce que vous faites) ?

Car je suis à la fac à Orsay (normalement je suis en école d'ingé mais je me réoriente car cette voie ne me plait pas) et il n'existe pas de cursus de ce genre, j'ai l'impression qu'il faut tout apprendre par soit même ?
Car il y a les facs de maths mais on y fait pas de Physique.

Peut être à l'ENS alors ??

Ca peut se faire un peu partout s'il y a les cours appropriés (ce qui est souvent conditionné à l'existence d'un labo de phy maths dans la fac), en general faut zigzaguer entre les cours fait par les dept de maths et de physiques. Mais en general on trouve en M1/M2 toujouors quelques cours qui traitent de phy maths, apres faut faire un bon stage avec qqun bossant dans ce domaine, ca aide pas mal.

Et pour suivre cette voie là, il faut vraiment être excellent en maths ? (par exemple je n'ai pas énormément d'intuition en maths mais en revanche je pense être apte à comprendre les structures en prenant mon temps, est-ce suffisant ?)

Excellent? Non, beaucoup moins qu'en maths pure je pense. Perso, chuis loin d'etre une lumière en maths, et j'ai beaucoup lutté (surtout au debut) pour comprendre les points de vue matheux (voir mes anciens messages sur le forum).

On peut parler de tout ça en MP, si tu veux.

[invite47ecce17]

J'ai relu ton message 38, c'est quoi en fait que tu notes A(r,r')?

[invite8f6d0dd4]

A(r,r') = <r|A|r'>, autrement dit l'élément de la matrice "généralisée" représentant A (matrice généralisée au sens ou si la base est infinie et continue, on peut représenter A comme une matrice d'indices de lignes & colonnes continus).

Sinon je te poserai peut être quelque questions sur cette voie la par mp cette semaine.

En fait ça m'intéresse pas mal...

Thx !